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2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了单 选 题，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（A卷）
一、单 选 题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1. 使二次根式有意义的条件是 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A. 60 B. 30 C. 20 D. 32
4. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
5. 以下各组数为边长，没有能组成直角三角形的是（ ）．
A. 1.5，2，2.5 B. 40，50，60 C. 7，25，24 D. ，1，
6. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C 70°
D. 80°
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A. B. C. D.
8. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
10. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有( )
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A B. C. 5 D. 4
12. 如图，，点D在边BC上与B、C没有重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：；：：2；；
其中正确的结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 在△ABC中，∠C=90o，AB=10，∠A=30o，AC= ____
14. “如果两个实数相等，那么它们的值相等”的逆命题是：___________________________
15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC周长是_________
16. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36cm，AD的长为5cm，△BOC的周长____________
17. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，E在BC上，BE=2，∠BAD=1200，点P在BD上，则PE+PC的最小值是______
18. 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②AD：AE=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2 OG．其中正确结论的序号是______.
19. 将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于______ ．
20. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 计算：
（1）；（2）．
22. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得，你能帮助小明计算出树高度吗？
23. 如图所示，在矩形ABCD中，、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是．
在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么多少秒后，四边形AQCP是菱形？
分别求出菱形AQCP的周长、面积．
24. 如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是延长线上的点，且为等边三角形.
（1）四边形菱形吗?请说明理由；
（2）若，试说明：四边形是正方形.
26. 如图所示，E、F分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点，交CB的延长线于点G．
求证：；若，判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（A卷）
一、单 选 题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1. 使二次根式有意义的条件是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据二次根式的有意义和分式有意义列出没有等式求解即可．
详解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
故选A.
点睛：考查二次根式有意义，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就没有是．
详解：A. 被开方数含能开得尽方的因数，故A没有符合题意；
B. 被开方数含分母，故B符合题意；
C. 被开方数没有含分母；被开方数没有含能开得尽方的因数,故C符合题意；
D. 被开方数含分母，故D没有符合题意；
故选C.
点睛：考查最简二次根式的概念，①被开方数没有含有分母，②被开方数没有含有能开得尽方的因数或因式.
3. 若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A. 60 B. 30 C. 20 D. 32
【正确答案】B
【详解】解：根据直角三角形的勾股定理可得：
另一条直角边=，
则S=12×5÷2=30
故选：B．
4. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=.
故选A
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义
5. 以下各组数为边长，没有能组成直角三角形的是（ ）．
A. 1.5，2，2.5 B. 40，50，60 C. 7，25，24 D. ，1，
【正确答案】B
【详解】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
详解：A. 是直角三角形，故此选项错误；
B. 没有直角三角形，故此选项正确；
C. 是直角三角形，故此选项错误；
D. 是直角三角形，故此选项错误.
故选B.
点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
6. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
【正确答案】D
【详解】注意是两对角线所成的锐角．
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可
【详解】如图，连接BF．
∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，
∴BF⊥AE，BE=EF．
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=EC=EF=3
根据勾股定理有AE=AB+BE
代入数据求得AE=5
根据三角形的面积公式
得BH=
即可得BF=
由FE=BE=EC，
可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC-BF=CF
代入数据求得CF=
故
此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．
8. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵PQ∥AB,MN∥AD
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形
故选B.
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接AP，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠EAF=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP•BC=AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=，
∴AM=．
故选：D．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值．
10. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有( )
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
【详解】①AB=BC，
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC=BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
③OA=OD，BC=CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
④
由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确．
故选D
考查正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键.
11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【正确答案】A
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．
12. 如图，，点D在边BC上与B、C没有重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：；：：2；；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】分析：由正方形的性质得出 ，证出，由AAS证明≌，得出，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出 ②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出 ，③正确；
详解：∵四边形ADEF为正方形，
∴
∴
∵FG⊥CA，
∴
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中,
∴△FGA≌△ACD(AAS)，
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴ ②正确；
∵
∴ ③正确；
故选D.
点睛：考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 在△ABC中，∠C=90o，AB=10，∠A=30o，AC= ____
【正确答案】
【详解】分析：根据所对的直角边等于斜边的一半，求出根据勾股定理即可求出的长度.
详解：
故答案为
点睛：考查直角三角形的性质.熟记所对的直角边等于斜边的一半.
14. “如果两个实数相等，那么它们的值相等”的逆命题是：___________________________
【正确答案】如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的值相等”，
故其逆命题是“如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等”．
故如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等.
15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC周长是_________
【正确答案】
【详解】分析：根据勾股定理分别求出的长，从而求出的周长．
详解：
的周长为：
故答案为.
点睛：本题考查了勾股定理及三角形的周长公式，关键是运用勾股定理求出的长度．勾股定理的内容是:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
16. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36cm，AD的长为5cm，△BOC的周长____________
【正确答案】23cm
【详解】分析：根据平行四边形的性质得出
求出的值，代入求出即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5cm，
∴
∵AC+BD=36cm，
∴
∴△BOC的周长是
故答案为23cm.
点睛：考查平行四边形的性质.平行四边形的对角线互相平分.
17. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，E在BC上，BE=2，∠BAD=1200，点P在BD上，则PE+PC的最小值是______
【正确答案】
【详解】分析：根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AE为的最小值．
详解：∵ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
点睛：考查了菱形的性质以及最短路线问题，根据轴对称的性质，将转化为是解题的关键.
