高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题达标测试

【精挑】7.2 实际问题中的最值问题-1课时练习

一．填空题

1．下列命题中正确的命题序号是_________ 

①命题“若则或”的否命题是“若则或”；

②不等式中当且仅当取等号；

③函数的最小值为4；

④若函数在上满足，则在上单调递增；

⑤函数的导数是

2．已知不等式恒成立，则的最小值为______.

3．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_______.

4．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____________.

5．已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为________.

6．当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

7．若在上单调递减，则实数取值范围__________.

8．函数的最小值为______________．

9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________．

10．函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．

11．若函数在是增函数，则的最大值是________.

12．若函数在区间单调递增，则的取值范围是__________.

13．已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.

14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

15．已知函数，则__________.

16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．

17．已知函数的定义域为，其导函数为，对任意，恒成立，且，则不等式的解集为________.

18．已知函数，若，都有：，则实数的最小值是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】②⑤

【解析】分析：根据否命题的条件和结论都否定，则①错误；由三角不等式性质知②正确；由基本不等式求函数最值的等号成立条件知③错误；由函数的导数与单调性知④错误；由求导公式得⑤正确.

详解：①命题“若则或”的否命题是“若则且”；故①错误；

由三角不等式性质知②正确；

③函数，当且仅当，即时等号成立，，故③错误；

若可导函数在上满足，则在上单调递增；故④错误；

由求导公式得⑤正确.

故答案为：②⑤

【点睛】

函数的单调性与导数的关系

函数在某个区间内可导：

(1)若，则在这个区间内单调递增；

(2)若，则在这个区间内单调递减；

(3)若，则)在这个区间内是常数函数．

2．【答案】

【解析】分析：令，求得，求得函数的单调性与最大值，得到，得到，设设，

设，得到，利用导数求得函数最大值，即可求解.

详解：令，其中，可得，

当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；

当时，令，即，解得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，

且，

因为恒成立，即恒成立，

即，可得恒成立，

设，

设，可得，则，

令，即，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

3．【答案】

【解析】先对函数求导，判定其单调性，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.

详解：因为，

所以，

由得；由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

画出函数的大致图象如下，

当时，由得或，为使满足关于的不等式恰有两个整数解，只需，

即；

当时，由得，即或，所以，不能满足题意；

当时，由得或，所以，不能满足题意；

综上，.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.

4．【答案】

【解析】不等式变形为（），然后求出函数的最小值即可得．

详解：∵，∴不等式可化为，

设，，

当时，，递减，时，，递增，

∴，

不等式在上恒成立，则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．

5．【答案】

【解析】可知，从而根据条件可判断为减函数或存在极值点，求导数，从而可判断不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程有解，这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围.

详解：，

要满足，使得成立，

则函数为减函数或存在极值点，

，

当时，不恒成立，即函数不是减函数，

只能存在极值点，

有解，即方程有解，

即，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性．极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.

6．【答案】

【解析】分析：先对不等式进行整理，得到对恒成立，设，利用导数求出的值域，然后根据一次函数保号性得到关于的不等式组，通过配凑系数，得到答案.

详解：因为对恒成立，

两边同除以得对恒成立，

故令，，不等式转化为，

，令得，

所以，，单调递减，，，单调递增，

所以时，取最小值为，

当时，；当时，；

所以的值域为，

根据一次函数保号性可知

令，

得，解得，

所以，

故答案为

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题.

7．【答案】

【解析】由题可知，求导，由于在上单调递减，则转化为在上恒成立，分离参数法，转化为在上恒成立，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出即可得出取值范围.

详解：解：，

，

由于在上单调递减，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

，知，

时，，单调递增，

，

，即实数取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性求参数范围，以及利用函数解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.

8．【答案】

【解析】先求出，得出单调性，从而得到最小值.

详解：因为，定义域为

由，得，，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故．

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.

9．【答案】

【解析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立，再分类讨论即可得答案.

详解：解：因为函数在上单调递增，

所以在区间上恒成立，

当时，显然在区间上恒成立，

当时，因为在区间上恒成立，

所以在区间上恒成立，

所以 在区间上恒成立，

所以

综上实数的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.

10．【答案】

【解析】，令得，

由于，

分离常数得.

构造函数，，所以在上递减，在上递增，.

下证：

构造函数，，当时，①，

而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.

由于，所以当时，，故，也即.

由于，所以.

所以的取值范围是

故答案为：

11．【答案】3

【解析】首先求出函数的导函数，因为函数在是增函数，

所以在恒成立，令，，利用导数说明其单调性，求出，即可得到参数的取值范围与最大值；

详解：解：因为

所以

又因为函数在是增函数，

所以在恒成立，

即在恒成立，

令，

所以

令，解得或，

则，在上单调递增，

所以，

所以，故的最大值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数单调性的应用．函数导数与函数单调性之间的关系．不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

12．【答案】

【解析】等价于在区间上恒成立，分离参数后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．

详解：解：函数在区间单调递增，

在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令其在上单调递增，

，当时，

时，函数递减，

时，；函数递增

，

；

故答案为：．

【点睛】

该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．

13．【答案】

【解析】对于函数求导，可知或 时，， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.

详解：对于函数

，

当或 时，，当时，，

所以 一定存在增区间，

若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，

则不能为增函数，

所以 ，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14．【答案】．

【解析】详解：分析：由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集．

详解：由图象特征可得，

导数，在上，在上，

所以等价于或，解得或，

即不等式的解集为．

点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求得函数的单调性是本题解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

15．【答案】e

【解析】，令得

所以

16．【答案】

【解析】当，函数在上单调递增，且时， ，时， ，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，

当时，由于，所以，

令，，其定义域为，

则，令，即，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以在处取极大值也是最大值，

又由．，当时，

画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），

过点的直线介于．之间时满足条件，

直线过点时，的值为2；

该直线过点时，的值为，

由图知的取值范围是．

故答案为：.

17．【答案】

【解析】构造函数，由变形得，即，再根据的单调性即可求解.

详解：令，，所以单调递增，不等式，等价于，因为，所以等价于，则，又，故的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据函数的单调性解不等式，解题的关键是会构造函数，考查学生的灵活应变能力.

18．【答案】1

【解析】分析：由已知等价转化恒成立关系后，构造新函数由其单调性再次转化为其导函数大于等于零恒成立问题，变量分离求最值可得.

详解：不妨设，因为在上单调递减，则，

故，

记，

则在区间上单调递增，所以在上恒成立，

所以，故k的最小值为1.

故答案为:1

【点睛】

等价转化是解决问题的途径，构造新函数是关键，此题属于难题.