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2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共62页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题．等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 的值是【 】
A. 4 B. 2 C. ﹣2 D. ±2
2 今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿到
A. 百亿位 B. 亿位 C. 百万位 D. 百分位
3. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
6. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列说确的是( )
A. 要了解人们对“绿色出行”的了解程度，宜采用普查方式；
B. 随机的概率为50%，必然的概率为；
C. 一组数据3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5；
D. 若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定.
10. 如下图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A. (1，1) B. (1，2) C. (4，3) D. (1，4)
11. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是
A B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．
14. 若关于x的方程 =2+的解是正数，则m的取值范围是____________.
15. 已知关于x的一元二次方程2x2+kx-4=0的两根分别为x1,x2.若2x12-kx2-13=0.则k的值为 _____________
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似．若AB=1.5，则DE=_____．
17. 如图,直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移，当⊙P与该直线相切时，点P坐标为___.
18. 如图，点A在双曲线y＝的象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
三、解 答 题（本大题共7个小题，满分66分）．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 为了解学生课余情况，某班对参加A组：绘画；B组：书法；C组：舞蹈；D组：乐器；这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样，并根据收集的数据绘制了如图两幅没有完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下面的问题：
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形统计图补充完整，
(3)计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；
(4)已知在此次中，参加D组的5名学生中有3名女生和2名男生，要从这5名学生中随机抽取2名学生参加市举办的音乐赛，用列表法或画树状图的方法求出抽取的2名学生恰好是1男1女的概率．
21. 身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝没有小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22. 小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年总额为50000元，今年每部价比去年降低400元，若卖出的数量相同，总额将比去年减少20%．
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机进货数量没有超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利至多？A，B两款手机的进货和价格如下表：
A款手机
B款手机
进货价格（元）
1100
1400
价格（元）
今年价格
2000
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．
24. 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90∘，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 的值是【 】
A. 4 B. 2 C. ﹣2 D. ±2
【正确答案】B
【详解】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0．
∵22=4，∴4的算术平方根是2．故选B．
2. 今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿到
A. 百亿位 B. 亿位 C. 百万位 D. 百分位
【正确答案】C
考点：近似数和有效数字．
专题：应用题．
分析：考查近似数的度，要求由近似数能准确地说出它的度．216.58亿元中的5虽然是小数点后的位，但它表示5千万，同样8表示8百万，所以216.58亿元到百万位．
解答：解：根据分析得：216.58亿元到百万位．
故选C．
点评：本题主要考查学生对近似数的度理解是否深刻，这是一个的题目．许多同学没有假思考地误选D，通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度．
3. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴没有一致，所以没有是轴对称图形；B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案没有是轴对称图形，所以也没有是；D图形中圆内的两个箭头没有是轴对称图象，而是对称图形，所以也没有是轴对称图形.故选B.
4. 为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
【正确答案】A
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝，
所以sin∠A＝025.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
5. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
【正确答案】D
【详解】试题分析：半径为6的半圆的弧长是6π，根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，得到圆锥的底面周长是π，根据弧长公式有2πr=6π，解得：r=3，即这个圆锥的底面半径是3．
故选D．
考点：圆锥的计算．
6. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：作AC⊥OB于点C，
则AC=，A0=2，sin∠AOB=.
考点：三角函数的计算.
7. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
【详解】连接AC，BP，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
设垂足为O，
△BCE的面积=×BE×CO=S△BEP＋S△BCP=×BE×PR＋×BC×PQ=BE×（PR＋PQ），∴CO=PR＋PQ，
∵AB=1，
∴AC=，CO=，
∴PR＋PQ=，
故选：D．
考点：正方形性质与三角形面积综合题．
8. 在平面直角坐标系中，个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：分别求出第1个，第3个，第3个，第4个正方形的边长和面积，从它们的表达式中探索规律.
详解：
正方形序号 边长 面积
1 5
2 5()2
3 5[()2]2
4 5[()3]2
n …… 5[()n－1]2
所以第2010个正方形的面积为5[()2010－1]2＝5()4018.
点睛：解规律探索题要注意以下两点:(1)探索规律的关键：注意观察已知的对应数值(图形)的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律．(2)探索规律的步骤：①从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把数量或图形的变化特点展现在图表当中；②认真观察图表或图形，通过合理联想，大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论；③由此及彼验证结论的正误．
9. 下列说确的是( )
A. 要了解人们对“绿色出行”的了解程度，宜采用普查方式；
B. 随机的概率为50%，必然的概率为；
C. 一组数据3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5；
D. 若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定.
【正确答案】C
【详解】分析：A.看对的对象是否适用普查；B.随机的概率在0和1之间；C.根据众数和中位数的定义判断；D.方差越小，数据越稳定.
详解：A.的对象很多，且的结果没有需要那么，没有适宜用普查，则A没有正确；
B.随机的概率在0和1之间，则B没有正确；
C.3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5，正确；
D.因为方差越小，数据越稳定，所以乙组数据更稳定，则D没有正确.
故选C.
点睛：一般来说当的对象很多又没有是每个数据都有很大的意义，或着的对象虽然没有多，但是带有破坏性，应采用抽查方式；如果对象没有需要花费太多的时间又没有据有破坏性或者生产生活中有关隐患的问题就必须采用普查的方式进行；随机的概率在0和1之间.