18. 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②AD：AE=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2 OG．其中正确结论的序号是______.
【正确答案】①④⑤
【详解】分析：①根据正方形性质和折叠性质得出和，即可求解；
②根据直角三角形的直角边小于斜边，即可得出结论；
③根据角平分线的性质得出三角形的高相等，再分析底边长即可；
④证明四条边相等即可；
⑤由折叠的性质设进一步表示的长度，相似三角形进行求解即可．
详解：因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
所以
可求, 所以①正确,
因为tan∠AED=
因为AE=EF
因为AD=AB，因此②错.
因为AG=FG>OG，△AGD与△OGD同高，
所以 所以③错.
根据题意可得：AE=EF,AG=FG,又因为EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四边形AEFG是菱形，因此④正确.
由折叠的性质设BF=EF=AE=1,则
由此可求，
因为EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以
∴
在直角三角形BEF中,
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角和等腰直角中,
所以BE=2OG.因此⑤正确.
故答案为①④⑤.
点睛：数学四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，折叠的性质等，综合性比较强，难度较大.
19. 将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于______ ．
【正确答案】
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和，问题得解．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是.
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为
考查正方形的性质，求得阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键.
20. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________．
【正确答案】2
【分析】根据题意对进行分类讨论，当时，可知必落在射线上；当时，，必落在上----这与已知条件“点落在矩形内一点处”产生矛盾即没有符合题意舍去，只有当时符合题意，此时利用勾股定理以及折叠的性质即可求解．
【详解】解：如图，使为直角三角形，必有一角为，可分类讨论：
①当时，可知必落在射线上，没有符合题意；
②当时，．
又，四边形为矩形
∴必落在上，没有符合题意；
③当时，
∵
∴
∴落在上，
∴
又在上，，
∴．
故答案是：
本题考查了矩形，图形翻折以及勾股定理等相关知识，对进行分类讨论的同时也要正确理解“点落在矩形内一点处”，是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 计算：
（1）；（2）．
【正确答案】（1） （2）
【详解】分析：（1）先去括号，然后化简二次根式，合并求解；
（2）先把括号内各二次根式化为最简二次根式，再利用除法法则进行计算合并即可；
详解：原式
原式
点睛：考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算方法是解题的关键.
22. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【正确答案】树的高度为10米．
【详解】分析：根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质即可得到结论．
详解：
∴
∴
∴
又∵
∴
∴树的高度为10米．
点睛：考查了等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质. 熟记所对的直角边等于斜边的一半.
23. 如图所示，在矩形ABCD中，、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是．
在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么多少秒后，四边形AQCP是菱形？
分别求出菱形AQCP周长、面积．
【正确答案】（1）3s；（2）20cm,20cm2.
【详解】分析：（1）设x秒后，四边形是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．
（2）根据问可求得菱形的边长，从而没有难求得其周长及面积．
详解：(1)x秒后，四边形AQCP是菱形
∴DP=xcm,AP=CP=AD−DP=(8−x)cm，
∵
∴ 解得x=3
即3秒后四边形是菱形.
(2)由问得菱形的边长为5,
∴菱形AQCP的周长=5×4=20(cm),
菱形AQCP的面积
点睛：考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
24. 如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
【正确答案】见解析
【分析】连接交于点，利用平行四边形的性质可得到，，再由可证出，即可用对角线相互平分的四边形是平行四边形进行判定．
【详解】解：连接交于点
∵四边形为平行四边形
∴，
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形
本题主要考查了平行四边形的性质及判定，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是延长线上的点，且为等边三角形.
（1）四边形是菱形吗?请说明理由；
（2）若，试说明：四边形是正方形.
【正确答案】（1）四边形为菱形，理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可求证.
（2）根据“有一个角是90°的菱形是正方形”即可求证.
【详解】（1）四边形为菱形，理由：
在平行四边形中,,
是等边三角形.
，
又、、、四点在一条直线上，
.
平行四边形是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）由是等边三角形，，得到，
.
.
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形.（有一个角是90°的菱形是正方形）
本题考查了平行四边形的性质以及菱形、正方形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键.
26. 如图所示，E、F分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点，交CB的延长线于点G．
求证：；若，判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEBF是菱形；理由见解析.
【详解】分析：（1）根据已知条件证明，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
详解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵点E. F分别是AB、CD的中点，
∴
∴BE=DF,BE∥DF，
∴四边形DFBE平行四边形，
∴DE∥BF；
(2)四边形DEBF是菱形；理由如下：
∵,AG∥BD,AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形.
点睛：考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握判定方法是解的关键.
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -4
2. 二次函数的值为（ ）
A. 3 B. 4
C 5 D. 6
3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，以原点为位似，将放大为原来的倍，得到，且点在第二象限，则点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
5. 某学校组织学生进行核心观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分
95
90
85
80
人数
4
6
8
2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )
A. 85，90 B. 85，875 C. 90，85 D. 95，90
6. 若二次函数的图象的对称轴是点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤
9. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图像如图所示，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
10. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
12. 若＝，则＝__________.
