2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷一卷二）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷一）
一、选一选：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.在答题卡的相应位置内作答.
1. 若分式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. ≥ C. D.
2. 点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点在平面直角坐标系的第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若的函数值随的增大而减小，则的值可能是下列的（ ）
A. B. C. D.
5. 已知甲、乙两个函数图像上部分点的横坐标x与对应的纵坐标y分别如下表所示．若这两个函数图像仅有一个交点，则交点的纵坐标y是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 将直线y＝x+5向下平移2个单位，得到的直线是（ ）
A y＝x﹣2 B. y＝x+2 C. y＝x+3 D. y＝x+7
7. 小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是

A. 他离家8km共用了30min B. 他等公交车时间为6min
C. 他步行的速度是100m/min D. 公交车的速度是350m/min
8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
9. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
10. 若直线点和，且，则的值可以是（ ）．
A B. C. D.
二、填 空 题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11. 计算: _________．
12. 测得某人的一根头发直径约为0.0000715米，将0.0000715用科学记数法表示为_____.
13. 计算: _________．
14. 如图，轴，反比例函数的图象线段的中点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为__________．

15. 已知，则________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是________．

三、解 答 题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 在答题卡的相应位置内作答.
17. 化简：
18. 先化简：，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．
19. 解方程：．
20. 某校初一年学生乘车到距学校千米的社会实践进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的倍，求中巴车的速度是多少千米/小时？
21. 已知反比例函数的图象点．
（1）求该函数的解析式；
（2）若将点沿轴负方向平移个单位，再沿轴方向平移个单位得到点，使得点恰好在该函数的图象上，求的值．
22. 函数的图象点．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）在平面直角坐标系中准确地画出这个函数的图象；
（3）已知这个函数的图象分别与轴、轴相交于点、，点，求的面积．

23. 为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间函数关系．根据图象回答下列问题．
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据没有同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．

24. 某商场同时购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如右表，设其中甲种商品购进件．
（1）直接写出购进乙种商品的件数；（用含的代数式表示）
（2）若设该商场售完这件商品的总利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商品计划至多投入元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的利润是多少元？

25. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与双曲线交于、两点，分别过点、点作轴，轴，垂足分别为点、点，
（1）求线段长；
（2）若．
①求直线的解析式；
②请你判断线段与线段的大小关系，并说明理由.






















2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷一）
一、选一选：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.在答题卡的相应位置内作答.
1. 若分式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. ≥ C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：分母没有为0即可.
详解：分式有意义，
则：
解得：
故选C
点睛：考查分式有意义.分式有意义的条件：分母没有为0.
2. 点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：关于原点对称的点的坐标特征是：横坐标和纵坐标都互为相反数.
详解：点关于原点对称的点的坐标为.
故选A.
点睛：考查关于原点对称的点的坐标特征，是需要熟记的基本问题，可以平面直角坐标系.
3. 已知点在平面直角坐标系的第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：第二象限的点，横坐标小于零，纵坐标大于零，列出没有等式组，求解即可.
详解：第二象限的点，横坐标小于零，纵坐标大于零，
则有：
解得.
故选D.
点睛：考查平面直角坐标系以及一元没有等式组的求解，比较简单.
4. 若的函数值随的增大而减小，则的值可能是下列的（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：根据函数的性质，若y随x的增大而减小，则k<0．
详解：∵y=kx−4的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
而四个选项中，只有B符合题意，
故选B.
点睛：考查函数的性质，掌握函数的图象与性质是解题的关键.
5. 已知甲、乙两个函数图像上部分点的横坐标x与对应的纵坐标y分别如下表所示．若这两个函数图像仅有一个交点，则交点的纵坐标y是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D

【详解】分析：根据题意表格中数据得出两图象交点进而得出答案．
详解：由表格中数据可得：甲、乙有公共点(4,3)，则交点的纵坐标y是：3.
故选D.
点睛：考查函数图象，观察图表得出交点坐标是解题的关键.
6. 将直线y＝x+5向下平移2个单位，得到的直线是（ ）
A. y＝x﹣2 B. y＝x+2 C. y＝x+3 D. y＝x+7
【正确答案】C