10. 如下图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A (1，1) B. (1，2) C. (4，3) D. (1，4)
【正确答案】B
【详解】试题分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转．
∵将△ABC以某点为旋转，顺时针旋转90°得到△A′B′C′， ∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′， 作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2）， ∴旋转的坐标为（1，2）．
考点：坐标与图形变化-旋转．
11. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣1＝ ，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误，
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，故③正确，
∵x＝﹣1时，y＞0，x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴(a﹣b+c) (a+b+c)＜0
∴，
∴，故④错误，
∵x＝﹣1时，y取得值a﹣b+c，
∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，
∴x（ax+b）≤a﹣b，故⑤正确．
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
【详解】如图：
①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16-×（8-t）×（8-t）=-t2+8t-16．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
第Ⅱ卷
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【正确答案】x≤1且x≠﹣2
【详解】解：根据题意得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为x≤1且x≠﹣2
14. 若关于x的方程 =2+的解是正数，则m的取值范围是____________.
【正确答案】m<3且m≠;
【分析】解方程，用含m的式子表示x，由x>0，求出m的范围，再把使分母为0的x值排除.
【详解】解方程＝2＋得，x＝6－2m.
因为x为正数，所以6－2m＞0，即m＜3.
把x＝3代入方程x＝6－2m得，3＝6－2m，解得m＝.
所以m的取值范围是m<3且m≠.
故答案为m<3且m≠.
本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.
15. 已知关于x的一元二次方程2x2+kx-4=0的两根分别为x1,x2.若2x12-kx2-13=0.则k的值为 _____________
【正确答案】15±3
【详解】分析：把x1代入到原方程，化简为＝－k＋4，把代入到方程2x12－kx2－13＝0，整理得－k()－9＝0，再把整体代入求k，要判断k的值是否使原方程有实数根.
详解：根据题意得：，＝－2.
因为原方程的根，所以2＋k－4＝0，
即＝－k＋4，代入方程2x12－kx2－13＝0得：
－k＋4－kx2－13＝0，即－k()－9＝0，所以－k·()－9＝0，
解得k＝±3.
因为b2－4ac＝k2＋32＞0.，所以k＝±3.
故答案为±3.
点睛：根据根与系数的关系求一元二次方程中字母系数的值，一般需要将所给方程用原方程的两根之和与两根之积表示，再整体代入，得到关于字母系数的方程，求出字母系数，还要根据根的判别式判别所得字母系数的值是否使原方程有实数根.
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O位似．若AB=1.5，则DE=_____．
【正确答案】4.5
详解】试题分析：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3，又因△ABC与△DEF位似，AB=1.5，所以，所以DE=4.5.
考点：位似的性质.
17. 如图,直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移，当⊙P与该直线相切时，点P坐标为___.
【正确答案】(-1,0),(-5,0);
【详解】分析：画出⊙P与直线AB相切时的图形，计算出AB与x轴的夹角，勾股定理和含30°角的直角的性质求AP1，AP2的长.
详解：如图，当圆心P运动到点P1，P2时，与直线AB相切.
当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－3，所以A(－3，0)；
当x＝0时，y＝，所以B(0，).
Rt△ABO中，则勾股定理得AB＝6，所以∠BAO＝30°.
因为AB与⊙P1相切，所以∠ACP1＝90°，所以AP1＝2P1C＝2.
所以OP1＝3－2＝1，则P1(－1，0).
同理AP2＝2，则OP2＝3＋2＝5，则P2(－5，0).
故答案为(－1，0)，(－5，0).
点睛：当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是60°；当直线的k值是－时，与x轴正方向的夹角是120°；当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是30°；当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是150°.
18. 如图，点A在双曲线y＝的象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
【正确答案】.
【分析】由AE＝3EC，△ADE面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而
表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.
【详解】如图，连接DC，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.
∴△ADC的面积为4.
∵点A在双曲线y＝的象限的那一支上，
∴设A点坐标为 (x,).
∵OC＝2AB，∴OC=2x.
∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.
∴梯形BOCA的面积=，解得.
反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.
三、解 答 题（本大题共7个小题，满分66分）．
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，.
【分析】先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．
【详解】
把代入得：
原式
考点：分式的化简求值，二次根式的计算．
20. 为了解学生课余情况，某班对参加A组：绘画；B组：书法；C组：舞蹈；D组：乐器；这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样，并根据收集的数据绘制了如图两幅没有完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下面的问题：
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形统计图补充完整，
(3)计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；
(4)已知在此次中，参加D组的5名学生中有3名女生和2名男生，要从这5名学生中随机抽取2名学生参加市举办的音乐赛，用列表法或画树状图的方法求出抽取的2名学生恰好是1男1女的概率．
【正确答案】(1) 25名同学；(2)见解析；(3) 172.8°；(4) .
【详解】分析：(1)用A组6人占人数的24%求的人数；(2)求出C组人数后即可补充统计图；(3)用参加书法组的人数除以的人数乘以360°；(4)用树状图法求出总有可能性和符合条件的可能性.