13. 的三边长分别为，，，与它相似的的最小边长为，则的周长为__________．
14. 如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则与的面积比等于______．
15. 如图是跷跷板的示意图，立柱与地面垂直，以为横板的中点，绕点上下转动，横板的端高度是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设，，通过计算得到此时的，再将横板换成横板，为横板的中点，且，此时点的高度为，由此得到与的大小关系是：__________（填“、“”或“”）可进一步得出，随横板的长度的变化而__________（填“没有变”或“改变”）．
16. 如果一个平行四边形一个内角平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________．
三、解 答 题（共52分）
17. （）分解因式．
（）解方程：．
18. 如图， 中， 为 上一点， ， ， ，求 的长．
19. 已知：抛物线坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（）求抛物线的解析式．
（）图像写出时，对应的的取值范围．
（）设点是该抛物线上位于轴下方的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，再作轴于点，轴于点，当时，直接写出矩形的周长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于、两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
（）求反比例函数的表达式．
（）若点是反比例函数图像上一点，且满足的面积是面积的一半，请直接写出点的坐标．
21. 列方程或方程组解应用题：
某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
22. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，．
（）求证：四边形是平行四边形．
（）如果平分，，，求的长．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，．
求证：抛物线总与轴有两个没有同的交点；
若，求此抛物线解析式．
已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．
24. 在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
（）如图，当 是线段的中点时，易证．
（）如图，当点没有是线段的中点，其它条件没有变时，请你判断（）中的结论：__________（填“成立”或“没有成立”）．
（）如图，当点没有是线段延长线上的任意一点，其它条件没有变时，（）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若没有成立，请说明理由．
25. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数，
（）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是__________（填序号）．
（）若和为关于的对称函数．
①求、的值．
②对于任意的实数，满足时，恒成立，则满足的条件为__________．
（）若和为关于对称函数，且对于任意的实数，都有，请函数的图像，求的取值范围．
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -4
【正确答案】A
【分析】根据求解即可.
【详解】设另一根为x2，
则-1+x2=-3，
∴x2=-2.
故选A.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
2. 二次函数的值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【正确答案】C
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【详解】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有值，值为5．
故选C．
本题考查二次函数的最值，掌握配方确计算，利用数形思想解题是关键．
3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，以原点为位似，将放大为原来的倍，得到，且点在第二象限，则点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵点的坐标为，以原点为位似，
将放大为原来的倍，得，且点在第二象限，
∴点的坐标为，故答案为．
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：因为点（a，b）关于原点的对称点的坐标为（-a，-b），所以点B（3，1）关于原点的对称点的坐标为（－3，－1），故选D．
考点：关于原点的对称的点的坐标特点．
5. 某学校组织学生进行核心观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分
95
90
85
80
人数
4
6
8
2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )
A. 85，90 B. 85，87.5 C. 90，85 D. 95，90
【正确答案】B
【详解】试题解析：85分的有8人，人数至多，故众数为85分；
处于中间位置的数为第10、11两个数，
为85分，90分，中位数为87.5分．
故选B．
考点：1.众数;2.中位数
6. 若二次函数图象的对称轴是点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则−=−=2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2=−1.
故选D.
本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵
∴△ADE∽△ABC，
∴
即：
∴
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质．
8. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤
【正确答案】A
【详解】①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与没有一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故没有能证明：与相似．
故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
9. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图像如图所示，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵是斜边的中点，
∴根据函数的图像可知：，，
∵，
∴，，
故答案为．
10. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
【正确答案】D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
【正确答案】y=x2-8x+20
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数没有变可得新抛物线的解析式．
【详解】∵= +2，其顶点坐标为(1，2).
∴向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4，4)，
∴得到的抛物线的解析式是y=+4.
故．
本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出新抛物线的顶点坐标是解题关键．
12. 若＝，则＝__________.
【正确答案】
【分析】由比例的性质即可解答此题.
【详解】∵，
∴a=b，
∴= ，
故
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
13. 的三边长分别为，，，与它相似的的最小边长为，则的周长为__________．
【正确答案】90
【详解】相似三角形的周长比等于相似比，
则，
∴，
故答案为．
14. 如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则与的面积比等于______．
【正确答案】
【详解】∵为的中点，为矩形，
∴，
∴．
故答案为.
本题考查了矩形的性质,相似三角形的性质和判定的应用,能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
15. 如图是跷跷板的示意图，立柱与地面垂直，以为横板的中点，绕点上下转动，横板的端高度是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设，，通过计算得到此时的，再将横板换成横板，为横板的中点，且，此时点的高度为，由此得到与的大小关系是：__________（填“、“”或“”）可进一步得出，随横板的长度的变化而__________（填“没有变”或“改变”）．
【正确答案】 ①. = ②. 没有变
【详解】过作，，
∵是与的中位线，
∴，
∴，
故答案为．
随横板的长度的变化而没有变．故答案为 (1). = (2). 没有变.
16. 如果一个平行四边形一个内角平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________．
【正确答案】8或10
【详解】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=1，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；
②当AE=2，DE=1时，同理得：AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；
故答案为8或10．
三、解 答 题（共52分）
17. （）分解因式．
（）解方程：．
【正确答案】（）；（），．
【详解】分析:(1)利用十字相乘法分解即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可.
