2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共45页。试卷主要包含了 已知 ，则 的值等于， 两圆半径分别是R和r等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一.选一选（四选一，每题4分，共40分）
1. 若一个数的相反数是3，则这个数是（　　）
A. ﹣ B. C. ﹣3 D. 3
2. 已知 ，则 的值等于( )
A. 1 B. －1 C. －3 D. 没有能确定
3. 若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 无法确定
4. 梯形ABCD中，上底AD=8，下底BC=16，∠B=30°，∠C=60°，则腰长AB等于（　　）
A. 4 B. 3 C. 5 D.
5. 两圆半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2﹣2rx+（R﹣d）2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　）
A. 一定内切 B. 一定外切 C. 相交 D. 内切或外切
6. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式：，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（　　）
A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm
7. 已知样本a，4，2，3，5的平均数为b，且a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则这个样本的方差是（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 4
8. 在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，若把△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，那么此几何体的侧面积为（　　）
A. 24πcm2 B. 18πcm2 C. 12πcm2 D. 6πcm2
9. 如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下面的正多边形中，没有能镶嵌成一个平面的是（　　）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
10. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（　　）
A 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种
二.填 空 题（每空4分，共20分）
11. 抛物线的顶点坐标是___________．
12. 有6个数，它们平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是_____．
13. 下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出第n个化合物的分子式_____．

14. 函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为______．
15. 小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是____________.

三．解 答 题
16. 解没有等式组.
17. 先化简，再求值：，其中x=2sin45°tan45°．
18. 如图在△ABC中，ACB=90°，点D，E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A.
求证：四边形DECF是平行四边形.

19. 已知抛物线y=x2+x﹣．
（1）用配方法求出它顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
20. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．

21. 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装没有再．
（1）试建立价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件利润？利润为多少？
22. 下表是某初三班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，设这20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
23. 小刚家去年种植芒果收入扣除各项支出后结余5000元，今年又喜获丰收，比去年增收20%，而今年支出比去年减少5%，因此今年结余比去年多1750元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？
24. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x=1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x=1上是否存在一点P，使△PAB中PA=PB？若存在，求出P点的坐标；若没有存在，说明理由．






























2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一.选一选（四选一，每题4分，共40分）
1. 若一个数的相反数是3，则这个数是（　　）
A. ﹣ B. C. ﹣3 D. 3
【正确答案】C

【分析】两数互为相反数，它们的和为0．
【详解】设3的相反数为x，
则x+3＝0，x＝﹣3．
故选C．
本题考查的是相反数的概念，两数互为相反数，它们的和为0．

2. 已知 ，则 的值等于( )
A. 1 B. －1 C. －3 D. 没有能确定
【正确答案】B

【分析】由题意，根据非负数的性质可以求出和的值，然后代入求解．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选B.
此题主要考查非负数的性质即所有非负数都大于等于0，掌握几个非负数和为0，则这几个非负数均等于0是解题关键．
3. 若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 无法确定
【正确答案】A

【详解】解：由方程x2+2x+m=0得：x2=﹣2x﹣m，由方程x2+mx+2=0得：x2=﹣mx﹣2，则有﹣2x﹣m=﹣mx﹣2，即（m﹣2）x=m﹣2．∵方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，∴m≠2，∴x=1．把x=1代入方程x2+mx+2=0，得：1+m+2=0，解得：m=﹣3．故选A．
4. 梯形ABCD中，上底AD=8，下底BC=16，∠B=30°，∠C=60°，则腰长AB等于（　　）
A. 4 B. 3 C. 5 D.
【正确答案】A

【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F．∵AD=8，BC=16，∴BE+FC=8．∵∠B=30°，∠C=60°，设FC=x，∴BE=8﹣x，则DF=AE=x，故tan30°=，解得：x=2，则BE=6，AE=，故AB=．故选A．

5. 两圆的半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2﹣2rx+（R﹣d）2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　）
A. 一定内切 B. 一定外切 C. 相交 D. 内切或外切
【正确答案】D

【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2r）2﹣4（R﹣d）2=0，[2r﹣2（R﹣d）][2r+2（R﹣d）]=0，得到：d=R+r或d=R﹣r．因此两圆外切或者内切．故选D．
点睛：本题考查的是圆与圆的位置关系，根据方程有两个相等的实数根，得到判别式等于0，求出d与R和r的关系，然后确定两圆的位置关系．
6. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式：，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（　　）
A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm
【正确答案】C