详解：(1)根据题意得：6÷24%＝25(名)，
答：此次共了25名同学；
(2)C组的人数是：25−6−12−5＝2(人)，补图如下：
(3)书法部分的圆心角的度数是×360°＝172.8∘；
(4)画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能性，其中符合条件的可能性有12种.
则P(1男1女)＝.
点睛：本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，在等可能中，如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的A可能出现的结果数是m，那么A的概率为.
21. 身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝没有小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【正确答案】（1）10.4米；（2）能
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，从而求得GF的长．
（2）在Rt△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【详解】解：（1）过A作AP⊥GF于点P，
则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，
在Rt△PAG中，，
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米）．
∴GF=9+1.4≈10.4（米）．
（2）由题意可知MN=5，MF=3，
∴在直角△MNF中，．
∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，
∴能触到挂在树上的风筝．
22. 小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年总额为50000元，今年每部价比去年降低400元，若卖出的数量相同，总额将比去年减少20%．
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量没有超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利至多？A，B两款手机的进货和价格如下表：
A款手机
B款手机
进货价格（元）
1100
1400
价格（元）
今年的价格
2000
【正确答案】（1）今年A款手机每部售价1600元；（2）进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利．
【分析】（1）设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60-a）部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的值
【详解】解：（1）设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，
由题意，得 ，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．答：今年A款手机每部售价1600元；
（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60﹣a）部，获利y元，
由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．
∵B款手机的进货数量没有超过A款手机数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20.
∵y=﹣100a+36000．
∴k=﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y=34000元．
∴B款手机的数量为：60﹣20=40部．
∴当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利．
考查函数的应用, 分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．
【正确答案】（1）PC是⊙O的切线；（2）
【详解】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出，即，解得r=，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．
试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=×=．
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90∘，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
【正确答案】(1) BF=AD，BF⊥AD；(2) BF=AD，BF⊥AD仍然成立，理由见解析；(3).
【分析】(1)可由SAS证得△BCF≌△ACD得到BF＝AD，BF⊥AD；
(2)与(1)中的方法相同；
(3)证△BCF∽△ACD，得BO⊥AD，再利用勾股定理求解.
【详解】(1)BF＝AD，BF⊥AD；
延长BF交AD于H，如图1所示．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90∘，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90∘，
在△BCF和△ACD中，BC＝AC，∠BCF＝∠ACD=90゜，CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
∴∠BAD＋∠ABF＝∠BAC+∠CAD+∠ABF
=∠BAC+∠CBF+∠ABF
=∠BAC+∠ABC=90∘，
∴∠AHA＝90∘，
∴BF⊥AD；
(2)BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90∘，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90∘，
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
在△BCF和△ACD中，BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90∘，
∴∠CAD＋∠AHO＝90∘，
∴∠AOH＝90∘，
∴BF⊥AD；
(3)证明：连接DF，如图所示．
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD＝90゜，
又∵∠ACB＝90゜，
∴∠ACB＝∠FCD
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
∵AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，
∴BC:AC＝CF:CD＝3:4，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90゜，
∴∠CAD＋∠AHO＝90∘，
∴∠AOH＝90∘，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90∘，
∴BD2＝OB2＋OD2，AF2＝OA2＋OF2，AB2＝OA2＋OB2，DF2＝OF2＋OD2，
∴BD2＋AF2＝OB2＋OD2＋OA2＋OF2＝AB2＋DF2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD＝90∘，CD＝，CF＝1，
∴DF2＝CD2＋CF2＝()2＋12＝，
∴BD2＋AF2＝AB2＋DF2＝25＋．
这是一种类比题，当图形从到一般时，一般图形中的解题方法可类比图形中的解题方法，图形中的很多结论在一般图形中还存在．它考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，勾股定理，矩形与正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，具有一定的综合性．
25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A. （﹣2，4） B. （2，4） C. （﹣2，﹣4） D. （8，1）
2. 已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. ＞ B. = C. ＜ D. 没有能确定
4. 如图，下列条件没有能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD•AC D.
5. 如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知点A是双曲线y＝在象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )
A. n＝－2m B. n＝－ C. n＝－4m D. n＝－
7. 如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )
A. (4，2) B. (4，1) C. (5，2) D. (5，1)
8. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 24
9. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是_______ ．(写出一个即可)
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B(0，6)，反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____．
13. 如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则___
14. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是____．
15. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．
16. 正比例函数（m＞0）图象与反比例函数（）的图象交于点A(n,4)和点B,AMy轴，垂足为M,若△ABM的面积为8，则满足的实数x的取值范围是__________．
17. 如图，反比例函数y＝(x＞0)图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为______．
18. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2018＝_______．
三、解 答 题(共66分)
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
20. 如图，已知反比例函数y＝的图象点A(－1，)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转30°后得到线段OB，求出点B的坐标，并判断点B是否在此反比例函数的图象上．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA.
22. 如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)图象上，点B，Q在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．
(1)求点A的坐标和k的值；
(2)求的值．
23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了较好，要求学生的注意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
24. 如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴是直线x＝－，且A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A. （﹣2，4） B. （2，4） C. （﹣2，﹣4） D. （8，1）
【正确答案】A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
本题考查反比例函数图象上点坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
2. 已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【正确答案】C
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′,，
∴，
故选C.