本题解析：
（）
．
（），，(x-3)²=10，
．
．
18. 如图， 中， 为 上一点， ， ， ，求 的长．
【正确答案】5．
【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．
【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=5．
19. 已知：抛物线坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（）求抛物线的解析式．
（）图像写出时，对应的的取值范围．
（）设点是该抛物线上位于轴下方的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，再作轴于点，轴于点，当时，直接写出矩形的周长．
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】分析：（1）根据图象过原点，可得关于m方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据函数与没有等式的关系：图象位于x轴下方部分是没有等式的解集，可得答案；
（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．
本题解析：
（1）抛物线原点，
∴，
∴，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
∴，，
∴，
∴抛物线解析式：．
（）当时，，
由图像得：．
（）根据二次函数的对称性当时，，
∴，，
将代入，
∴．
∴，，
∴矩形的周长为：．
点睛：本题考查了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式,利用函数与没有等式的关系:图象位于x轴下方部分是没有等式的解集;利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴对称是解题关键.
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于、两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
（）求反比例函数的表达式．
（）若点是反比例函数图像上一点，且满足的面积是面积的一半，请直接写出点的坐标．
【正确答案】（）；（）点坐标为或．
【详解】（）将代入，得，
∴，
将代入解析式中．
解得，，
∴．
（）根据反比例函数和正比例函数的对称性可得：
与关于原点成对称，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
当时，，，
∴．
综上所述：点坐标为或．
21. 列方程或方程组解应用题：
某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
【正确答案】
【详解】试题分析：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额×（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解．
试题解析：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，
由题意得，200×（1+x）2=242，
解得：x=0．1=10%．
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是10%．
考点：一元二次方程的应用．
22. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，．
（）求证：四边形是平行四边形．
（）如果平分，，，求的长．
【正确答案】（）证明见解析；（）．
【详解】解：(1) ∵∠ADE=∠BAD
∴AB∥DE
，
AE∥BD
∴四边形ABDE是平行四边形
(2)解: ∵DA平分∠BDE
设BF=x，则DF=5-x
∴x=
．
本题考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理的应用,解题的关键是利用勾股定理列方程．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，．
求证：抛物线总与轴有两个没有同的交点；
若，求此抛物线的解析式．
已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．
【正确答案】证明见解析； ； ．
【分析】(1)、证明△＞0即可；(2)、利用抛物线与x轴的交点问题，则、为方程m－8mx+16m－1=0的两根，利用根与系数的关系得到+=8，=，再变形||=2得到，然后解出m即可得到抛物线解析式；(3)、先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m-16m+16m-1≥0，然后解没有等式即可．
【详解】、证明：， ∵，∴，
∴抛物线总与轴有两个没有同的交点；
、根据题意，、为方程的两根，
∴，， ∵，
∴， ∴， ∴，
∴抛物线的解析式为；
、抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上， ∴当，时，抛物线与线段有交点，
∴， ∴．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系．
24. 在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
（）如图，当 是线段的中点时，易证．
（）如图，当点没有是线段的中点，其它条件没有变时，请你判断（）中的结论：__________（填“成立”或“没有成立”）．
（）如图，当点没有是线段延长线上的任意一点，其它条件没有变时，（）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若没有成立，请说明理由．
【正确答案】（）证明见解析；（）成立；（）成立，证明见解析.
【详解】(1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2,求出△ABC的面积;(2)作EG∥BC交AB于G,证明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;
(3)作交AB的延长线于H,证明,得到.
本题解析：
（）∵菱形，，
∴，，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）成立，取，连，
∵菱形，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形．
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
（）成立．
取，连，
由（）得：、均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
点睛：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键.
25. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数，
（）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是__________（填序号）．
（）若和为关于的对称函数．
①求、的值．
②对于任意的实数，满足时，恒成立，则满足的条件为__________．
（）若和为关于对称函数，且对于任意的实数，都有，请函数的图像，求的取值范围．
【正确答案】（）②；（）①，；②；（）.
【详解】试题分析：（1）根据=x，可得y1与y2关于y=x对称；
（2）①根据=x，y1与y2关于y=x对称，可得关于k，b的方程，根据解方程，可得答案；
②根据解没有等式，可得答案；
（3）根据=x，y1与y2关于y=x对称，可得y1，根据解方程组，可得答案．
试题解析：（1）①y1=3x和y2=-x，==x，y1=3x和y2=-x关于y=x对称函数；
②y1=x+1和y2=x-1，==x，y1=x+1和y2=x-1关于y=x对称；
③y1=x2+1和y2=x2-1，==x2≠x，y1=x2+1和y2=x2-1没有关于y=x对称；
（2）①y1=3x+2和y2=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数，得
=x．
化简，得（3+k）x+（2+b）=2x．
3+k=2，2+b=0．
解得k=-1，b=-2．
②x＞m时，y1＞y2恒成立，得
3x+2＞-x-2．
解得x＞-1，
m≥-1，
（3）由y1=ax2+bx+c（a≠0）和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，得
=x．
解得a=-1，b=2，c=-n．
对于任意的实数x，都有y1＜y2，得
x2+n＞-x2+2x-n．
化简，得
x2+n＞x，
即x2-x+n＞0，
△=（-1）2-4n＜0，
解得n＞．
考点：二次函数综合题．
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（A卷）
一、单 选 题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1. 使二次根式有意义的条件是 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A. 60 B. 30 C. 20 D. 32
4. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
5. 以下各组数为边长，没有能组成直角三角形的是（ ）．
A. 1.5，2，2.5 B. 40，50，60 C. 7，25，24 D. ，1，
6. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C 70°
D. 80°
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A. B. C. D.
8. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
10. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有( )
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A B. C. 5 D. 4
12. 如图，，点D在边BC上与B、C没有重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：；：：2；；
其中正确的结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 在△ABC中，∠C=90o，AB=10，∠A=30o，AC= ____
14. “如果两个实数相等，那么它们的值相等”的逆命题是：___________________________
15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC周长是_________
16. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36cm，AD的长为5cm，△BOC的周长____________
17. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，E在BC上，BE=2，∠BAD=1200，点P在BD上，则PE+PC的最小值是______
18. 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②AD：AE=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2 OG．其中正确结论的序号是______.
19. 将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于______ ．
20. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 计算：
（1）；（2）．
22. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得，你能帮助小明计算出树高度吗？
23. 如图所示，在矩形ABCD中，、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是．
在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么多少秒后，四边形AQCP是菱形？
分别求出菱形AQCP的周长、面积．
24. 如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是延长线上的点，且为等边三角形.
（1）四边形菱形吗?请说明理由；
（2）若，试说明：四边形是正方形.
26. 如图所示，E、F分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点，交CB的延长线于点G．
求证：；若，判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（A卷）
一、单 选 题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1. 使二次根式有意义的条件是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据二次根式的有意义和分式有意义列出没有等式求解即可．
详解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
故选A.
点睛：考查二次根式有意义，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就没有是．
详解：A. 被开方数含能开得尽方的因数，故A没有符合题意；
B. 被开方数含分母，故B符合题意；
C. 被开方数没有含分母；被开方数没有含能开得尽方的因数,故C符合题意；
D. 被开方数含分母，故D没有符合题意；
故选C.
点睛：考查最简二次根式的概念，①被开方数没有含有分母，②被开方数没有含有能开得尽方的因数或因式.
3. 若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A. 60 B. 30 C. 20 D. 32
【正确答案】B
【详解】解：根据直角三角形的勾股定理可得：
另一条直角边=，
则S=12×5÷2=30
故选：B．
4. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=.
故选A
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义
5. 以下各组数为边长，没有能组成直角三角形的是（ ）．
A. 1.5，2，2.5 B. 40，50，60 C. 7，25，24 D. ，1，
【正确答案】B
【详解】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
详解：A. 是直角三角形，故此选项错误；
B. 没有直角三角形，故此选项正确；
C. 是直角三角形，故此选项错误；
D. 是直角三角形，故此选项错误.
故选B.
点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
6. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
【正确答案】D
【详解】注意是两对角线所成的锐角．
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可
【详解】如图，连接BF．
∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，
∴BF⊥AE，BE=EF．
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=EC=EF=3
根据勾股定理有AE=AB+BE
代入数据求得AE=5
根据三角形的面积公式
得BH=
即可得BF=
由FE=BE=EC，
可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC-BF=CF
代入数据求得CF=
故
此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．
8. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵PQ∥AB,MN∥AD
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形
故选B.
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接AP，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠EAF=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP•BC=AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=，
∴AM=．
故选：D．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值．
10. 如图，下列四组条件中，能判定是正方形的有( )
①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
【详解】①AB=BC，
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC=BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
③OA=OD，BC=CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确；
④
由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确．
故选D
考查正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键.
11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【正确答案】A
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．
12. 如图，，点D在边BC上与B、C没有重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：；：：2；；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】分析：由正方形的性质得出 ，证出，由AAS证明≌，得出，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出 ②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出 ，③正确；
详解：∵四边形ADEF为正方形，
∴
∴
∵FG⊥CA，
∴
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中,
∴△FGA≌△ACD(AAS)，
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴ ②正确；
∵
∴ ③正确；
故选D.
点睛：考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 在△ABC中，∠C=90o，AB=10，∠A=30o，AC= ____
【正确答案】
【详解】分析：根据所对的直角边等于斜边的一半，求出根据勾股定理即可求出的长度.
详解：
故答案为
点睛：考查直角三角形的性质.熟记所对的直角边等于斜边的一半.
14. “如果两个实数相等，那么它们的值相等”的逆命题是：___________________________
【正确答案】如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的值相等”，
故其逆命题是“如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等”．
故如果两个实数的值相等，那么这两个实数相等.
15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC周长是_________
【正确答案】
【详解】分析：根据勾股定理分别求出的长，从而求出的周长．
详解：
的周长为：
故答案为.
点睛：本题考查了勾股定理及三角形的周长公式，关键是运用勾股定理求出的长度．勾股定理的内容是:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
16. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36cm，AD的长为5cm，△BOC的周长____________
【正确答案】23cm
【详解】分析：根据平行四边形的性质得出
求出的值，代入求出即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5cm，
∴
∵AC+BD=36cm，
∴
∴△BOC的周长是
故答案为23cm.
点睛：考查平行四边形的性质.平行四边形的对角线互相平分.
17. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，E在BC上，BE=2，∠BAD=1200，点P在BD上，则PE+PC的最小值是______
【正确答案】
【详解】分析：根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AE为的最小值．
详解：∵ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
点睛：考查了菱形的性质以及最短路线问题，根据轴对称的性质，将转化为是解题的关键.
