广东省深圳市南头中学2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

南头中学2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学

（满分：150分    考试时间：120分钟）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A (-1，0)，3 B. (1，0)，3

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.

【详解】根据圆的标准方程可得，

的圆心坐标为，半径为，

故选：D.

2. 已知，，若，则m的值为（    ）

A. －2 B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线的性质即可求解.

【详解】因为，所以，解得，

故选：C.

3. 若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（    ）

A. (0，4) B. (4，0)

C. (0，4) D. (2，1)

【答案】B

【解析】

【分析】利用斜率公式逐个验证即可

【详解】对于A，，不符合题意；

对于B，，所以B正确；

对于C，，不符合题意；

对于D，，不符合题意，

故选：B

4. 直线被圆所截得的弦长为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.

【详解】由题意圆心，圆C半径为3，

故C到的距离为，

故所求弦长为.

故选：A.

5. 设，向量且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量垂直求出，再求出的坐标后可求其模.

【详解】因为，故，故，

故，故，

故选：D.

6. 如果实数 满足等，那么 的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】可理解为，即点与原点连线的斜率，数形结合即可解决.

【详解】的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，如图所示，

设直线方程为，则，解得斜率的最大值为，所以max＝．

故选：C

7. 已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出直线所过的定点，再计算临界的直线的斜率，从而可求参数的取值范围.

【详解】直线，

令，解得， 直线必过定点．

，．

直线与线段相交，

由图知，或，

则实数的取值范围是．

故选：A.

8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.

【详解】如图所示，

设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．

故选：A．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ）

A. 离心率为 B. 长轴长是

C. 焦点在轴上 D. 焦点坐标为(-1，0)，(1，0)

【答案】AD

【解析】

【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.

【详解】将椭圆方程化为标准方程为

所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；

焦点坐标为，故D正确；

长轴长是故B错误

因为所以离心率故A正确.

故选：AD.

10. 已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】因为点到直线的距离相等，

所以有，

化简得：，解得，或，

故选：AC

11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是

C. 平面的一个法向量是  D. 点到平面ABC的距离是

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先利用向量共线定理，即可判断A错误；再利用单位向量的定义判断B正确；接着利用法向量的含义可以判断C；再用空间向量求点面距离的方法，即可判断D正确.

【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对B，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为 ，C正确.

对于D，距离， D正确；

故选：BCD

12. 已知直线与圆交于，两点，则（    ）

A. 线段的长度为定值 B. 圆上总有4个点到的距离为2

C. 线段的中点轨迹方程为  D. 直线的倾斜角为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角，

【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确；

对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误；

对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确；

对于D，当时，则，此时直线为，则直线倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误，

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 过点，且斜率为的直线的斜截式方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用点斜式可求得直线方程，整理可得斜截式方程.

【详解】直线的点斜式方程为：，整理可得其斜截式方程为.

故答案为：.

14. 如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，

,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.

【详解】解：因为

，

又，

所以，，

则.

故答案为：2.

【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.

15. 如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.

【答案】

【解析】

【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.

【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.

故答案为：.

16. 已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，函数有两个不同的零点，等价于与的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.

【详解】由函数有两个不同的零点，

可知与的图象有两个不同的交点，

故作出如下图象，

当与的图象相切时，，即，

由图可知，故相切时，

因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，

即当时，函数有两个不同的零点.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．

（1）求证：；

（2）求EF与CG所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据空间向量证明垂直关系即可证明结果；(2)根据空间向量求线线夹角的方法求解.

【小问1详解】

建立以点为坐标原点, 所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，则，

所以，即，所以.

【小问2详解】

由（1）知，

则，

因为与所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.

18. 直线过点且与直线垂直.

（1）求直线的方程；

（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；

（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.

【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，

又因为直线过点，所以，即，

所以直线的方程为；

（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，

 又因为该圆过点、，

所以有，解得，

所以圆心坐标为，半径，

故圆的方程为.

19. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，

（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.

小问1详解】

由题意设椭圆的方程为，

因为椭圆经过点且长轴长为，

所以，

所以椭圆方程为，

【小问2详解】

因为直线过点且斜率为1，

所以直线的方程为，

设，

将代入，得，

整理得，

所以，

所以

20. 已知圆与圆相交于A，B两点.

（1）求直线的方程；

（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到经过两圆公共点的圆系方程，再令即可得到公共弦方程.

（2）首先联立得到设，，从而得到当为所求圆的直径时，圆的面积最小，再计算圆的方程即可.

【详解】（1）由题知：经过圆和圆的公共点的圆系方程为：

.

令，得公共弦方程为：.

（2），解得：或.

设，，

当为所求圆的直径时，圆的面积最小.

的中点为，，

则所求圆的方程为：

21. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.

（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.

【解析】

【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面，得到，再证明，然后证明平面；

（2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.

【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，

又平面，所以平面，又平面，所以，

因为∥，所以，又平面，所以平面；

（2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，

则，所以，

设平面的法向量为，则，取，则，

设与平面所成角为，则.与平面所成角的正弦值为.

22. 已知圆C：．

（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；

（2）设P是直线上点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

【答案】（1）或   

（2）证明见解析，所有定点的坐标为.

【解析】

【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；

（2）设，根据切线性质得到经过A，P，C三点的圆即为以PC为直径的圆，求出圆心和半径，写出圆的方程，整理后得到，求出定点坐标.

【小问1详解】

根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，

若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，

若，则圆心C到直线l的距离，则，

解得，

即直线l的方程为，化简得

综上所述，直线l的方程为或．

【小问2详解】

由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，

经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，

PC的中点坐标为，

且，

所以圆的方程为，

整理得，

令，解得或．

则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．