2022-2023学年广东省深圳市龙城高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解.

【详解】，

由得，故，

则.

故选：D.

2．已知函数,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当取值范围不同，要用不同段的解析式来求函数值，先计算出，从而计算出的值.

【详解】，

故.

故选：A.

3．“”是“”的一个（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解绝对值不等式,根据充分必要条件的判断即可得解.

【详解】因为

解得

根据不等式大小关系可知,

所以“”是“”的必要不充分条件

故选:B

【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,根据不等式表示范围的大小即可,属于基础题.

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】解：，，

，，

，，

.

故选：A.

6．已知是R上的减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】需满足每段函数单调递减，要注意端点值处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值.

【详解】由于是R上的减函数，

则需满足，

即，解得，

故选：B.

7．已知，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质化简得或，检验即得解.

【详解】解：，

，

，即，

，

解得或，

又，且，，舍去，

.

故选：C

8．设满足，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，令，则，设，利用的单调性，可得，，即可得出答案.

【详解】根据题意，

令，则，

即，

因为函数在上单调递增，

又满足，

所以，

所以，

即，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数中值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】观察可得函数、、的值域，配方法求函数的值域即可.

【详解】函数的值域为，A正确；

函数的值域为，B正确；

函数的值域为，C错误；

函数的值域为R，D错误.

故选：AB.

10．下列选项正确的有（    ）

A．“，”是假命题，则

B．函数的图象的对称中心是

C．若存在反函数，且，则的图象必过点

D．已知表示不超过的最大整数，则函数值域为

【答案】BD

【分析】A中，把问题化为“，”是真命题，分和两种情况求解即可；B中，根据函数图象平移，可得到函数的图象，从而确定其对称中心；C中，由反函数的定义与题意知，从而可求的图象所过点的坐标；D中，根据函数的定义与性质，即可得出正确的判断.

【详解】对于A，因为“，”是假命题，

所以“，”是真命题，当时，恒成立，

当时，应满足，解得，

综上知，实数的取值范围为，选项A错误.

对于B，因为函数图象的对称中心是，

所以函数的图象是函数的图象向右平移个单位，

再向上平移个单位得到，所以函数的对称中心是，选项B正确；

对于C，函数的反函数是，且，所以，

所以的图象必过点，选项C错误；

对于D，由的定义知在上单调递增，其值域为，

，

所以在上周期为1，所以的图象如图所示：

由图可知：函数的值域为，选项D正确.

故选：BD.

11．下列选项正确的有（    ）

A．，，恒成立 B．，使得成立 C．若，则 D．，，且，则

【答案】BCD

【分析】A选项：举反例即可判断；

B选项：当时成立，由此即可判断；

C选项：分别求出，，再利用对数的运算性质化简即可判断；

D选项：利用“”的代换以及基本不等式化简即可判断求解.

【详解】A选项：当，时，无意义，故A错误，

B选项：当时，成立，故B正确，

C选项：由已知可得，

则，则，故C正确，

D选项：由已知可得，

当且仅当，即时取等号，故D正确，

故选：BCD.

12．已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A．实数的取值范围为 B．

C． D．的最大值为

【答案】AC

【分析】画出的图象，数形结合得到，且，关于，，再运用基本不等式求出的最大值，得到AC正确.

【详解】画出的图象，如下：

要想与有三个不同的交点，需要，A正确；

由题意可知，且关于对称，

故，B错误，C正确；

则，解得：，当且仅当时等号成立，

但，故等号取不到，

故，D错误，

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、．

【详解】由题意得

【点睛】常见函数定义域的求法：

（为偶数）

14．用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则矩形面积的最大值为______.

【答案】

【分析】设矩形的长为cm，则宽为，然后求出矩形的面积关系式，利用基本不等式化简即可求解.

【详解】设矩形的长为cm，则宽为，

则矩形的面积，

当且仅当，即时取得面积最大值为，

故答案为：.

15．______.

【答案】10

【分析】利用对数的运算性质求解.

【详解】

.

故答案为：.

16．定义在R上的偶函数，当时，，则的解集是______.

【答案】

【分析】根据是偶函数，求出时的解析式，画出函数图象，再将看成一个整体，结合图像即可得解集.

【详解】由于是偶函数，

当时，，故，

画出其函数图像如下：

当时，令，解得，

当时，令，解得，

由图可得，

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解.

先求出，再分集合是否为空集讨论，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）当时，，

，

则；

（2）集合，

则或，

当时，，解得，符合题意，

当时，或，解得：或，

综上所述，实数的取值范围为.

18．已知函数.

(1)计算的值；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入函数化简即可；

（2）配方法化简，利用求值域.

【详解】（1）因为，

，

所以

（2），

∵，

∴，

故，

即函数在区间上的值域为.

19．已知函数.

(1)若的两个零点为，，求实数，的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为.

【分析】（1）根据根与系数的关系确定实数，的值；

（2）根据一元二次不等式对应方程的两个根的大小分类讨论，求得不等式的解集.

【详解】（1）因为的两个零点，，

则有，

解得：或（舍去）；

（2）由已知：，

当时，分解因式，

当时，，不等式的解为；

当时，，不等式的解为；

当时，不等式的解为.

综上可得：时，解集为；时，解集为；时，解集为.

20．某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件.

(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用）

(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？

【答案】(1)，

(2)当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元.

【分析】（1）根据题意可得销售额，则利润，，化简即可得出答案；

（2）由（1）得，，利用基本不等式可得，结合对勾函数的性质，分类讨论，，求出最大值，即可得出答案.

【详解】（1）由题意得，；

（2）由1得，，

，

，当且仅当，即时等号成立，

由对勾函数的性质可知：

当时，在上单调递增，

∴当时，；

当时，，当且仅当时，即时等号成立，

综上所述，当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；

当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元.

21．已知函数为定义在上的奇函数.

(1)求的值；

(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；

(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）由是定义在上的奇函数，利用，求得；

（2）利用作差法证明即可；

（3）由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，故等价于对任意实数恒成立，分类讨论和两种情况，从而求出的取值范围.

【详解】（1）解：因为函数为定义在上的奇函数，

所以，得，

经检验符合题意，

所以；

（2）证明：根据（1）知，

，且，

则，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

（3）解：由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，

，即，

即，

则，

所以对任意实数恒成立，

当时，，显然成立；

当时，，解得，

综上可知，实数的取值范围是.

22．已知函数，且，.

(1)求的解析式；

(2)若在上的值域为求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可知函数的图象的对称轴为，即可求，再由求即可；

（2）由函数在上的值域为可判断，从而可得在上单调递增，即可知，是方程的两个不同的解，利用韦达定理求解即可.

【详解】（1）解：，

函数的图象的对称轴为，

即，

解得；

又，

；

（2）由（1）知在上的值域为，

，

即，

故在上单调递增，

故，

即，是方程的两个不同的解，

即，是方程的两个不同的解，

故，，

故.