18. 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②AD：AE=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2 OG．其中正确结论的序号是______.
【正确答案】①④⑤
【详解】分析：①根据正方形性质和折叠性质得出和，即可求解；
②根据直角三角形的直角边小于斜边，即可得出结论；
③根据角平分线的性质得出三角形的高相等，再分析底边长即可；
④证明四条边相等即可；
⑤由折叠的性质设进一步表示的长度，相似三角形进行求解即可．
详解：因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
所以
可求, 所以①正确,
因为tan∠AED=
因为AE=EF
因为AD=AB，因此②错.
因为AG=FG>OG，△AGD与△OGD同高，
所以 所以③错.
根据题意可得：AE=EF,AG=FG,又因为EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四边形AEFG是菱形，因此④正确.
由折叠的性质设BF=EF=AE=1,则
由此可求，
因为EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以
∴
在直角三角形BEF中,
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角和等腰直角中,
所以BE=2OG.因此⑤正确.
故答案为①④⑤.
点睛：数学四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，折叠的性质等，综合性比较强，难度较大.
19. 将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于______ ．
【正确答案】
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和，问题得解．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是.
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为
考查正方形的性质，求得阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键.
20. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________．
【正确答案】2
【分析】根据题意对进行分类讨论，当时，可知必落在射线上；当时，，必落在上----这与已知条件“点落在矩形内一点处”产生矛盾即没有符合题意舍去，只有当时符合题意，此时利用勾股定理以及折叠的性质即可求解．
【详解】解：如图，使为直角三角形，必有一角为，可分类讨论：
①当时，可知必落在射线上，没有符合题意；
②当时，．
又，四边形为矩形
∴必落在上，没有符合题意；
③当时，
∵
∴
∴落在上，
∴
又在上，，
∴．
故答案是：
本题考查了矩形，图形翻折以及勾股定理等相关知识，对进行分类讨论的同时也要正确理解“点落在矩形内一点处”，是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分）
21. 计算：
（1）；（2）．
【正确答案】（1） （2）
【详解】分析：（1）先去括号，然后化简二次根式，合并求解；
（2）先把括号内各二次根式化为最简二次根式，再利用除法法则进行计算合并即可；
详解：原式
原式
点睛：考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算方法是解题的关键.
22. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【正确答案】树的高度为10米．
【详解】分析：根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质即可得到结论．
详解：
∴
∴
∴
又∵
∴
∴树的高度为10米．
点睛：考查了等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质. 熟记所对的直角边等于斜边的一半.
23. 如图所示，在矩形ABCD中，、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是．
在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么多少秒后，四边形AQCP是菱形？
分别求出菱形AQCP周长、面积．
【正确答案】（1）3s；（2）20cm,20cm2.
【详解】分析：（1）设x秒后，四边形是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．
（2）根据问可求得菱形的边长，从而没有难求得其周长及面积．
详解：(1)x秒后，四边形AQCP是菱形
∴DP=xcm,AP=CP=AD−DP=(8−x)cm，
∵
∴ 解得x=3
即3秒后四边形是菱形.
(2)由问得菱形的边长为5,
∴菱形AQCP的周长=5×4=20(cm),
菱形AQCP的面积
点睛：考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
24. 如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
【正确答案】见解析
【分析】连接交于点，利用平行四边形的性质可得到，，再由可证出，即可用对角线相互平分的四边形是平行四边形进行判定．
【详解】解：连接交于点
∵四边形为平行四边形
∴，
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形
本题主要考查了平行四边形的性质及判定，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是延长线上的点，且为等边三角形.
（1）四边形是菱形吗?请说明理由；
（2）若，试说明：四边形是正方形.
【正确答案】（1）四边形为菱形，理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可求证.
（2）根据“有一个角是90°的菱形是正方形”即可求证.
【详解】（1）四边形为菱形，理由：
在平行四边形中,,
是等边三角形.
，
又、、、四点在一条直线上，
.
平行四边形是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）由是等边三角形，，得到，
.
.
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形.（有一个角是90°的菱形是正方形）
本题考查了平行四边形的性质以及菱形、正方形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键.
26. 如图所示，E、F分别为平行四边形ABCD边AB、CD的中点，交CB的延长线于点G．
求证：；若，判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEBF是菱形；理由见解析.
【详解】分析：（1）根据已知条件证明，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
详解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵点E. F分别是AB、CD的中点，
∴
∴BE=DF,BE∥DF，
∴四边形DFBE平行四边形，
∴DE∥BF；
(2)四边形DEBF是菱形；理由如下：
∵,AG∥BD,AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形.
点睛：考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握判定方法是解的关键.
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -4
2. 二次函数的值为（ ）
A. 3 B. 4
C 5 D. 6
3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，以原点为位似，将放大为原来的倍，得到，且点在第二象限，则点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
5. 某学校组织学生进行核心观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分
95
90
85
80
人数
4
6
8
2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )
A. 85，90 B. 85，875 C. 90，85 D. 95，90
6. 若二次函数的图象的对称轴是点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤
9. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图像如图所示，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
10. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
12. 若＝，则＝__________.
