连云港市灌南县新知双语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份连云港市灌南县新知双语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

连云港市灌南县新知双语学校2021-2022学年七年级3月月考
数学试题
一、选择题
1. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，沿直线平移得到，，的延长线交于点．若=111°，则的度数为（ ）

A. 69° B. 111° C. 112° D. 113°
4. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
5. 如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．

A B. C. D.
6. 三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为　　

A. B. C. D.
7. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次转弯后，在与原来相同的方向上平行行驶，那么汽车两次转弯的角度可能是（ ）
A. 第一次右转，第二次左转 B. 第一次左转，第二次右转
C. 第一次左转，第二次左转 D. 第一次右转，第二次右转
8. 如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）

A B. C. D.
9. 如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点已知，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2
二、选择题
11. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________．
12. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD度数为__°．

13. 如图所示，已知ABCD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C的度数为_________°．

14. 过五边形一个顶点的对角线共有________条．
15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8， DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积是________．

16. 如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________

17. 将一副三角板按如图所示的方式叠放，∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_________．

18. 如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____．

三、解答题
19. 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

20. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格中，有一个且的每个顶点均与小正方形的顶点重合

（1）在方格中，将向下平移5个单位长度得到，请画出．
（2）求平移到的过程中，所扫过的面积．
21. 已知：如图，平分，平分，且，求证：

22. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．

（1）如图（一），，，与的关系是________．
（2）如图（二），，，与的关系是________．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
23. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．

24 如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．

（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1=36°，求∠2的度数．
25. 如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．

26. 如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，，试说明：

（1）；
（2）．
27. 阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．




答案与解析
一、选择题
1. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．
【详解】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．
2. 下列四个图形中，和是内错角是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内错角概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
B、∠1与∠2是内错角，选项符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
D、∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．
3. 如图，沿直线平移得到，，的延长线交于点．若=111°，则的度数为（ ）

A. 69° B. 111° C. 112° D. 113°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE，
∴∠CED＝∠AFD＝111°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，平移前后图形的形状大小都不会发生改变．
4. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
【答案】C
【解析】
【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，
根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7．
故选C

5. 如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东方向到李村
∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
6. 三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为　　

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个的角即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
7. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次转弯后，在与原来相同的方向上平行行驶，那么汽车两次转弯的角度可能是（ ）
A. 第一次右转，第二次左转 B. 第一次左转，第二次右转
C. 第一次左转，第二次左转 D. 第一次右转，第二次右转
【答案】B
【解析】
【分析】依照题意画出图形，根据平行线的判定判断即可得出结论．
【详解】解：A、如图，

∵∠1＝40°，∠2＝60°，
∴∠1≠∠2，
∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故A选项错误；
B、如图，

∵∠1＝30°，∠2＝30°，
∴∠1＝∠2，
∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向平行，故B选项正确；
C、如图，

∵两次都是向左转，
∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故C选项错误；
D、如图，

∵两次都是向右转，
∴两次转弯后，现在的方向与原来的方向不平行，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据行驶方向得出∠1＝∠2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
8. 如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．
【详解】解：是中线，
，，故A、D说法正确；
是角平分线，
，
，故C说法错误；
是的高，
，
，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
9. 如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点已知，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据折叠的性质，即可得出的度数．
【详解】解：矩形纸条中，，
，
，
由折叠可得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解．
【详解】解：根据折叠的性质，得．
在中，，
在中，，
∴，即．
故选A．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键．
二、选择题
11. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________．
【答案】8
【解析】
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
12. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．

【答案】46
【解析】
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．

【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
13. 如图所示，已知ABCD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C的度数为_________°．

【答案】25
【解析】
【分析】如图所示，过点C作CFAE，根据平行线的性质求出∠DOE=∠A=50°，∠DCF=∠DOE=50°，∠E=∠ECF，再根据∠OCE=∠E进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CFAE，
∵ABCD，
∴∠DOE=∠A=50°，
∵CFAE，
∴∠DCF=∠DOE=50°，∠E=∠ECF，
∵∠OCE=∠E，∠DCF=∠OCE+∠ECF，
∴2∠OCE=∠DCF=50°，
∴∠OCE=25°，
故答案为：25．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同位角相等是解题的关键．
14. 过五边形一个顶点的对角线共有________条．
【答案】2
【解析】
【分析】画出图形，直接观察即可解答．
【详解】解：如图所示，过五边形一个顶点的对角线共有2条；
故答案为：2
．
【点睛】本题考查了多边形对角线的条数，解题关键是明确过n边形的顶点可引出（n-3）条对角线．
15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8， DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积是________．