【详解】分析：平移时k的值没有变，只有b发生变化．
详解：原直线的k=1，b=5；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=5−2=3.
所以新直线的解析式为y=x+3.
故选C.
点睛：考查函数图象的平移，在解题时，紧紧抓住平移后没有变这一性质.
7. 小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是

A. 他离家8km共用了30min B. 他等公交车时间为6min
C. 他步行的速度是100m/min D. 公交车的速度是350m/min
【正确答案】D

【详解】A、依题意得他离家8km共用了30min，故选项正确；
B、依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，故选项正确；
C、他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min，故选项正确；
D、公交车（30-16）min走了（8-1）km，故公交车的速度为7000÷14=500m/min，故选项错误．
故选：D．
8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
详解：去分母得：，
由分式方程无解得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=4.
故选B.
点睛：考查了分式方程的无解问题，突破口是分式方程的解题步骤以及对分式方程无根的理解.
9. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可．
详解：∵函数与y=x+1的图象的交点坐标为(a,b)，
∴ b=a+1，
∴

(a−2)(a+3)=0，
解得a=2或a=−3，
∴b=3或b=-2，
∴的值为
故选A.
点睛：考查了函数的交点问题，得到两个方程判断出的值是解题的关键.
10. 若直线点和，且，则的值可以是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：根据题意列方程组得到，由于，于是得到 即可得到结论．
详解：依题意得：
∴k=n−3，
∵0 ∴0 ∴3 故选B.
点睛：本题考查了函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用表示出，得到关于的没有等式是解题的关键.
二、填 空 题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11. 计算: _________．
【正确答案】

【详解】分析：根据分式加法的法则进行运算即可.
详解：原式
故答案为
点睛：考查分式的加法，根据法则进行运算即可.
12. 测得某人的一根头发直径约为0.0000715米，将0.0000715用科学记数法表示为_____.
【正确答案】

【详解】分析：值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：
故答案为.
点睛：考查科学记数法，掌握值小于1的数的表示方法是解题的关键.
13. 计算: _________．
【正确答案】

【详解】分析：利用零次幂和负整数指数幂的法则进行运算即可.
详解：原式
故答案为
点睛：考查实数的混合运算，掌握0次幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键.
14. 如图，轴，反比例函数的图象线段的中点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为__________．

【正确答案】

【详解】分析：设点的坐标为根据若的面积为，求得的值，表示出点的坐标，用待定系数法求解即可.
详解：设点的坐标为
则：
的面积为，

则
是线段的中点，
则
代入反比例函数，
得
即反比例函数的解析式为：
故答案为
点睛：考查用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是设出点的坐标.
15. 已知，则________．
【正确答案】

【分析】利用完全平方和公式解答；
【详解】解：
∴
∴
即
故答案为
考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键，属于易错题.
16. 如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是________．

【正确答案】、 、 .

【详解】分析：根据题意可得，再根据等腰三角形的性质求解即可.
详解：∵A(3,4)，
∴OB=3，AB=4，
∴
①若AP=OA,则点P的坐标为：(8,4)或(−2,4)，
②若OA=OP,设P的坐标为(x,4)，
则
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：(−3,4)；
∴所有满足条件的点P的坐标是：(8,4)或(−2,4)或(−3,4).
故答案为、 、 .
点睛：考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，注意分类讨论，没有要漏解.
三、解 答 题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 在答题卡的相应位置内作答.
17. 化简：
【正确答案】

解：=
18. 先化简：，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【正确答案】x﹣1，1．

【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，根据分式性质，找一个恰当的数2（此数没有）代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式＝＝x﹣1，
根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1，
当x＝2时，原式＝2﹣1＝1．
本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数没有能为零．
19. 解方程：．
【正确答案】是原方程的解.

