2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集U＝R，集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为，所以或，

所以.

故选：B.

2．已知函数．则的值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，

将代入，可得，

故选：．

3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；

若幂函数在上是减函数，

则，解得或

故必要性不成立

因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件

故选：A

4．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，，得：，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故选：C.

5．已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由求得，再将转化为，再利用反函数的性质即可得到正确选项B

【详解】由（且，且），

可得，则，则

则，又，则与互为反函数，

则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称

故选：B

6．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)

【答案】C

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

7．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

【答案】C

【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.

【详解】解：由题意得：

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为

故，

故该新药对病人有疗效的时长大约为

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．函数的最小值是2

【答案】BC

【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；

对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；

对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误

【详解】对于A选项，取，，，则，故错误；

对于B选项，，，，，故B正确；

对于C选项，，，，，故C正确；

对于D选项，函数，令，

由函数在上单调递增，，故D错误.

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．函数（且）的图象恒过定点

C．为奇函数

D．函数的单调递增区间为，

【答案】BCD

【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用对数函数的性质可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据二次函数的性质可判断D.

【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；

因为，令，可得，即函数图象恒过定点，故B正确；

因为，可知定义域为关于原点对称，

又，故函数为奇函数，故C正确；

因为，所以函数的单调递增区间为，，故D正确.

故选：BCD.

11．关于函数，下列结论中正确的是（    ）

A．当时，是增函数 B．当时，的值域为

C．当时，是奇函数 D．若的定义域为，则

【答案】ACD

【分析】根据复合函数的单调性可判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.

【详解】当时，，由函数单调递增，函数在上单调递增，

所以在上单调递增，故A正确；

因为，，

所以，故B错误；

当时，定义域为R，而，

所以是奇函数，故C正确；

若的定义域为，则恒成立，即，

因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，若非空集合，，，则下列说法中正确的是（    ）

A．为常数 B．的取值与有关

C． D．

【答案】AC

【分析】不妨设的解集为，可得，由，解得或，又，为方程的两个根，可得，进而求出的取值范围．

【详解】不妨设的解集为，则有，

∴，

由，得且，

由(1)得，故A正确，B错误；

∴，

∵，

，解得或，

又，为方程的两个根，

∴，

∴，解得，

∴，故C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．若，且，则实数的值为______.

【答案】18

【分析】由指对数互化可得，，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.

【详解】由题设，，，

所以，则.

故答案为：18.

14．已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.

【答案】

【分析】根据奇函数定义即得.

【详解】当时，，则，

因为函数为奇函数，

所以，即.

所以当时，.

故答案为：.

15．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．

【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1，

令，

则，

解得.

故答案为：.

16．不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断和的单调性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集.

【详解】根据对数函数性质可知

令

根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时

令，当时，时

因此当时，

故答案为:

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；

（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．

【详解】（1）由集合，所以，

又，，

所以，解得；

所以实数的取值范围是．

（2）若，则，

当时，，解得；

当时，有，要使，则，解得，

综上，实数的取值范围是．

18．已知函数.

(1)画出的图象；

(2)求的解集.

【答案】(1)图象见解析；

(2)或.

【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象；

（2）根据分段函数，分段解不等式即得.

【详解】（1）当时，；

当时，；

当时，；

故，函数图象如图所示：

；

（2）由题得，当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

综上，的解集为或.

19．设且，函数的图象过点.

(1)求的值及的定义域；

(2)求在上的单调区间和最大值.

【答案】(1)，

(2)单调增区间为，单调减区间为；最大值为2

【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；

（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.

【详解】（1）∵函数的图象过点，

∴，∴，即，

又且，∴，

要使有意义，

则，

∴的定义域为；

（2），

令

∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减

∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.

20．已知函数为奇函数.

(1)求实数的值；

(2)判断在上的单调性（不必证明）；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)单调递增

(3)

【分析】（1）根据求出，再由奇函数的定义验证即得；

（2）根据指数函数的单调性即得；

（3）根据函数的奇偶性及单调性可得，解不等式即得.

【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，

令，可得，解得，

所以，此时满足，

所以函数是奇函数，

所以；

（2）在上单调递增；

理由如下：因为，

函数单调递增，函数在上单调递增，

所以在上单调递增；

（3）因为为奇函数，可得，

又在上单调递增，所以，

解得，

所以原不等式的解集为.

21．（1）若，求关于的不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）分，，讨论，利用二次不等式的解法即得；

（2）法一，利用参变分离可得对任意恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得的最值即得；法二，利用二次函数的性质分类讨论即得.

【详解】（1）令，

当时，，所以的解集为；

当时，，所以的解集为；

当时，，所以的解集为；

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为；

（2）法一：

当时，，成立；

当时，由题可得对任意恒成立，

令，则有，，

，

令，，根据对勾函数的性质可得，

所以，

所以当时，，

故实数的取值范围为；

法二：令，

①当时，，

对任意，恒成立；

②当时，函数图象开口向上，

若对任意，恒成立，只需，

解得，

故当时，对任意，恒成立；

③当时，对任意，，，

恒成立；

综上可知，实数的取值范围为.

22．已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有.

(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；

(2)证明：满足题干条件的函数在上单调递增；

(3)①证明：对任意的，，其中；

②证明：对任意的，都有.

【答案】(1)（答案不唯一）

(2)证明见解析

(3)①证明见解析；②证明见解析

【分析】(1)根据条件设计一个函数即可；

(2)根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；

(3)运用递推的方法先证明①，在根据①的结论，考虑的x的区间即可证明.

【详解】（1），，等.均可；

（2）任取，.

因为，故且.

故.

故在上单调递增.

（3）①由题意可知：对任意正数，都有，且，

在③中令，可得，即；

故对任意正整数与正数，都有；

②由①可知：对任意正整数与正数，都有，

故对任意正整数与正数，都有，

令，则；

对任意，可得，并且 ，

又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知：

，，

所以.

【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把 看作 ，再运用 可以证明①，再利用①的结论推出 ， .