连云港市灌南县新知双语学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份连云港市灌南县新知双语学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 要了解某市九年级学生的视力状况，从中抽查了500名学生的视力状况，那么样本是指（ ）
A. 某市所有的九年级学生B. 被抽查的500名九年级学生
C. 某市所有的九年级学生的视力状况D. 被抽查的500名学生的视力状况
2. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将数字“6”旋转180°，得到数字“9”； 将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数学“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A. 96B. 69C. 66D. 99
4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直
5. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数"的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点"；③投掷前默念几次“出现6点"，投掷结果“出现6点”的可能性就会增大；④连续投掷3次，出现点数之和不可能等于19．其中正确见解的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 菱形两对角线长为6和8，则一边上的高等于：（ ）
A. 5B. 3C. 4D. 4.8
8. 周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A. 98B. 196C. 280D. 284
9. 在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( )
①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
10. 如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ）
A. 15B. 16C. 19D. 20
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____．
12. 如果一个地区的观众中，青少年、成年人、老年人的人数比3：4：3，要抽取容量为500的样本，则成年人抽取____人合适.
13. 甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
14. 对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知 80.5～90.5 分这一组的频数是 7，频率是 0.2，那么该班级的人数是_____人．
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．
16. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
17. 如图，平面直角坐标系中，点B，点D坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 _____．
18. 如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题
19. 为保证中小学生每天锻炼一小时，涟水县某中学开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
（1）某班同学的总人数为 人；
（2）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目图形补充完整；
（3）扇形统计图（2）中表示”篮球”项目扇形的圆心角度数为 ．
20. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）请在图中画出△AEF．
（2）请在x轴上找一个点P，使PA+PE的值最小，并直接写出P点的坐标为 ．
21. 已知，如图，在中，是对角线上的两点，且．求证：．
22. 在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
23. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有多少名？
24. 如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明：四边形ABCD矩形．
25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，求DE长
26. 如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
014
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 要了解某市九年级学生的视力状况，从中抽查了500名学生的视力状况，那么样本是指（ ）
A. 某市所有的九年级学生B. 被抽查的500名九年级学生
C. 某市所有的九年级学生的视力状况D. 被抽查的500名学生的视力状况
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：样本是指被抽查的500名学生的视力状况．故选D．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
2. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形．故A选项错误；
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B选项错误；
C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C选项错误；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形．故D选项正确.
故选D.
【点睛】本题考查中心对称图形，轴对称图形.
3. 将数字“6”旋转180°，得到数字“9”； 将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数学“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A. 96B. 69C. 66D. 99
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【详解】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键．
4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
【点睛】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
5. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据旋转的性质可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：由旋转的性质得：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质（旋转前后的对应角相等）．
6. 投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数"的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点"；③投掷前默念几次“出现6点"，投掷结果“出现6点”的可能性就会增大；④连续投掷3次，出现点数之和不可能等于19．其中正确见解的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据概率的意义进行分析即可．
【详解】解：①投掷一枚普通的正方体骰子，出现“点数为奇数”的概率与出现“点数为偶数”的概率均为，故①正确；
②投掷一枚普通的正方体骰子，“出现1点”是随机事件，故②错误；
③结合概率的意义，可得③错误；
④投掷一枚普通的正方体骰子，最大点数是6，连续投掷3次，出现的点数之和必然小于等于18，故④正确．
正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查概率的意义．属于基础题．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．注意随机事件是可能发生也可能不发生的事件．
7. 菱形两对角线长为6和8，则一边上的高等于：（ ）
A 5B. 3C. 4D. 4.8
【答案】D
【解析】
【详解】设菱形高为h，∵菱形两对角线长为6和8，∴边长为5，∴ ，解得：h=4.8．故选D．
8. 周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A. 98B. 196C. 280D. 284
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形可知AD=BC，也就是5个小长方形的宽与2个小长方形有长相等．设小长方形的宽为x，则其长为34﹣6x，根据AB=CD列方程即可求解即可．
【详解】设小长方形的宽为x，则其长为-6x=34-6x，
所以AD=5x，CD=2（34-6x）=68-12x，
则有5x=68-12x，
解得：x=4，
则大长方形的面积为7×4×（34-6×4）=280，
故选C．
9. 在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( )
①AC=5 ②∠A+∠C=180° ③AC⊥BD ④AC=BD
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
【详解】根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD，
∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．
10. 如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ）
A. 15B. 16C. 19D. 20
【答案】A
【解析】
【详解】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC,AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE=AF=3，
∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，
，
设AB=BC=x，则BE=9−x，
∵BC2=BE2+CE2，
∴x2=(9−x)2+32，
解得x=5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×3=15.
故选A.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____．
【答案】24
【解析】
【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积.
【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，
由勾股定理可得BO=3，
所以BD=6，
即可得菱形的面积是×6×8=24．
故答案是：24．
12. 如果一个地区观众中，青少年、成年人、老年人的人数比3：4：3，要抽取容量为500的样本，则成年人抽取____人合适.
【答案】200
【解析】
【分析】由题意可得：成年人所占的比例为，用样本容量乘以其所占比例即可.
【详解】依题意得：成年人所占的比例为，
∴成年人抽取500（人）
故答案为200
【点睛】本题考查了总体、个体，按比例分配是解题关键．
13. 甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【解析】
【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．
【详解】画出树状图如下：
共有9种情况，积为奇数有4种情况
所以，P（积为奇数）=
即甲获胜的概率是，乙获胜的概率是
所以这个游戏不公平.
【点睛】解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.