【详解】解：∵，u=12cm，f=3cm，∴，解得：v=4cm．故选C．
7. 已知样本a，4，2，3，5的平均数为b，且a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则这个样本的方差是（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B

【详解】解：∵方程x2﹣4x+3=0的两个根是x1=1，x2=3，a、b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，样本中其他数据都大于1，∴a=1，b=3．则S2= [（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（3﹣3）2]÷5=2．故选B．
8. 在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，若把△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，那么此几何体的侧面积为（　　）
A. 24πcm2 B. 18πcm2 C. 12πcm2 D. 6πcm2
【正确答案】C

【详解】解：几何体的侧面积=•2π•3×4=12π（cm2）．故选C．
9. 如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下面的正多边形中，没有能镶嵌成一个平面的是（　　）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【正确答案】C

【详解】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌成一个平面；
正方形的每个内角是90°，4个能能镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，没有能整除360°，没有能镶嵌成一个平面；
正六边形的每个内角是120°，3个能镶嵌成一个平面．
故选C．
点睛：本题考查了镶嵌．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
10. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（　　）
A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种
【正确答案】D

【详解】当甲作棒时，接棒顺序有：
①甲、乙、丙、丁；②甲、乙、丁、丙；
③甲、丙、乙、丁；③甲、丙、丁、乙；
⑤甲、丁、乙、丙；⑥甲、丁、丙、乙．
因此共有6种接棒顺序．同理当甲做第四棒时，也有6种接棒顺序．
因此共有6+6=12种接棒顺序．故选D．
二.填 空 题（每空4分，共20分）
11. 抛物线的顶点坐标是___________．
【正确答案】（1，﹣4）

【详解】解：∵原抛物线可化为：y=（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标（1，﹣4）．
故答案（1，﹣4）．
12. 有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是_____．
【正确答案】11

【详解】有6个数，它们的平均数是12，
那么这6个数的和为6×12=72．
再添加一个数5，
则这7个数的平均数是.
故答案是：11.
13. 下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出第n个化合物的分子式_____．

【正确答案】CnH2n+2

【详解】解：第1个化合物的分子式CH4，以后每增加一个C，需增加两个H，故第n个化合物即有n个C的化合物的分子式为CnH2n+2．故第n个化合物的分子式为CnH2n+2．故答案为CnH2n+2．
点睛：本题考查了平面图形，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
14. 函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为______．
【正确答案】

【分析】首先求出函数y=kx+3与y轴的交点坐标；由于函数与x轴的交点的纵坐标是0，可以设横坐标是a，然后利用勾股定理求出a的值；再把（a，0）代入函数的解析式y=kx+3，从而求出k的值．
【详解】在y=kx+3中令x=0，得y=3，
则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；
设函数与x轴的交点坐标是（a，0），
根据勾股定理得到a2+32=25，
解得a=±4；
当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=；
当a=-4时，把（-4，0）代入y=kx+3，得k=；
故k的值为或
考点：本体考查是根据待定系数法求函数解析式
解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得函数与x轴的交点坐标，进而求出k的值．
15. 小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是____________.

【正确答案】10：51

【分析】根据镜面对称原理,左右颠倒,上下没有变即可解题.
【详解】根据镜面对称原理,物体的像与物体本身上下没有变,左右颠倒可知,12：01对称之后为10：51.
本题考查了镜面对称,属于简单题,熟悉镜面对称的原理是解题关键.
三．解 答 题
16. 解没有等式组.
【正确答案】1＜x＜4．

【详解】试题分析：解先求出各没有等式的解集，再求其公共解集即可．
试题解析：解：由①得：x＞1
由②得：x＜4
所以1＜x＜4．
17. 先化简，再求值：，其中x=2sin45°tan45°．
【正确答案】-，4．

【详解】试题分析：分别化简分式和x的值，然后代入计算即可．
试题解析：解：原式====
当x==2时，原式==4．
18. 如图在△ABC中，ACB=90°，点D，E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A.
求证：四边形DECF是平行四边形.

【正确答案】证明见解析.