【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解： ，
，
，
经检验：是原方程的解，
∴是原方程的解.
点睛：考查了解分式方程，掌握解方程的步骤是解题的关键.注意检验.
20. 某校初一年学生乘车到距学校千米社会实践进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的倍，求中巴车的速度是多少千米/小时？
【正确答案】中巴车的速度为50千米/小时

【分析】根据中巴车走40千米所用时间=旅游车走40千米所用时间列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设中巴车速度为x千米/小时，则旅游车的速度为1.2x千米/小时．
依题意得，
解得x=50，
经检验：x=50是原方程解，且符合题意，
∴1.2x=60（千米/小时），
答：中巴车的速度为50千米/小时，旅游车的速度为60千米/小时．
21. 已知反比例函数的图象点．
（1）求该函数的解析式；
（2）若将点沿轴负方向平移个单位，再沿轴方向平移个单位得到点，使得点恰好在该函数的图象上，求的值．
【正确答案】（1）此反比例函数的解析式为；（2）

【详解】分析：（1）将点P的坐标代入反比例函数的一般形式即可确定其解析式；
（2）首先确定平移后的横坐标，然后代入确定其纵坐标，从而确定沿y轴平移的方向和距离．
详解：(1)设此反比例函数的解析式为（）
依题意得：，
∴ 此反比例函数的解析式为；
(2)依题意设点平移后的对应点的坐标为
∵ 点恰好在函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ .
点睛：考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及坐标的平移指数，解题的关键是确定反比例函数解析式.
22. 函数的图象点．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）在平面直角坐标系中准确地画出这个函数的图象；
（3）已知这个函数的图象分别与轴、轴相交于点、，点，求的面积．

【正确答案】（1）；（2）画图见解析；（3）=5

【详解】分析：（1）将点的坐标代入，运用待定系数法求解；
（2）两点法即可确定函数的图象．
（3）利用A、B点坐标，然后根据面积公式求解即可．
详解：(1)∵函数的图象点
∴,
∴,
∴这个函数的表达式是.
(2)图象如图所示：

(3) )∵的图象分别与轴、轴相交于点、,
∴、 ,
过点作轴，垂足为点
∴,
,
.
点睛：考查了函数的图象与性质，画法以及解析式的求法，解题的关键是图象过点，即可把点的坐标代入解析式，还有熟悉函数图象的画法.
23. 为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据没有同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．

【正确答案】（1）；（2）当时，手机支付比较合算；当时，两种方式都一样；当时，卡支付比较合算；

【分析】（1）设，代入点的坐标求解即可；
（2）求出卡支付的费用与骑行时间的函数关系式，两者比较即可求解．
【详解】解：（1）设，将点、代入得：
，解得，即
故手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为
（2）设卡支付的费用与骑行时间的函数关系式为
将代入得，，即
令，解得
由图像可得，当时，手机支付比较合算；
当时，两种方式都一样；
当时，卡支付比较合算；
此题考查了函数和正比例函数的应用，解题的关键是掌握函数和正比例函数的有关性质．
24. 某商场同时购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如右表，设其中甲种商品购进件．
（1）直接写出购进乙种商品的件数；（用含的代数式表示）
（2）若设该商场售完这件商品的总利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商品计划至多投入元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得利润是多少元？

【正确答案】（1）购进乙种商品的件数是（200﹣x）件；（2）①y=﹣60x+28000（0≤x≤200）；②该商场获得的利润为22000元．

【详解】分析：(1)同时购进甲、乙两种商品共件，甲种商品购进件, 购进乙种商品的件数是（200﹣x）件；
(2)①根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入列关系式，并化简；
②根据总成本≤18000列没有等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
详解：(1)购进乙种商品的件数是件；
(2) ①根据题意得：y=(160−80)x+(240−100)(200−x)，
=−60x+28000，
则y与x的函数关系式为：y=−60x+28000；
②
解得：
∴至少要购进100件甲商品，
y=−60x+28000，
∵−60<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y有值，
y大=−60×100+28000=22000，
∴若售完这些商品，则商场可获得的利润是22000元；
点睛：考查了函数的应用，一元没有等式的应用，属于中档题，难度没有大.
25. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与双曲线交于、两点，分别过点、点作轴，轴，垂足分别为点、点，
（1）求线段的长；
（2）若．
①求直线的解析式；
②请你判断线段与线段的大小关系，并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），理由见解析.