3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. ＞ B. = C. ＜ D. 没有能确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．
故选:C．
考点：反比例函数的性质．
4. 如图，下列条件没有能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD•AC D.
【正确答案】D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
D、=没有能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
5. 如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解题.
【详解】解：∵,,
∴,即
∵,
∴
故选B.
本题考查了平行线分线段成比例定理,属于简单题,熟悉定理内容,找到平行线是解题关键.
6. 如图，已知点A是双曲线y＝在象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )
A. n＝－2m B. n＝－ C. n＝－4m D. n＝－
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A为（，n），点B的坐标为（-，-n），根据图像知B、C的横坐标相同，可得-=m.
故选B
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：
①图像上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x轴、y轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|.
7. 如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )
A. (4，2) B. (4，1) C. (5，2) D. (5，1)
【正确答案】C
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵△ABE和△CDE是以点E为位似的位似图形，
∴，，
解得x＝5，y＝2，
所以，点B的坐标为（5，2）．
故选：C．
8. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 24
【正确答案】C
【分析】
【详解】解 过点A引轴于点D．．为此只需求出即可．
方法1：
由题意易知，点A和点B的坐标分别为和．
设直线AB的表达式为，将A，B两点的坐标代入，得，解得．所以直线AB的表达式为，令，得，故点C的坐标为．过点A引轴于点D，如图所示，根据反比例函数图象性质易知，且．从而．故选C．
方法2：
没有求直线AB的解析式，也可求出CD的长．过点B作AD的垂线，垂足为点E，如图所示．易知，．进而由，可知，即，从而．（下略）
方法3：
根据，，且直线AB与x轴交点C的坐标为，可以直接求出的面积，即
．故选C．
9. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】A
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴ ，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE= ，
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3．
故选A．
10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【正确答案】D
【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.
【详解】过点、作轴，轴，分别于、，
设点的坐标是，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
因为点在反比例函数的图象上，则，
点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
.
故选.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是_______ ．(写出一个即可)
【正确答案】2．
【分析】由反比例函数的性质列出没有等式，解出m的范围，然后在这个范围内写出一个则可．
【详解】解：根据题意，m﹣1＞0，
解得m＞1
∴m=2（答案没有）．
故答案是2．
本题考查反比例函数的性质．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B(0，6)，反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____．
【正确答案】9
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由正方形的性质可得点C（3，3），将点C坐标代入反比例函数y=中，即可求解.
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B（0，6），
BD=CD= OB=3，
∴C（3，3）．
∵反比例函数y=的图象过点C，
∴k=3×3=9．
故9.
本题考查了正方形的性质和反比例函数的解析式，正确求解点C的坐标是解题的关键.
13. 如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则___
【正确答案】2.
【详解】试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因为AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案为2.
考点：相似三角形的判定与性质.
14. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是____．
【正确答案】25
【分析】由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∵AB=BC，AC=10．
∴2AB2=200，
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10-x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴,即，
得x=EF=5
∴此正方形的面积为5×5=25．
故25.
本题主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．
15. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．
【正确答案】9
【详解】如图，设路灯甲的高为米，
由题意和图可得：，
解得，
∴路灯甲的高为9米.
故9
16. 正比例函数（m＞0）的图象与反比例函数（）的图象交于点A(n,4)和点B,AMy轴，垂足为M,若△ABM的面积为8，则满足的实数x的取值范围是__________．
【正确答案】-2＜x＜0或x＞2
【详解】根据题意可得：AM=n，又，所以n=2，所以点A的坐标是（2,4），根据双曲线的对称性可知点B的坐标是（-2，-4），所以当-2＜x＜0或x＞2时，．
故答案是：-2＜x＜0或x＞2
17. 如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为______．
【正确答案】8
【详解】如图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点，
∵反比例函数图象在象限，
∴k>0，
∴△ODH的面积=△OBC的面积=，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=．
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3．
∵DH∥AB，
∴△ODH∽△OAB．
∴，即．
解得：k=8．
故8
本题考查反比例函数系数k的几何意义及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
18. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2018＝_______．
【正确答案】2
【详解】∵=−1，
∴的坐标是(−1,1)，
∴的坐标是(2,1)，
即=2，
∵=2，
∴的坐标是(2,− )，
∴的坐标是(,− )，
即=，
∵=，
∴的坐标是(,−2)，
∴的坐标是(−1,−2)，
即=−1，
∵=−1，
∴的坐标是(−1,1)，
∴的坐标是(2,1)，
即=2，
…，
∴, , , , ,…,每3个数一个循环,分别是−1、2、，
∵2018÷3=672......2，
∴是第672个循环的第2个数，
∴=2.
故答案为2.
点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 此题还考查了函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
三、解 答 题(共66分)
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.
【详解】（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
20. 如图，已知反比例函数y＝的图象点A(－1，)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转30°后得到线段OB，求出点B的坐标，并判断点B是否在此反比例函数的图象上．
【正确答案】(1)y＝－；(2)点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上.
【详解】试题分析：1）由于反比例函数y=的图象点A，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D，由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上．
试题解析：
(1)y＝－ ；
(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D.
在Rt△AOC中，AC＝，OC＝1，
∴OA＝＝2，可求∠AOC＝60°，
∵将线段OA绕O点逆时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，
∴∠BOD＝30°.