【详解】证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE=AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．
19. 已知抛物线y=x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【正确答案】（1）顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）AB=．

【分析】（1）先把抛物线解析式配方为顶点式，即可得到结果；
（2）求出当时的值，即可得到结果．
【详解】解：（1）由配方法得y=（x+1）2 -3
则顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；
（2）令y=0,则0=x2+x﹣
解得x1=-1+ x2=-1-
则A（-1-，0），B（-1+，0）
∴AB=（-1+）-（-1-）=
20. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）BD=2；BC=．

【详解】试题分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以证明三角形相似，由相似三角形对应边成比例来求．
试题解析：解：（1）连接OC．∵AE⊥DC，∴∠E=90°．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠BAC．
又∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E=90°，∴DC是⊙O的切线．
（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，∴△DCO∽△DEA，∴，∴，∴，∴BD=2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=∠ACB=90°．∵∠EAC=∠BAC，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，∴，∴，∴AC2=．由勾股定理得：BC===．

点睛：本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
21. 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装没有再．
（1）试建立价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件利润？利润为多少？
【正确答案】（1）；（2）第11周出售时，每件利润，利润为19元．

【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分段函数．分情况解答即可．
【详解】（1）依题意得，可建立的函数关系式为：
；
即 ；
（2）设利润为W，则W=售价﹣进价
故W，
化简得W=
①当W=时．
∵当x≥0，函数W随着x增大而增大．
∵1≤x＜6，
∴当x=5时，W有值，值=．
②当W=时．
∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴在x=11时，函数有值为；
③当W=时．
∵W=，
∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有值为18．
综上所述：当x=11时，函数有值为．
本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．
22. 下表是某初三班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，设这20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
【正确答案】（1）x的值为5，y的值为7；（2）a﹣b=10．

【详解】试题分析：
（1）根据人数是20，平均分是82列二元方程组求解；
（2）根据众数和中位数的定义求解.
试题解析：
（1）根据题意得，，解得x=5，y=7.
所以x=5，y=7.
（2）这20个数据中90出现的次数至多，所以众数是90；排在最中间的两个数都是80，所以中位数是80.
故a=90，b=80.
点睛：本题主要考查了平均数，众数，中位数的定义，一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商是这组数据的平均数；将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数是这组数据的中位数；在一组数据中出现次数至多的数是这组数据的众数.
23. 小刚家去年种植芒果收入扣除各项支出后结余5000元，今年又喜获丰收，比去年增收20%，而今年支出比去年减少5%，因此今年结余比去年多1750元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？
【正确答案】今年收入9600元，支出2850元．

【详解】试题分析：两个等量关系为：去年种植苹果的收入-支出=5000；今年种植苹果的收入-支出=5000+1750，列方程求解即可．
试题解析：解：设去年收入x元，支出y元．由题意得：
，解得：．
∴1.2x=9600，0.95y=2850．
答：今年种植芒果的收入为9600元，支出是2850元，
24. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x=1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x=1上是否存在一点P，使△PAB中PA=PB？若存在，求出P点的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）画图见解析；（3）存在，点P的坐标为（1，﹣1）．

【详解】试题分析：（1）根据对称轴的公式x=和函数的解析式，将=1和A（3，0），B（2，﹣3）代入函数解析式，组成方程组解答即可；
（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；
（3）根据两点之间距离公式解答即可．
试题解析：解：（1）根据题意得：，解得：，∴解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）二次函数图象如图：

（3）存在．作AB的垂直平分线交对称轴x=1于点P，连接PA、PB，则PA=PB，设P点坐标为（1，m）．∵PA=PB，∴22+m2=（﹣3﹣m）2+1，解得：m=﹣1，∴点P的坐标为（1，﹣1）．
点睛：（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式d=．
































2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. ﹣的值为（　　）
A. ﹣2018 B. ﹣ C. D. 2018
2. 下列计算正确的是（　　）
A. 2x+3x=5x B. x+x2=x3 C. （x2）3=x5 D. x6÷x3=x2
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）
A. B. C. D.
4. 下列中，最适宜采用全面方式（普查）的是（ ）
A. 对重庆市中学生每天学习所用时间的
B. 对全国中学生心理健康现状的
C. 对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的
D. 对重庆市初中学生课外阅读量的
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
7. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价的五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A. 120元 B. 100元 C. 80元 D. 60元
8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD，若AB=7，AC=5，则△ACD的周长为（　　）