【详解】分析：(1)求出点的横坐标，代入反比例函数解析式求得纵坐标即可求出的长.
(2) ①求出两点的坐标，用待定系数法即可求得直线的解析式；
②过点作轴，垂足为点,证明≌,即可证明.
详解：(1) ∵，
∴点的横坐标是1,
∵点在双曲线 的图象上,
∴ ,
∴ .
(2) ∵,
∴ .
①∵点在双曲线 的图象上，,
∴ ，
∴，
∴
设直线的解析式为： ,　
∵直线过点、,
∴，
解得：
∴直线的解析式为.
②.
解法一：过点作轴，垂足为点,
∵直线与轴交于点，
∴令，则，∴,
∵直线与轴交于点，
∴令，则，∴,
∵、,
∴，,
∵轴，轴.,
∴
∵， ,
∴≌ ,
∴.
解法二：过点作轴，垂足为点,
根据勾股定理可得， ,
∴.
点睛：属于反比例函数的综合题，涉及待定系数法求反比例函数解析式，函数解析式，三角形全等的判定与性质等，难度适中.
































2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷二）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）．
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 下列图形中，即是轴对称图形又是对称图形的是（ ）．
A B. C. D.
3. 如图，□ABCD中，DE⊥AB于点E，且∠EDA=35º，则∠C等于（ ）

A. 35º B. 55º C. 65º D. 75º
4. 函数的图象没有下列哪个象限（ ）．
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，在四边形中，是边的中点，连结并延长，交的延长线于点，．添加一个条件，使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）．

A. B. C. D.
7. 已知函数，，的图象交于一点，则值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 如图，已知函数和的图象交于点，则下列结论中错误的是（ ）．

A. B. C. 当时， D.
9. 如图，若点为函数图象上的一动点，表示点到原点的距离，则下列图象中，能表示与点的横坐标的函数关系的图象大致是（ ）．

A. B.
C. D.
二、填 空 题（本题共24分，每题3分）
10. 将直线向下平移个单位长度得到直线解析式为__________．
11. 在平行四边形中，，，，则__________．
12. 已知某函数与直线平行，且点，则这个函数解析式是__________．
13. 如图，甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训参加学习，图中、分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图象，由图可知，乙每分钟比甲__________（填“多”或“少”）走__________．

14. 小明做了一个平行四边形的纸板，但他没有确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是_____．
15. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则__________．

16. 在平行四边形中，，，则的取值范围是___________．
17. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大原来的倍，使，得到；将绕原点旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到．如此下去，得到．

（）的值为___________．
（）在中，点的坐标是__________．
三、解 答 题（本题共25分，每小题5分）
18. 申思同学最近在网上看到如下信息：
明确指示，要打造北京非首都功能疏解集中承载地，在河北适合地段建设一座以新发展理念引领的现代新型城区．雄安新区没有同于一般意义上的新区，其是承接北京疏解出的与去全国政治、文化、国际交往、科技创新无关的城市功能，包括行政事业单位、总部企业、金融机构、高等院校、科研院所等．右图是北京、天津、保定和雄安新区的大致交通图，其中保定、天津和雄安新区可近似看作在一条直线上．申思同学想根据图中信息求出北京和保定之间的大致距离．
他先画出如图示意图，其中AC＝AB＝BC＝100，点C在线段BD上，他把CD近似当作40，来求AD的长．
请帮申思同学解决这个问题．

19. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．

①以原点为对称，画出与关于原点对称的．
②将绕点沿逆时针方向旋转得到，画出，并求出的长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象的交点为．

（）求函数的解析式．
（）求的面积．
21. 如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．

（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．
22. 某服装厂计划生产A，B两款校服共500件，这两款校服的成本、售价如表所示：
价格
类别
成本（元/件）
售价（元/件）
A款
30
45
B款
50
70
（1）求校服厂家完这批校服时所获得的利润y（元）与A款校服的生产数量x（件）之间的函数关系．
（2）若厂家计划B款校服的生产数量没有超过A款校服的生产数量的4倍，应怎样安排生产才能使校服厂家在完这批校服时获得利润至多？此时获得利润为多少元？
四、解 答 题（本题共21分，第24题8分．25题6分、26题7分）
23. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，．

（）写出点的坐标和的值．
（）若点是象限内直线上的一个动点，当点运动过程中，试求出的面积与的函数关系式．
（）在（）的条件下：
①当点运动到什么位置时，的面积是．
②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若没有存在，请说明理由．
24. 在等腰和等腰中，斜边中点也是的中点，，．

（）如图，则与的关系是__________．
（）将绕点顺时针旋转，请画出图形井求的值．
（）将绕点逆时针旋转，角度为，请判断（）的结论是否仍然成立，若成立请证明，若没有成立请画图说明．
25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连接．

（）求证：是等边三角形．
（）点在线段延长线上，连接，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连接、．
①如图，若，直接写出的度数．
②若点在线段的延长线上运动（与点没有重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若没有变，求出的度数．
（）在（）的条件下，若点从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒个单位长度，与交于点，设的面积为，的面积为，，运动时间为秒时．求关于的函数关系式．
附加卷
（本卷共10分，第1题每题4分，第2题6分）
26. 在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋的数学家秦九韶（年—年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元年左右，生平没有详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式是由古希腊数学家阿基米德（公元前年—公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式．它的表达为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积（公式里的为半周长即周长的一半）．
请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题：
（）三边长分别为、、的三角形面积为__________．
（）四边形中，，，，，，四边形的面积为__________．
（）五边形中，，，，，，，五边形的面积为__________．

































2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（卷二）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）．
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【正确答案】C

【详解】根据勾股定理可判断，若，则称三角形为直角三角形．
．．
．．
．．
．．
故选．
2. 下列图形中，即是轴对称图形又是对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】．既没有是轴对称图形也没有是对称图形．
．既是轴对称图形也是对称图形．
．是轴对称图形．
．是对称图形．
故选．
3. 如图，在□ABCD中，DE⊥AB于点E，且∠EDA=35º，则∠C等于（ ）

A. 35º B. 55º C. 65º D. 75º
【正确答案】B

【分析】由垂直的定义可得∠AED=90°，已知条件可求出∠A的度数，进而可求出∠C的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵∠EDA=35°，
∴∠A=90°−35°=55°，
∴∠C=55°，
故选：B．
本题考查了平行四边形的性质以及垂直的定义和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟记平行四边形的性质．
4. 函数的图象没有下列哪个象限（ ）．
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A

【详解】∵图象二、三、四象限，
∴图象没有象限．
故选．
5. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】C

【详解】如图所示：

根据题意，
设，则．
在中，


解得，
∴．
故选．
6. 如图，在四边形中，是边的中点，连结并延长，交的延长线于点，．添加一个条件，使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】如图所示：

和中

∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∴四边形为平行四边形．
故选．
7. 已知函数，，的图象交于一点，则值为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】
解得
将代入，
，
．
故选．
【详解】
8. 如图，已知函数和的图象交于点，则下列结论中错误的是（ ）．

A. B. C. 当时， D.
【正确答案】C

【详解】．，正确．
．根据图象可判断，正确．
．当时，，错误．
．由，可得，正确．
故选C.
9. 如图，若点为函数图象上的一动点，表示点到原点的距离，则下列图象中，能表示与点的横坐标的函数关系的图象大致是（ ）．