在Rt△BOD中，BD＝OB＝1，由勾股定理得OD＝，
∴B点坐标为(－，1)，
将x＝－代入y＝－中，得y＝1，
∴点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，即可得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论.
试题解析：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°，
∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线．
(2)连接AC，
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠ECB＝∠CAE，
又∵∠HEC＝∠CEA，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EH·EA.
22. 如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，点B，Q在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．
(1)求点A的坐标和k的值；
(2)求的值．
【正确答案】(1)点A的坐标为(2，－5)， k＝－10；(2)－.
【详解】试题分析：（1）由点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，可求出B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4可求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y＝，即可求出k的值；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为 ，代入计算即可．
试题解析：
(1)∵点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，
∴当y＝－1时，x－3＝－1，解得x＝2，
∴B(2，－1)．设点A的坐标为(2，t)，则t＜－1，AB＝－1－t.
∵S△OAB＝4，
∴ (－1－t)×2＝4，解得t＝－5，
∴点A的坐标为(2，－5)．
∵点A在反比例函数y＝ (k＜0)的图象上，
∴－5＝，解得k＝－10.
(2)∵P，Q两点关于y轴对称，点P的坐标为(m，n)，
∴Q(－m，n)，
∵点P在反比例函数y＝－的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，
∴n＝－，n＝－m－3，
∴mn＝－10，m＋n＝－3，
∴＋＝＝＝＝－
23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了较好，要求学生的注意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【正确答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则没有能．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
本题考查了反比例函数与函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．
24. 如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得结论；
（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，得出BG=CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出结果．
试题解析：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．
（2）作EM⊥AB于M，如图所示：
则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，且A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1)①点B的坐标为(1，0)；②y＝－x2－x＋2；(2)存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.
【详解】【试题分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴、y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（3）证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
试题解析：
(1)①对于直线y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，
∴C(0，2)，A(－4，0)，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线x＝－对称，
∴点B坐标为(1，0)；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，
又∵抛物线过点C(0，2)，
∴2＝－4a，
∴a＝－，
∴y＝－x2－x＋2
(2)在Rt△AOC中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，
如图，①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线对称性，当M(－3，2)时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M(n，－ n2－n＋2)，则N(n，0)，
∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4，
当＝时，MN＝AN，即n2＋n－2＝ (n＋4)，
整理得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，
∴M(2，－3)；
当＝时，MN＝2AN，即n2＋n－2＝2(n＋4)，
整理得n2－n－20＝0解得n1＝－4(舍)，n2＝5，
∴M(5，－18)．
综上所述，存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.
点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与相似三角形的综合应用，综合性较强，难度适中．运用数形、分类讨论及方程思想是解题的关键．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 的值是【 】
A. 4 B. 2 C. ﹣2 D. ±2
2 今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿到
A. 百亿位 B. 亿位 C. 百万位 D. 百分位
3. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
6. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列说确的是( )
A. 要了解人们对“绿色出行”的了解程度，宜采用普查方式；
B. 随机的概率为50%，必然的概率为；
C. 一组数据3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5；
D. 若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定.
10. 如下图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A. (1，1) B. (1，2) C. (4，3) D. (1，4)
11. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是
A B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．
14. 若关于x的方程 =2+的解是正数，则m的取值范围是____________.
15. 已知关于x的一元二次方程2x2+kx-4=0的两根分别为x1,x2.若2x12-kx2-13=0.则k的值为 _____________
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似．若AB=1.5，则DE=_____．
17. 如图,直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移，当⊙P与该直线相切时，点P坐标为___.
18. 如图，点A在双曲线y＝的象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
三、解 答 题（本大题共7个小题，满分66分）．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 为了解学生课余情况，某班对参加A组：绘画；B组：书法；C组：舞蹈；D组：乐器；这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样，并根据收集的数据绘制了如图两幅没有完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下面的问题：
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形统计图补充完整，
(3)计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；
(4)已知在此次中，参加D组的5名学生中有3名女生和2名男生，要从这5名学生中随机抽取2名学生参加市举办的音乐赛，用列表法或画树状图的方法求出抽取的2名学生恰好是1男1女的概率．
21. 身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝没有小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22. 小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年总额为50000元，今年每部价比去年降低400元，若卖出的数量相同，总额将比去年减少20%．
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机进货数量没有超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利至多？A，B两款手机的进货和价格如下表：
A款手机
B款手机
进货价格（元）
1100
1400
价格（元）
今年价格
2000
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．
24. 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90∘，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 的值是【 】
A. 4 B. 2 C. ﹣2 D. ±2
【正确答案】B
【详解】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0．
∵22=4，∴4的算术平方根是2．故选B．
2. 今年1—5月份，深圳市累计完成地方一般预算收入216.58亿元，数据216.58亿到
A. 百亿位 B. 亿位 C. 百万位 D. 百分位
【正确答案】C
考点：近似数和有效数字．
专题：应用题．
分析：考查近似数的度，要求由近似数能准确地说出它的度．216.58亿元中的5虽然是小数点后的位，但它表示5千万，同样8表示8百万，所以216.58亿元到百万位．
解答：解：根据分析得：216.58亿元到百万位．
故选C．
点评：本题主要考查学生对近似数的度理解是否深刻，这是一个的题目．许多同学没有假思考地误选D，通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度．
3. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴没有一致，所以没有是轴对称图形；B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案没有是轴对称图形，所以也没有是；D图形中圆内的两个箭头没有是轴对称图象，而是对称图形，所以也没有是轴对称图形.故选B.