【答案】21
【解析】
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=3，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置
∴△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB，BE=3，
∵AB=8，DH=2，
∴HE=DE−DH=8−2=6，
∴阴影部分的面积= ×(6+8)×3=21.
故答案为21.
【点睛】此题考查平移的性质，解题关键在于求出HE.
16. 如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________

【答案】110°##110度
【解析】
【分析】根据∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB=140°，根据角平分线的定义求出∠EBC+∠BCD=70°，进而求出∠BOC=110°，最后根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∵BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠BCD==∠ACB，
∴∠EBC+∠BCD=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=70°，
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠BCD）=110°，
∴∠DOE=∠BOC=110°．

故答案为：110°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等等知识，熟知相关知识，运用整体思想求出∠EBC+∠BCD=70°是解题关键．
17. 将一副三角板按如图所示的方式叠放，∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_________．

【答案】75°##75度
【解析】
【分析】如图所示，过点F作，根据平行线的判定与性质可得，∠AFE=∠1=30°，∠EFC=∠2=45°，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点F作，
∵∠BAC=∠ACD=90°，即∠BAC+∠ACD=180°，
∴，
∴，
∴∠AFE=∠1=30°，∠EFC=∠2=45°，
∴∠3=∠EFC+∠AFE=75°，
故答案为：75°

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角板中角度的计算，掌握正确作出辅助线是解题的关键．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角角平分线相交于G，则∠G的度数为_____．

【答案】59°##59度
【解析】
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，再由角平分线的定义求出，由此求解即可．
【详解】解：∵∠C=62°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，
∵∠DAB=∠C+∠CBA，∠EBA=∠C+∠CAB，
∴∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，
∵△ABC两个外角的角平分线相交于G，
∴，，
∴，
∴∠G=180°-∠GAB-∠GBA=59°，
故答案为：59°．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
三、解答题
19. 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【详解】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用
（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
⑴连结，，交于点，则为所求的蓄水池点．
⑵过作于，沿开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）


20. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格中，有一个且的每个顶点均与小正方形的顶点重合

（1）在方格中，将向下平移5个单位长度得到，请画出．
（2）求平移到的过程中，所扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据图形平移的性质画出图形即可；
（2）扫过的面积即长方形BB1C1C的面积和△ABC的面积之和．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC所扫过的面积=BB1C1C的面积+△ABC的面积=5×4+4×2÷2=24．

【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
21. 已知：如图，平分，平分，且，求证：

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用角平分线的性质得到，，由此得到，根据推出即可得到.
【详解】证明：∵平分，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
即．
∵，
∴，
∴.
【点睛】此题考查角平分线的性质，同旁内角互补两直线平行的判定定理.
22. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．

（1）如图（一），，，与的关系是________．
（2）如图（二），，，与的关系是________．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
【答案】（1）相等 （2）互补
（3）结论见解析 （4）30°，30°或70°，110°
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；
（4）分情况讨论，当两个角相等时，即，即可得出角的度数，当两个角互补时，即，即可得出角的度数．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与相等，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与互补，
【小问3详解】
经过上述证明，我们可以得到一个结论：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【小问4详解】
设其中一个角为x°，
当两个角相等时，即，
解得，
，
当两个角互补时，即，
解得，
，
答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、等量代换等知识点，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质．
23. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．

【答案】103°
【解析】
【分析】过B作BDAE，由AECF可知BDCF，再根据平行线的性质可求出∠ABD和∠CBD，进而求出∠ABC．
【详解】解：如图，过B作BDAE，

∵AECF，
∴BDCF，
∴∠A＝∠ABD＝76°，∠DBC＋∠C＝180°，
∵∠C＝153°，
∴∠DBC＝27°，
则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝76°+27°＝103°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．
24. 如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．

（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1=36°，求∠2的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出，根据垂直推出，根据平行线的性质即可求出．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）解：，，
，
，，
∴∠BDC=∠EFC=90°，
，

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是掌握①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
25. 如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．

【答案】55°
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=×70°=35°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-35°=55°．
【点睛】本题考查是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
26. 如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，，试说明：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）要证明AF//ED，根据平行线的判定，只要找到可以判定AF//ED的条件即可，由题意可以得到，同位角∠AFC=∠D，本题得以解决；
（2）根据第一问的结论AF//ED，以及对顶角相等，可以证明结论成立．
【小问1详解】
∵AB//CD，
∴∠A=∠AFC，
∵∠A=∠D，
∴∠AFC=∠D，
∴AF//ED；
【小问2详解】
∵AF//ED，
∴∠1=∠CGD，
又∵∠2=∠CGD，
∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明的结论需要的条件．
27. 阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，
∴小明同学辅助线的做法为过点作，
故答案为：过点作
（2）如图2，过点作，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案为：30

（3）如图，设，过点作，





∵

，即．

【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．