13. 的三边长分别为，，，与它相似的的最小边长为，则的周长为__________．
14. 如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则与的面积比等于______．
15. 如图是跷跷板的示意图，立柱与地面垂直，以为横板的中点，绕点上下转动，横板的端高度是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设，，通过计算得到此时的，再将横板换成横板，为横板的中点，且，此时点的高度为，由此得到与的大小关系是：__________（填“、“”或“”）可进一步得出，随横板的长度的变化而__________（填“没有变”或“改变”）．
16. 如果一个平行四边形一个内角平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________．
三、解 答 题（共52分）
17. （）分解因式．
（）解方程：．
18. 如图， 中， 为 上一点， ， ， ，求 的长．
19. 已知：抛物线坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（）求抛物线的解析式．
（）图像写出时，对应的的取值范围．
（）设点是该抛物线上位于轴下方的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，再作轴于点，轴于点，当时，直接写出矩形的周长．
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于、两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
（）求反比例函数的表达式．
（）若点是反比例函数图像上一点，且满足的面积是面积的一半，请直接写出点的坐标．
21. 列方程或方程组解应用题：
某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
22. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，．
（）求证：四边形是平行四边形．
（）如果平分，，，求的长．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，．
求证：抛物线总与轴有两个没有同的交点；
若，求此抛物线解析式．
已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．
24. 在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
（）如图，当 是线段的中点时，易证．
（）如图，当点没有是线段的中点，其它条件没有变时，请你判断（）中的结论：__________（填“成立”或“没有成立”）．
（）如图，当点没有是线段延长线上的任意一点，其它条件没有变时，（）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若没有成立，请说明理由．
25. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数，
（）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是__________（填序号）．
（）若和为关于的对称函数．
①求、的值．
②对于任意的实数，满足时，恒成立，则满足的条件为__________．
（）若和为关于对称函数，且对于任意的实数，都有，请函数的图像，求的取值范围．
2022-2023学年北京市三校联考八年级下册数学期中专项突破模拟（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -4
【正确答案】A
【分析】根据求解即可.
【详解】设另一根为x2，
则-1+x2=-3，
∴x2=-2.
故选A.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
2. 二次函数的值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【正确答案】C
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【详解】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有值，值为5．
故选C．
本题考查二次函数的最值，掌握配方确计算，利用数形思想解题是关键．
3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，以原点为位似，将放大为原来的倍，得到，且点在第二象限，则点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵点的坐标为，以原点为位似，
将放大为原来的倍，得，且点在第二象限，
∴点的坐标为，故答案为．
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：因为点（a，b）关于原点的对称点的坐标为（-a，-b），所以点B（3，1）关于原点的对称点的坐标为（－3，－1），故选D．
考点：关于原点的对称的点的坐标特点．
5. 某学校组织学生进行核心观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分
95
90
85
80
人数
4
6
8
2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是( )
A. 85，90 B. 85，87.5 C. 90，85 D. 95，90
【正确答案】B
【详解】试题解析：85分的有8人，人数至多，故众数为85分；
处于中间位置的数为第10、11两个数，
为85分，90分，中位数为87.5分．
故选B．
考点：1.众数;2.中位数
6. 若二次函数图象的对称轴是点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则−=−=2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2=−1.
故选D.
本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵
∴△ADE∽△ABC，
∴
即：
∴
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质．
8. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤
【正确答案】A
【详解】①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与没有一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故没有能证明：与相似．
故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
9. 如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图像如图所示，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵是斜边的中点，
∴根据函数的图像可知：，，
∵，
∴，，
故答案为．
10. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
【正确答案】D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
【正确答案】y=x2-8x+20
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数没有变可得新抛物线的解析式．
【详解】∵= +2，其顶点坐标为(1，2).
∴向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4，4)，
∴得到的抛物线的解析式是y=+4.
故．
本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出新抛物线的顶点坐标是解题关键．
12. 若＝，则＝__________.
【正确答案】
【分析】由比例的性质即可解答此题.
【详解】∵，
∴a=b，
∴= ，
故
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
13. 的三边长分别为，，，与它相似的的最小边长为，则的周长为__________．
【正确答案】90
【详解】相似三角形的周长比等于相似比，
则，
∴，
故答案为．
14. 如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则与的面积比等于______．
【正确答案】
【详解】∵为的中点，为矩形，
∴，
∴．
故答案为.
本题考查了矩形的性质,相似三角形的性质和判定的应用,能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
15. 如图是跷跷板的示意图，立柱与地面垂直，以为横板的中点，绕点上下转动，横板的端高度是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设，，通过计算得到此时的，再将横板换成横板，为横板的中点，且，此时点的高度为，由此得到与的大小关系是：__________（填“、“”或“”）可进一步得出，随横板的长度的变化而__________（填“没有变”或“改变”）．
【正确答案】 ①. = ②. 没有变
【详解】过作，，
∵是与的中位线，
∴，
∴，
故答案为．
随横板的长度的变化而没有变．故答案为 (1). = (2). 没有变.
16. 如果一个平行四边形一个内角平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当“协调边”为3时，这个平行四边形的周长为_________．
【正确答案】8或10
【详解】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=1，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；
②当AE=2，DE=1时，同理得：AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；
故答案为8或10．
三、解 答 题（共52分）
17. （）分解因式．
（）解方程：．
【正确答案】（）；（），．
【详解】分析:(1)利用十字相乘法分解即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可.