A. 2 B. 12 C. 17 D. 19
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A. a＜0 B. c＞0 C. a+b+c＞0 D. b2﹣4ac＜0
10. 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正确的结论是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 2018年3月，全国两会隆重开幕，引起了传媒的极大关注．某平台近期共检测到两会对于民生问题相关信息约290 000条，数据290 000用科学记数法表示为_____．
12. 分解因式： =___________________________．
13. 如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____．

14. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则cos∠BFE的值是_________．

15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为_____．

16. 某校在进行“阳光体育”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5(单位：kg)，则这组数据的中位数是______．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是_____．

18. 如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AAnAn+1等于______度．（用含n的代数式表示，n为正整数）

三、解 答 题（共96分)
19. 先化简，再求值： ，其中x=2sin30°+tan60°-2cos30°．
20. 周末，我和爸爸、妈妈争夺的一台电脑使用权，决定用游戏确定谁来使用电脑．
（1）若使用三张完全相同纸条，其中一张标注为“是”，另外两张空白，则爸爸抓到标注为“是”概率是　 　．
（2）任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑．请你请用列表或画树状图的方法计算妈妈使用电脑的概率．
21. 为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法了该市部分市民，并根据结果绘制成如下统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共了 　名市民；
（2）在扇形统计图中，晚饭后选择锻炼的人数的圆心角为多少？
（3）补全条形统计图；
（4）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
22. 一轮船在P处测得灯塔A在正向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.

（1）线段BQ与PQ否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
23. 如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD长．

24. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
25. 问题情境：如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数？
小明在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．
请你在小明的思路提示下，求出∠APC的度数．
思路应用：如图3，△ABC为等边三角形，点P在△ABC外，且PA=6，PC=8，∠APC=30°，求PB长；
思路拓展：如图4，矩形ABCD中，AB=BC，P为矩形ABCD内一点，PA：PB：PC=2：1：2，则∠APB=　 　°．（直接填空）

26. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．








2022-2023学年四川省成都市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. ﹣的值为（　　）
A ﹣2018 B. ﹣ C. D. 2018
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵|﹣|=
∴-的值为.
故选C.
2. 下列计算正确的是（　　）
A. 2x+3x=5x B. x+x2=x3 C. （x2）3=x5 D. x6÷x3=x2
【正确答案】A

【详解】试题解析：A. 2x+3x=5x，故该选项正确；
B. x+x2≠x3，故该选项错误；
C. （x2）3=x6，故该选项错误；
D. x6÷x3=x3，故该选项错误.
故选A.
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B.
4. 下列中，最适宜采用全面方式（普查）的是（ ）
A. 对重庆市中学生每天学习所用时间的
B. 对全国中学生心理健康现状的
C. 对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的
D. 对重庆市初中学生课外阅读量的
【正确答案】C

【详解】试题分析：使用普查时，的数量没有能太大，则本题中只有C选项适合使用普查，A、B、D如果采用普查的方式，工作量会很大，一般采用抽样的方式比较好．
考点：的方式．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
6. 对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A. m>0 B. m>1 C. m<0 D. m<1
【正确答案】D

【分析】根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴1-m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出1-m＞0．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性反比例函数的性质，找出反比例函数系数k的正负是关键．
7. 互联网“”经营已成为大众创业新途径，某平台上一件商品标价为200元，按标价的五折，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A. 120元 B. 100元 C. 80元 D. 60元
【正确答案】C

【详解】解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷=200，解得：x=80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选C．
8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD，若AB=7，AC=5，则△ACD的周长为（　　）

A. 2 B. 12 C. 17 D. 19
【正确答案】B

【详解】试题解析：由题意知MN是BC的中垂线，
∴DB=DC，
则△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+AD+DB=AC+AB=7+5=12，
故选B．
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A. a＜0 B. c＞0 C. a+b+c＞0 D. b2﹣4ac＜0
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵由图象知，开口向上，
∴a＞0，故A错误；
由图象知，与y轴的交点在负半轴，
∴c＜0，故B错误；
令x=1，则a+b+c>0，故C正确；
∵抛物线与x轴两个交点（-1，0），（3，0），故D错误.
故选C．
10. 如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正确的结论是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】D