A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】由图象可知，当直线时，最短，且当x〉0时，函数有最小值，且最小值小于2
则符合条件．
故选．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，由垂线段最短判定出当x〉0时，函数有最小值，且最小值小于2是解题的关键．
二、填 空 题（本题共24分，每题3分）
10. 将直线向下平移个单位长度得到的直线解析式为__________．
【正确答案】

【详解】根据题意知，平移后的直线解析式为：y=x+2-4=x，即y=x－2．
故答案是：y=x-2．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
11. 在平行四边形中，，，，则__________．
【正确答案】6

【详解】作于．

∵，，
∴，
，
∴．
12. 已知某函数与直线平行，且点，则这个函数解析式是__________．
【正确答案】

【详解】设函数解析式
∵与平行，
∴，
∴．
∵函数，
∴，，
∴．
13. 如图，甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训参加学习，图中、分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图象，由图可知，乙每分钟比甲__________（填“多”或“少”）走__________．

【正确答案】 ①. 多， ②. 0.75

【详解】（千米/分）（千米/分）
∴乙每分钟甲多
（千米/分
故答案是：多,0.75.
14. 小明做了一个平行四边形的纸板，但他没有确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是_____．
【正确答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

【详解】根据平行四边形的判定可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
15. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则__________．

【正确答案】3

【详解】如图所示：

∵平分，
∴．
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴．
∵，
∵，
∴．
∵，
∴．
16. 在平行四边形中，，，则的取值范围是___________．
【正确答案】

【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，

∴
故答案是.
本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．
17. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大原来的倍，使，得到；将绕原点旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到．如此下去，得到．

（）的值为___________．
（）在中，点的坐标是__________．
【正确答案】 ①. , ②.

【详解】（）在中，
∵，，
∴，．
∵．

∴．
（）每次旋转．
∴旋转次后，正好是一周，
∴余，
∴在象限，
∴．
本题考查了坐标与图形的变化-旋转、坐标与图形性质，找出规律是解决问题的关键．
三、解 答 题（本题共25分，每小题5分）
18. 申思同学最近在网上看到如下信息：
明确指示，要打造北京非首都功能疏解集中承载地，在河北适合地段建设一座以新发展理念引领的现代新型城区．雄安新区没有同于一般意义上的新区，其是承接北京疏解出的与去全国政治、文化、国际交往、科技创新无关的城市功能，包括行政事业单位、总部企业、金融机构、高等院校、科研院所等．右图是北京、天津、保定和雄安新区的大致交通图，其中保定、天津和雄安新区可近似看作在一条直线上．申思同学想根据图中信息求出北京和保定之间的大致距离．
他先画出如图示意图，其中AC＝AB＝BC＝100，点C在线段BD上，他把CD近似当作40，来求AD的长．
请帮申思同学解决这个问题．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：作，构造直角三角形，先求出DE和AE的长度，再根据勾股定理求得AD的长度.
试题解析：
作．
∵，
∴为等边三角形．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵中，

．
∵，
∴．
∵中，
，
．
∵，
∴．

19. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．

①以原点为对称，画出与关于原点对称的．
②将绕点沿逆时针方向旋转得到，画出，并求出的长．
【正确答案】①见解析；②

【详解】试题分析：（1）根据对称点平分对应点连线可找到各点的对应点，从而顺次连接即可得出△A1B1C1；
（2）根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并求得的长.
试题解析：
①

②∴即为所求
设点为点，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵旋转，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象的交点为．

（）求函数的解析式．
（）求的面积．
【正确答案】（）；（）

【详解】试题分析：(1)用待定系数法求函数解析式；
（2）作轴，先求得CD、OB长度，再根据求出面积.
试题解析：
（）由已知得，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）作轴．
∵，
∴，
∴．
令，得，
∴，
∴．

21. 如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．

（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．
【正确答案】（）相等；（）

【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
试题解析：
（）相等,理由如下：
如图所示：

在▱ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；
（）证明：当旋转角为时，
，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