14. 对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知 80.5～90.5 分这一组的频数是 7，频率是 0.2，那么该班级的人数是_____人．
【答案】35
【解析】
【详解】试题分析：根据题意直接利用频数÷频率=总数进而得出答案．
解：∵80.5～90.5分这一组的频数是7，频率是0.2，
∴该班级的人数是：7÷0.2=35．
故答案为35．
考点：频数与频率．
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．
【答案】18°
【解析】
【详解】试题分析：根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．
解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴2x+3x=90，
x=18°，
即∠FDC=2x°=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠BDC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°，
故答案为18°．
考点：矩形的性质．
16. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．
解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
考点：矩形的性质．
17. 如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题．
【详解】解：∵点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，-2），以BD为对角线作▱ABCD，
∴点O是平行四边形的性质的对称中心，
∵点A的坐标为（2，1），
∴点C的坐标为：（-2，-1）．
故答案为：（-2，-1）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
18. 如图，已知菱形ABCD的边长是13，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若菱形一条对角线长为10，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】60
【解析】
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【详解】解：如图:
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∵菱形ABCD的边长是13，菱形一条对角线长为10，
∴根据勾股定理得菱形的另一对角线长为
∴阴影部分的面积=S菱形ABCD=××10×24=60．
故答案为60．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
三、解答题
19. 为保证中小学生每天锻炼一小时，涟水县某中学开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
（1）某班同学的总人数为 人；
（2）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（3）扇形统计图（2）中表示”篮球”项目扇形的圆心角度数为 ．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）144°
【解析】
【分析】（1）由篮球的人数除以占的百分比求出学生总数即可；
（2）根据学生总数求出乒乓球的人数，以及占的百分比，补全统计图即可；
（3）根据360乘以篮球的百分比即可得到结果．
【详解】解：（1）根据题意得：20÷40%=50（人）；
（2）乒乓球的人数为50﹣（20+10+15）=5（人），百分比为×100%=10%；
补全统计图如下：
（3）根据题意得：360°×40%=144°．
故答案为（1）50；（3）144°
20. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）请在图中画出△AEF．
（2）请在x轴上找一个点P，使PA+PE值最小，并直接写出P点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析；（2）P点坐标为（1.5，0）．
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点O和B的对应点E、F，从而得到△AEF；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连结EA′交x轴于P点，如图，则PA=PA′，于是可得到PA+PE=EA′，根据两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，然后利用OP=AE=可写出P点坐标．
【详解】解：（1）如图，△AEF为所作；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连结EA′交x轴于P点，如图，
因为PA=PA′，所以PA+PE=PA′+PE=EA′，所以此时PA+PB的值最小，
因为OP=0.5AE=1.5，所以P点坐标为（1.5，0），
故答案为（1.5，0）．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了最短路径问题．
21. 已知，如图，在中，是对角线上的两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，推出OA＝OC，OE＝OF，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：连接AC交BD于点O，连接AF、CE
∵▱ABCD中
∴OA＝OC，OB＝OD
∵OF＝BF−OB，OE＝DE−OD
∵BF＝DE
∴OE＝OF
∵OA＝OC，OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE＝CF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
22. 在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
【答案】BC＝10
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，ADBC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
∵EF＝2，
∴AE＝AF−EF＝6−2＝4，
∴BC＝AD＝AE＋DE＝4＋6＝10．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
23. 某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a和b所表示的数分别为：a= ，b= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有多少名？
【答案】（1）200，a=40，b=0.09；（2）图形见解析（3）24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有6960名
【解析】
【分析】（1）先求出总人数，再求a、b；
（2）根据计算的数据补全频率分布直方图；
（3）先计算出样本中的优秀率再乘以24000，即可估计出该市24000名八年级考生数学成绩为优秀的学生人数．
【详解】解：（1）样本容量为：20÷0.1=200，
a=200×0.20=40，
b=18÷200=0.09；
（2）补全频率分布直方图如图

（3）（0.12+0.09+0.08）×24000=0.29×24000=6960（人），
答：该市24000名八年级考生数学成绩为优秀的学生约有6960名．
【点睛】考点：1.频数（率）分布直方图；2.用样本估计总体；3.频数（率）分布表．
24. 如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．
【详解】证明：连接EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线定理、矩形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，求DE的长
【答案】3
【解析】
【分析】连接，先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
四边形是矩形，且，
，
，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
26. 如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO，BO＝DO．
∵ BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF
即OE＝OF．
∵AO＝CO，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）∵ 四边形ABCD平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠ADB．
∴ AB＝AD．
∴ □ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∵ 点E、F在对角线BD上，
∴AC⊥EF．
∴□AECF为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】（1）4s （2）3s
（3）菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2
【解析】
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长等于边长乘以4，面积等于底乘以高，即可求解．
【小问1详解】
解：设点P、Q运动的时间为t（s），则BQ=t，DP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∴AP=8-t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，
∴t=8-t，
解得：t=4，
答：当t=4s时，四边形ABQP是矩形；
【小问2详解】
解：∵AB=4，BQ=t，∠B=90°，
∴，
当四边形AQCP是菱形时，AP=AQ，
∴，
解得：t=3，
答：当t=3s时，四边形AQCP是菱形；
【小问3详解】
由（2）可知：当t=3时，BQ=3，
∴CQ=BC-BQ=5，
∴菱形AQCP周长为4CQ=4×5=20（cm），
菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20（cm2）
答：菱形AQCP的周长是20cm，面积是20cm2．
【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，利用结合方程的思想解题是解题的关键．
分数段
频数
频率
x＜60
20
0.10
60≤x＜70
28
0.14
70≤x＜80
54
0.27
80≤x＜90
a
0.20
90≤x＜100
24
0.12
100≤x＜110
18
b
110≤x＜120
16
0.08