【详解】试题解析：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，
∴GF⊥AD，
由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，
∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°，
∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，
∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，
∴△MEH为等边三角形，故①正确；
∵∠EHM=60°，HE=HF，
∴∠HEF=30°，
∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；
∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，
∴△PHE∽△HAE，故③正确；
设AD=2=AH，则AG=1，
∴Rt△AGH中，GH=AG=，
Rt△AEH中，EH=，
∴GF==AB，
∴，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④，
故选D．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 2018年3月，全国两会隆重开幕，引起了传媒的极大关注．某平台近期共检测到两会对于民生问题相关信息约290 000条，数据290 000用科学记数法表示为_____．
【正确答案】2.9×105

【详解】试题解析：数据290 000用科学记数法表示2.9×105，
故答案为2.9×105．
点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
12. 分解因式： =___________________________．
【正确答案】ab（a+3）（a﹣3）．

【详解】解：==ab（a+3）（a﹣3）．
故答案为ab（a+3）（a﹣3）．
本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
13. 如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_____．

【正确答案】

【详解】∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点，
∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，
∴∠MOB=∠NOC．
在△MOB和△NOC中，
，
∴△MOB≌△NOC（ASA）．
同理可得：△AOM≌△BON．
∴S阴影=S△BOC=S正方形ABCD．
∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P==．
14. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则cos∠BFE的值是_________．

【正确答案】

【详解】试题解析：∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠BAE=30°，
∴∠BFE=60°，
∴cos∠BFE=．
故答案为．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为_____．

【正确答案】6

【详解】试题分析：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴，∵OC是△OAB的中线，∴=，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE==，∴AE=DE=，∴OA==，∴S△OAB=OA•BD==．故答案为．

考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题．
16. 某校在进行“阳光体育”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5(单位：kg)，则这组数据的中位数是______．
【正确答案】6

【分析】求中位数可将一组数据从小到大依次排列，中间数据（或中间两数据的平均数）即为所求．
【详解】解：数据按从小到大排列后为3，5，5，6，8，9，10，
故这组数据的中位数是6．
故6．
本题属考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是_____．

【正确答案】

【详解】试题解析：如图，连接OD、CD．

∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵BC是切线．
∴∠ACB=90°，∵BC=2，
∴AB=4，AC=6，
∴S阴=S△ABC-S△ACD-（S扇形OCD-S△OCD）
=×6×2-×3×3-（-×32）
=．
故答案为．
18. 如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AAnAn+1等于______度．（用含n的代数式表示，n为正整数）

【正确答案】.

【详解】∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，
∴OA=OA1，
∴∠AA1O=，
∵点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，
∴A1A=A1A2，
∴∠AA2A1=∠AA1O=，
∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，
∴A2A=A2A3，
∴∠AA3A2=∠AA2A1=，
∴∠AAnAn﹣1=，
∴∠AAnAn+1=180°﹣．
故答案是：180﹣．
旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质．
三、解 答 题（共96分)
19. 先化简，再求值： ，其中x=2sin30°+tan60°-2cos30°．
【正确答案】-3

【详解】试题分析：首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．
试题解析：，
=
=
=，
当x=1时，原式==-3．
20. 周末，我和爸爸、妈妈争夺的一台电脑使用权，决定用游戏确定谁来使用电脑．
（1）若使用三张完全相同纸条，其中一张标注为“是”，另外两张空白，则爸爸抓到标注为“是”的概率是　 　．
（2）任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑．请你请用列表或画树状图的方法计算妈妈使用电脑的概率．
【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据概率公式计算即可求解；
（2）采用列表法列出表格，再根据概率公式计算即可求解．
试题解析：（1）爸爸抓到标注为“是”的概率是1÷（1+2）=；   
（2）列表为：
结果  第1枚
第2枚
正
反
正
正正
反正
反
正反
反反
共有4种等可能结果，其中两反的情况1种，
所以P（两反）=．
21. 为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法了该市部分市民，并根据结果绘制成如下统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共了 　名市民；
（2）在扇形统计图中，晚饭后选择锻炼的人数的圆心角为多少？
（3）补全条形统计图；
（4）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
【正确答案】（1）2000．（2）72°（3）补图见解析．（4）96万．

【详解】试题分析：（1）根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共了多少名市民；
（2）根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；
（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论．
试题解析：（1）本次共的人数为：800÷40%=2000，故答案为2000．
（2）晚饭后选择其它的人数为：2000×28%=560，晚饭后选择锻炼的人数为：2000﹣800﹣240﹣560=400．
将条形统计图补充完整，如图所示．
（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：400÷2000=20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%=96（万）．
答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万．

考点：条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
22. 一轮船在P处测得灯塔A在正向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.