22. 某服装厂计划生产A，B两款校服共500件，这两款校服成本、售价如表所示：
价格
类别
成本（元/件）
售价（元/件）
A款
30
45
B款
50
70
（1）求校服厂家完这批校服时所获得的利润y（元）与A款校服的生产数量x（件）之间的函数关系．
（2）若厂家计划B款校服的生产数量没有超过A款校服的生产数量的4倍，应怎样安排生产才能使校服厂家在完这批校服时获得利润至多？此时获得利润为多少元？
【正确答案】（1）（2）生产100件A款校服，400件B款校服，获利至多9500元．

【详解】试题分析：（1）款校服的生产数量（件），则B款校服的生产数量（件），再根据表格求得利润;
(2)求函数范围内的值即可.
试题解析：
（）由已知可得，


．
（）由已知可得：


．
∴．
∵随的增大而减小，
∴最小时，有值．
∴，
∴．
答：生产件款校服，件款校服，获利至多元．
四、解 答 题（本题共21分，第24题8分．25题6分、26题7分）
23. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，．

（）写出点的坐标和的值．
（）若点是象限内的直线上的一个动点，当点运动过程中，试求出的面积与的函数关系式．
（）在（）的条件下：
①当点运动到什么位置时，的面积是．
②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(），;（）;（）①当时，的面积为．②，，，

【详解】试题分析：（1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，表示出OB与OC，根据已知等式确定出k的值，即可求出B的坐标；
（2）过A作AD垂直于x轴，可得AD为三角形AOB的高，根据三角形面积公式列出S与x的关系式即可；
(3)①令S=2，求出x的值，确定出A的坐标即可；
②在①成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，分别求出P的坐标即可．
试题解析：
（）令中，
则，
∴，∴，
∴，∴，
代入得，．
（）作轴于
∴．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）①由已知可得，
，
∴，
∴，
∴当时，的面积是．
②∵
∴．
∵为等腰．
若，则以为圆心，为半径画圆，交轴于，
∴，
若，则以为圆心，为半径画圆，交轴于，，
∴，
若，则作的垂直平分线，交轴于，
∴．

函数综合题，涉及的知识有：函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
24. 在等腰和等腰中，斜边中点也是的中点，，．

（）如图，则与的关系是__________．
（）将绕点顺时针旋转，请画出图形井求的值．
（）将绕点逆时针旋转，角度为，请判断（）的结论是否仍然成立，若成立请证明，若没有成立请画图说明．
【正确答案】（）相等且垂直;（）;（）见解析

【详解】试题分析：（1）连接AO，A1O，如图1，根据等腰直角三角形的性质得AO⊥OC，AO=OC，A1O⊥OC1，OA1=OC1，则可判断A点、A1点、O点共线，于是得到AA1⊥C1C，AA1=C1C；
（2）先求得FG和GC，再在直角三角形GCF中根据求值；
（3）连接OA，DO，如图2，利用旋转的性质得∠AOD=∠COF，则可利用“SAS”证明△OAD≌△OCF，所以AD=FC，∠OAD=∠OCF，再利用三角形内角和得到∠MHC=∠MOA=90°，于是得到AD⊥FC；
试题解析：
（1）连接AO，DO，如图所示：

∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，斜边EF中点O也是BC的中点，
∴AO⊥OC，AO=OC，DO⊥OF，OD=OF，
∴A点、D点、O点共线，
∴AD⊥FC，OA-OD=OC-OD，
∴AD=FC；
（）∵旋转
∴．
∵等腰，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰．
在中
．
∵，
∴，
∴．
∵为中点，
∴，
∴．
∵，
∴
∴．
∵为中点，
∴，
∴．
在中，
∴，
∴．

（）连接、．
∵等腰，为中点
∴，
∴为等腰，
∴．
∵等腰，为中点，
∴，，
∴为等腰，
∴．
∵
∴．
在和中
，
∴≌，
∴，．
∵
∴
∴，
∴（）则结论仍成立．