4. 为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
【正确答案】A
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝，
所以sin∠A＝025.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
5. 一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
【正确答案】D
【详解】试题分析：半径为6的半圆的弧长是6π，根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，得到圆锥的底面周长是π，根据弧长公式有2πr=6π，解得：r=3，即这个圆锥的底面半径是3．
故选D．
考点：圆锥的计算．
6. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：作AC⊥OB于点C，
则AC=，A0=2，sin∠AOB=.
考点：三角函数的计算.
7. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
【详解】连接AC，BP，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
设垂足为O，
△BCE的面积=×BE×CO=S△BEP＋S△BCP=×BE×PR＋×BC×PQ=BE×（PR＋PQ），∴CO=PR＋PQ，
∵AB=1，
∴AC=，CO=，
∴PR＋PQ=，
故选：D．
考点：正方形性质与三角形面积综合题．
8. 在平面直角坐标系中，个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：分别求出第1个，第3个，第3个，第4个正方形的边长和面积，从它们的表达式中探索规律.
详解：
正方形序号 边长 面积
1 5
2 5()2
3 5[()2]2
4 5[()3]2
n …… 5[()n－1]2
所以第2010个正方形的面积为5[()2010－1]2＝5()4018.
点睛：解规律探索题要注意以下两点:(1)探索规律的关键：注意观察已知的对应数值(图形)的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律．(2)探索规律的步骤：①从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把数量或图形的变化特点展现在图表当中；②认真观察图表或图形，通过合理联想，大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论；③由此及彼验证结论的正误．
9. 下列说确的是( )
A. 要了解人们对“绿色出行”的了解程度，宜采用普查方式；
B. 随机的概率为50%，必然的概率为；
C. 一组数据3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5；
D. 若甲组数据的方差是0.168，乙组数据的方差是0.034，则甲组数据比乙组数据稳定.
【正确答案】C
【详解】分析：A.看对的对象是否适用普查；B.随机的概率在0和1之间；C.根据众数和中位数的定义判断；D.方差越小，数据越稳定.
详解：A.的对象很多，且的结果没有需要那么，没有适宜用普查，则A没有正确；
B.随机的概率在0和1之间，则B没有正确；
C.3，4，5，5，6，7的众数和中位数都是5，正确；
D.因为方差越小，数据越稳定，所以乙组数据更稳定，则D没有正确.
故选C.
点睛：一般来说当的对象很多又没有是每个数据都有很大的意义，或着的对象虽然没有多，但是带有破坏性，应采用抽查方式；如果对象没有需要花费太多的时间又没有据有破坏性或者生产生活中有关隐患的问题就必须采用普查的方式进行；随机的概率在0和1之间.
10. 如下图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A (1，1) B. (1，2) C. (4，3) D. (1，4)
【正确答案】B
【详解】试题分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转．
∵将△ABC以某点为旋转，顺时针旋转90°得到△A′B′C′， ∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′， 作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2）， ∴旋转的坐标为（1，2）．
考点：坐标与图形变化-旋转．
11. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确结论的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣1＝ ，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②错误，
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，故③正确，
∵x＝﹣1时，y＞0，x＝1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴(a﹣b+c) (a+b+c)＜0
∴，
∴，故④错误，
∵x＝﹣1时，y取得值a﹣b+c，
∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，
∴x（ax+b）≤a﹣b，故⑤正确．
故选C．
本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
【详解】如图：
①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16-×（8-t）×（8-t）=-t2+8t-16．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
第Ⅱ卷
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【正确答案】x≤1且x≠﹣2
【详解】解：根据题意得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为x≤1且x≠﹣2
14. 若关于x的方程 =2+的解是正数，则m的取值范围是____________.
【正确答案】m<3且m≠;
【分析】解方程，用含m的式子表示x，由x>0，求出m的范围，再把使分母为0的x值排除.
【详解】解方程＝2＋得，x＝6－2m.
因为x为正数，所以6－2m＞0，即m＜3.
把x＝3代入方程x＝6－2m得，3＝6－2m，解得m＝.
所以m的取值范围是m<3且m≠.
故答案为m<3且m≠.
本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.
15. 已知关于x的一元二次方程2x2+kx-4=0的两根分别为x1,x2.若2x12-kx2-13=0.则k的值为 _____________
【正确答案】15±3
【详解】分析：把x1代入到原方程，化简为＝－k＋4，把代入到方程2x12－kx2－13＝0，整理得－k()－9＝0，再把整体代入求k，要判断k的值是否使原方程有实数根.
详解：根据题意得：，＝－2.
因为原方程的根，所以2＋k－4＝0，
即＝－k＋4，代入方程2x12－kx2－13＝0得：
－k＋4－kx2－13＝0，即－k()－9＝0，所以－k·()－9＝0，
解得k＝±3.