（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
【正确答案】（1）相等；（2）

【详解】试题分析：（1）由题意知∠QPB=60°、∠PQB=60°，从而得△BPQ是等边三角形，据此可得答案；
（2）由（1）知PQ=BQ=900m，从而得AQ=，根据∠AQB=180°-60°-30°=90°知AB=（m）．
试题解析：（1）相等，由图知∠QPB=60°、∠PQB=60°，
∴△BPQ是等边三角形，∴BQ=PQ；
（2）由（1）知PQ=BQ=900m，在Rt△APQ中，AQ=，
又∵∠AQB=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴在Rt△AQB中，AB=（m），
答：A、B间的距离为300m．
23. 如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；
（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．
试题解析：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，

∵OP⊥AB，
∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB．
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；
（2）连结BE．如图2，

∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠=，且OC=4，
∴AC=6，则BC=6．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，
∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OC•PC，解得PC=9，
∴OP=PC+OC=13．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，
∵AC=BC，OA=OE，即OC为△ABE的中位线．
∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8．
∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，
∴，即，解得BD=．
24. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
【正确答案】（1）w=﹣x2+80x﹣1200；（2）答：该产品价定为每千克40元时，每天利润，利润400元．（3）该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克30元．

【详解】试题分析：依据“利润=售价﹣进价”可以求得y与x之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定“利润”．
解：（1）y=（x﹣20）w
=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，y有值200，
∴当价定为30元/千克时，每天可获利润200元；
（3）当y=150时，可得方程：
﹣2（x﹣30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，
根据题意，x2=35没有合题意，应舍去，
∴当价定为25元/千克时，该农户每天可获得利润150元．
考点：二次函数的应用．
25. 问题情境：如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数？
小明在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．
请你在小明的思路提示下，求出∠APC的度数．
思路应用：如图3，△ABC为等边三角形，点P在△ABC外，且PA=6，PC=8，∠APC=30°，求PB的长；
思路拓展：如图4，矩形ABCD中，AB=BC，P为矩形ABCD内一点，PA：PB：PC=2：1：2，则∠APB=　 　°．（直接填空）

【正确答案】见解析.

【详解】试题分析：问题情境，如图2中，只要证明△ADP为等边三角形，∠BDP=90°；
思路应用，如图，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，只要证明△DAP是等边三角形，∠PDB=90°，即可解决问题；
思路拓展，如图4中，连接AC．作点P关于AB的对称点P1，点P关于BC的对称点P3，点P关于AC的对称点P2，连接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．只要证明△P1AP2是等边三角形，∠p2p1p3=90°，即可解决问题.
试题解析：问题情境，解：如图2中，

由旋转没有变性可知，AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAB=∠PAC，
∴∠DAP=∠BAC=60°，∴△ADP为等边三角形，
∴DP=PA=3，∠ADP=60°．
在△BDP中，DP=3，BD=4，PB=5，
∵32+42=52，∴∠BDP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°，
∴∠APC=150°．
思路应用，解：如图，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，
如图3中，∴△APC≌△ADB，

∴∠DAP=60°，AD=AP=6，DB=PC=8，∠PAC=∠DAB，∠ADB=∠APC=30°．
∴△DAP是等边三角形，
∴PD=6，∠ADP=60°，∴∠PDB=90°，∴PB2=PD2+DB2=62+82=100．
∴PB=10．
思路拓展，解：如图4中，连接AC．作点P关于AB的对称点P1，点P关于BC的对称点P3，点P关于AC的对称点P2，连接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．

∵∠ABC=90°AB=BC，∴tan∠BAC=，
∴∠BAC=30°，∠ACB=60°，根据对称性易知∠P1AP2=60°，P1A=P2A，∴△P1AP2是等边三角形，
∴∠AP1P2=60°，P1P2=PA=2，
根据对称性易知P1、B、P3共线，P1P3=2，△CP2P2的顶角为120°的等腰三角形，可得P2P3=2，
∴P1P22+p1p32=p2p32，∴∠p2p1p3=90°，∴∠APB=∠AP1B=90°+60°=150°．故答案为150．
26. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.

【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6 ∴当m＝时，四边形AECP的面积值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．