本题解析：
（）
．
（），，(x-3)²=10，
．
．
18. 如图， 中， 为 上一点， ， ， ，求 的长．
【正确答案】5．
【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．
【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=5．
19. 已知：抛物线坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（）求抛物线的解析式．
（）图像写出时，对应的的取值范围．
（）设点是该抛物线上位于轴下方的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，再作轴于点，轴于点，当时，直接写出矩形的周长．
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】分析：（1）根据图象过原点，可得关于m方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据函数与没有等式的关系：图象位于x轴下方部分是没有等式的解集，可得答案；
（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．
本题解析：
（1）抛物线原点，
∴，
∴，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
∴，，
∴，
∴抛物线解析式：．
（）当时，，
由图像得：．
（）根据二次函数的对称性当时，，
∴，，
将代入，
∴．
∴，，
∴矩形的周长为：．
点睛：本题考查了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式,利用函数与没有等式的关系:图象位于x轴下方部分是没有等式的解集;利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴对称是解题关键.
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于、两点，点的横坐标为，轴于点，连接．
（）求反比例函数的表达式．
（）若点是反比例函数图像上一点，且满足的面积是面积的一半，请直接写出点的坐标．
【正确答案】（）；（）点坐标为或．
【详解】（）将代入，得，
∴，
将代入解析式中．
解得，，
∴．
（）根据反比例函数和正比例函数的对称性可得：
与关于原点成对称，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
当时，，，
∴．
综上所述：点坐标为或．
21. 列方程或方程组解应用题：
某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
【正确答案】
【详解】试题分析：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额×（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解．
试题解析：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，
由题意得，200×（1+x）2=242，
解得：x=0．1=10%．
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是10%．
考点：一元二次方程的应用．
22. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，．
（）求证：四边形是平行四边形．
（）如果平分，，，求的长．
【正确答案】（）证明见解析；（）．
【详解】解：(1) ∵∠ADE=∠BAD
∴AB∥DE
，
AE∥BD
∴四边形ABDE是平行四边形
(2)解: ∵DA平分∠BDE
设BF=x，则DF=5-x
∴x=
．
本题考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理的应用,解题的关键是利用勾股定理列方程．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，．
求证：抛物线总与轴有两个没有同的交点；
若，求此抛物线的解析式．
已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．
【正确答案】证明见解析； ； ．
【分析】(1)、证明△＞0即可；(2)、利用抛物线与x轴的交点问题，则、为方程m－8mx+16m－1=0的两根，利用根与系数的关系得到+=8，=，再变形||=2得到，然后解出m即可得到抛物线解析式；(3)、先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m-16m+16m-1≥0，然后解没有等式即可．
【详解】、证明：， ∵，∴，
∴抛物线总与轴有两个没有同的交点；
、根据题意，、为方程的两根，
∴，， ∵，
∴， ∴， ∴，
∴抛物线的解析式为；
、抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上， ∴当，时，抛物线与线段有交点，
∴， ∴．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系．
24. 在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
（）如图，当 是线段的中点时，易证．
（）如图，当点没有是线段的中点，其它条件没有变时，请你判断（）中的结论：__________（填“成立”或“没有成立”）．
（）如图，当点没有是线段延长线上的任意一点，其它条件没有变时，（）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若没有成立，请说明理由．
【正确答案】（）证明见解析；（）成立；（）成立，证明见解析.
【详解】(1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2,求出△ABC的面积;(2)作EG∥BC交AB于G,证明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;
(3)作交AB的延长线于H,证明,得到.
本题解析：
（）∵菱形，，
∴，，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（）成立，取，连，
∵菱形，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形．
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
（）成立．
取，连，
由（）得：、均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
点睛：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键.
25. 已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数，
（）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是__________（填序号）．
（）若和为关于的对称函数．
①求、的值．
②对于任意的实数，满足时，恒成立，则满足的条件为__________．
（）若和为关于对称函数，且对于任意的实数，都有，请函数的图像，求的取值范围．
【正确答案】（）②；（）①，；②；（）.
【详解】试题分析：（1）根据=x，可得y1与y2关于y=x对称；
（2）①根据=x，y1与y2关于y=x对称，可得关于k，b的方程，根据解方程，可得答案；
②根据解没有等式，可得答案；
（3）根据=x，y1与y2关于y=x对称，可得y1，根据解方程组，可得答案．
试题解析：（1）①y1=3x和y2=-x，==x，y1=3x和y2=-x关于y=x对称函数；
②y1=x+1和y2=x-1，==x，y1=x+1和y2=x-1关于y=x对称；
③y1=x2+1和y2=x2-1，==x2≠x，y1=x2+1和y2=x2-1没有关于y=x对称；
（2）①y1=3x+2和y2=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数，得
=x．
化简，得（3+k）x+（2+b）=2x．
3+k=2，2+b=0．
解得k=-1，b=-2．
②x＞m时，y1＞y2恒成立，得
3x+2＞-x-2．
解得x＞-1，
m≥-1，
（3）由y1=ax2+bx+c（a≠0）和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，得
=x．
解得a=-1，b=2，c=-n．
对于任意的实数x，都有y1＜y2，得
x2+n＞-x2+2x-n．
化简，得
x2+n＞x，
即x2-x+n＞0，
△=（-1）2-4n＜0，
解得n＞．
考点：二次函数综合题．
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