因为b2－4ac＝k2＋32＞0.，所以k＝±3.
故答案为±3.
点睛：根据根与系数的关系求一元二次方程中字母系数的值，一般需要将所给方程用原方程的两根之和与两根之积表示，再整体代入，得到关于字母系数的方程，求出字母系数，还要根据根的判别式判别所得字母系数的值是否使原方程有实数根.
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O位似．若AB=1.5，则DE=_____．
【正确答案】4.5
详解】试题分析：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3，又因△ABC与△DEF位似，AB=1.5，所以，所以DE=4.5.
考点：位似的性质.
17. 如图,直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移，当⊙P与该直线相切时，点P坐标为___.
【正确答案】(-1,0),(-5,0);
【详解】分析：画出⊙P与直线AB相切时的图形，计算出AB与x轴的夹角，勾股定理和含30°角的直角的性质求AP1，AP2的长.
详解：如图，当圆心P运动到点P1，P2时，与直线AB相切.
当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－3，所以A(－3，0)；
当x＝0时，y＝，所以B(0，).
Rt△ABO中，则勾股定理得AB＝6，所以∠BAO＝30°.
因为AB与⊙P1相切，所以∠ACP1＝90°，所以AP1＝2P1C＝2.
所以OP1＝3－2＝1，则P1(－1，0).
同理AP2＝2，则OP2＝3＋2＝5，则P2(－5，0).
故答案为(－1，0)，(－5，0).
点睛：当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是60°；当直线的k值是－时，与x轴正方向的夹角是120°；当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是30°；当直线的k值是时，与x轴正方向的夹角是150°.
18. 如图，点A在双曲线y＝的象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
【正确答案】.
【分析】由AE＝3EC，△ADE面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而
表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.
【详解】如图，连接DC，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.
∴△ADC的面积为4.
∵点A在双曲线y＝的象限的那一支上，
∴设A点坐标为 (x,).
∵OC＝2AB，∴OC=2x.
∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.
∴梯形BOCA的面积=，解得.
反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.
三、解 答 题（本大题共7个小题，满分66分）．
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，.
【分析】先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．
【详解】
把代入得：
原式
考点：分式的化简求值，二次根式的计算．
20. 为了解学生课余情况，某班对参加A组：绘画；B组：书法；C组：舞蹈；D组：乐器；这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样，并根据收集的数据绘制了如图两幅没有完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下面的问题：
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形统计图补充完整，
(3)计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；
(4)已知在此次中，参加D组的5名学生中有3名女生和2名男生，要从这5名学生中随机抽取2名学生参加市举办的音乐赛，用列表法或画树状图的方法求出抽取的2名学生恰好是1男1女的概率．
【正确答案】(1) 25名同学；(2)见解析；(3) 172.8°；(4) .
【详解】分析：(1)用A组6人占人数的24%求的人数；(2)求出C组人数后即可补充统计图；(3)用参加书法组的人数除以的人数乘以360°；(4)用树状图法求出总有可能性和符合条件的可能性.
详解：(1)根据题意得：6÷24%＝25(名)，
答：此次共了25名同学；
(2)C组的人数是：25−6−12−5＝2(人)，补图如下：
(3)书法部分的圆心角的度数是×360°＝172.8∘；
(4)画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能性，其中符合条件的可能性有12种.
则P(1男1女)＝.
点睛：本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，在等可能中，如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的A可能出现的结果数是m，那么A的概率为.
21. 身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝没有小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【正确答案】（1）10.4米；（2）能
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，从而求得GF的长．
（2）在Rt△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【详解】解：（1）过A作AP⊥GF于点P，
则AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，
在Rt△PAG中，，
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米）．
∴GF=9+1.4≈10.4（米）．
（2）由题意可知MN=5，MF=3，
∴在直角△MNF中，．
∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，
∴能触到挂在树上的风筝．
22. 小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年总额为50000元，今年每部价比去年降低400元，若卖出的数量相同，总额将比去年减少20%．
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量没有超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利至多？A，B两款手机的进货和价格如下表：
A款手机
B款手机
进货价格（元）
1100
1400
价格（元）
今年的价格
2000
【正确答案】（1）今年A款手机每部售价1600元；（2）进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利．
【分析】（1）设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60-a）部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的值
【详解】解：（1）设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，
由题意，得 ，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．答：今年A款手机每部售价1600元；
（2）设今年新进A款手机a部，则B款手机（60﹣a）部，获利y元，
由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．
∵B款手机的进货数量没有超过A款手机数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20.
∵y=﹣100a+36000．
∴k=﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y=34000元．
∴B款手机的数量为：60﹣20=40部．
∴当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利．
考查函数的应用, 分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．
【正确答案】（1）PC是⊙O的切线；（2）
【详解】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出，即，解得r=，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．
试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=×=．
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90∘，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
【正确答案】(1) BF=AD，BF⊥AD；(2) BF=AD，BF⊥AD仍然成立，理由见解析；(3).
【分析】(1)可由SAS证得△BCF≌△ACD得到BF＝AD，BF⊥AD；
(2)与(1)中的方法相同；
(3)证△BCF∽△ACD，得BO⊥AD，再利用勾股定理求解.