25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连接．

（）求证：是等边三角形．
（）点在线段的延长线上，连接，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连接、．
①如图，若，直接写出的度数．
②若点在线段的延长线上运动（与点没有重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若没有变，求出的度数．
（）在（）的条件下，若点从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒个单位长度，与交于点，设的面积为，的面积为，，运动时间为秒时．求关于的函数关系式．
【正确答案】（1）见解析；（2）①120°；②没有变，120°；（）y= (t>0)．

【详解】试题分析：(1) 先求出A、B两点，再根据两点间坐标公式求得AB=BC=AC，则可证△ABC为等边三角形．
（2））①因为△ABC为等边三角形，CP=AC，DE是AP的中垂线，故C、D、E三点共线，进而求出四边形AEPC是菱形，可以求解；
②由于E在y轴上，即E在AC的垂直平分线上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分线上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度数和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度数没有变．
（3）由于S1、S2的面积无法直接求出，因此可求（S1﹣S2）这个整体的值，将其适当变形可得（S1+S△ACF）﹣（S2+S△ACF），即S1﹣S2的值可由△ACE和△ACP的面积差求得，过E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，则CM=PM=，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+，通过解直角三角形即可求得BE的长，从而可得到OE的长，到此，可根据三角形的面积公式表示出△ACE和△ACP的面积，从而求得S1﹣S2的表达式，由此得解．
试题解析：
（1）由函数y=x+3，
则A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0）．
再由两点间距离公式可得出：AB=BC=AC=6，
∴△ABC为等边三角形．
（2）①，连接CD，由题意得，C、D、E三点共线，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
∴∠AEP=120°．
②连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
故∠AEP=360°﹣240°=120°，
∴∠AEP的度数没有会发生变化，仍为120°．
（3）如图，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：
CM=MP=CP=；
∴BM=BC+CM=6+；
在Rt△BEM中，∠MBE=30°，则有：BE=BM=；
∴OE=BE﹣OB=﹣3=+t；
故S△AEC=AC•OE=×6×（+t）=3+t，
S△ACP=PC•AN=×t×3=t；
∵S△AEC=S1+S，S△ACP=S+S2，
∴S△AEC﹣S△ACP=S1+S﹣（S2+S）=S1﹣S2
=3+t﹣t=3﹣t，
即y=3﹣t．



函数综合题，涉及到：等边三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形面积的求法，解直角三角形等重要知识点，此题的难点在于第（3）问，由于S1、S2的面积无法直接求出，能够用△AEC、△ACP的面积差来表示S1﹣S2的值是解答此题的关键．
附加卷
（本卷共10分，第1题每题4分，第2题6分）
26. 在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋的数学家秦九韶（年—年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元年左右，生平没有详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式是由古希腊数学家阿基米德（公元前年—公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式．它的表达为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积（公式里的为半周长即周长的一半）．
请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题：
（）三边长分别为、、的三角形面积为__________．
（）四边形中，，，，，，四边形的面积为__________．
（）五边形中，，，，，，，五边形的面积为__________．
【正确答案】（）
（）
（）

【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）连接AC，并示得AC的长度，再计算的面积，再得出四边形的面积；
（3）将五边形分成三个三角形，再分别求出这三个三角形的面积，则求得五边形的面积．
详解】（），



．
（）连接，如图．
∵．
在中
∴

．
∵．
∴．
在中，



．
∴．


（）连接，，如图．
∵．
在中，

．
∴．
∴

．
作于，
∵，，
∴
∴．
在中，
．
∴．
∵,
∴，
∴

．
∵AE=12，CE=10，AC=6，
∴，


．
∴．

本题是材料阅读题，考查了二次根式的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识,关键是理解材料提供的公式并能灵活应用，难点是通过作辅助线，把多边形面积计算问题转化为三角形面积计算问题．