【详解】(1)BF＝AD，BF⊥AD；
延长BF交AD于H，如图1所示．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90∘，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90∘，
在△BCF和△ACD中，BC＝AC，∠BCF＝∠ACD=90゜，CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
∴∠BAD＋∠ABF＝∠BAC+∠CAD+∠ABF
=∠BAC+∠CBF+∠ABF
=∠BAC+∠ABC=90∘，
∴∠AHA＝90∘，
∴BF⊥AD；
(2)BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90∘，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90∘，
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
在△BCF和△ACD中，BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90∘，
∴∠CAD＋∠AHO＝90∘，
∴∠AOH＝90∘，
∴BF⊥AD；
(3)证明：连接DF，如图所示．
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD＝90゜，
又∵∠ACB＝90゜，
∴∠ACB＝∠FCD
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
∵AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，
∴BC:AC＝CF:CD＝3:4，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90゜，
∴∠CAD＋∠AHO＝90∘，
∴∠AOH＝90∘，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90∘，
∴BD2＝OB2＋OD2，AF2＝OA2＋OF2，AB2＝OA2＋OB2，DF2＝OF2＋OD2，
∴BD2＋AF2＝OB2＋OD2＋OA2＋OF2＝AB2＋DF2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD＝90∘，CD＝，CF＝1，
∴DF2＝CD2＋CF2＝()2＋12＝，
∴BD2＋AF2＝AB2＋DF2＝25＋．
这是一种类比题，当图形从到一般时，一般图形中的解题方法可类比图形中的解题方法，图形中的很多结论在一般图形中还存在．它考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，勾股定理，矩形与正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，具有一定的综合性．
25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A. （﹣2，4） B. （2，4） C. （﹣2，﹣4） D. （8，1）
2. 已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. ＞ B. = C. ＜ D. 没有能确定
4. 如图，下列条件没有能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD•AC D.
5. 如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知点A是双曲线y＝在象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )
A. n＝－2m B. n＝－ C. n＝－4m D. n＝－
7. 如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )
A. (4，2) B. (4，1) C. (5，2) D. (5，1)
8. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 24
9. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是_______ ．(写出一个即可)
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B(0，6)，反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____．
13. 如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则___
14. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是____．
15. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．
16. 正比例函数（m＞0）图象与反比例函数（）的图象交于点A(n,4)和点B,AMy轴，垂足为M,若△ABM的面积为8，则满足的实数x的取值范围是__________．
17. 如图，反比例函数y＝(x＞0)图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为______．
18. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2018＝_______．
三、解 答 题(共66分)
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
20. 如图，已知反比例函数y＝的图象点A(－1，)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转30°后得到线段OB，求出点B的坐标，并判断点B是否在此反比例函数的图象上．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA.
22. 如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)图象上，点B，Q在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．
(1)求点A的坐标和k的值；
(2)求的值．
23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了较好，要求学生的注意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
24. 如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴是直线x＝－，且A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京市九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A. （﹣2，4） B. （2，4） C. （﹣2，﹣4） D. （8，1）
【正确答案】A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
本题考查反比例函数图象上点坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
2. 已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【正确答案】C
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′,，
∴，
故选C.
3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. ＞ B. = C. ＜ D. 没有能确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．
故选:C．
考点：反比例函数的性质．
4. 如图，下列条件没有能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD•AC D.
【正确答案】D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项没有合题意；
D、=没有能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
5. 如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解题.
【详解】解：∵,,
∴,即
∵,
∴
故选B.
本题考查了平行线分线段成比例定理,属于简单题,熟悉定理内容,找到平行线是解题关键.
6. 如图，已知点A是双曲线y＝在象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )
A. n＝－2m B. n＝－ C. n＝－4m D. n＝－
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A为（，n），点B的坐标为（-，-n），根据图像知B、C的横坐标相同，可得-=m.
故选B
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：
①图像上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x轴、y轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|.
7. 如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )
A. (4，2) B. (4，1) C. (5，2) D. (5，1)
【正确答案】C
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵△ABE和△CDE是以点E为位似的位似图形，
∴，，
解得x＝5，y＝2，
所以，点B的坐标为（5，2）．
故选：C．
8. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 24
【正确答案】C
【分析】
【详解】解 过点A引轴于点D．．为此只需求出即可．
方法1：
由题意易知，点A和点B的坐标分别为和．
设直线AB的表达式为，将A，B两点的坐标代入，得，解得．所以直线AB的表达式为，令，得，故点C的坐标为．过点A引轴于点D，如图所示，根据反比例函数图象性质易知，且．从而．故选C．
方法2：
没有求直线AB的解析式，也可求出CD的长．过点B作AD的垂线，垂足为点E，如图所示．易知，．进而由，可知，即，从而．（下略）
方法3：
根据，，且直线AB与x轴交点C的坐标为，可以直接求出的面积，即
．故选C．
9. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】A
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴ ，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE= ，
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3．
故选A．
10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【正确答案】D
【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.
【详解】过点、作轴，轴，分别于、，
设点的坐标是，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
因为点在反比例函数的图象上，则，
点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
.
故选.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 若函数的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是_______ ．(写出一个即可)
【正确答案】2．
【分析】由反比例函数的性质列出没有等式，解出m的范围，然后在这个范围内写出一个则可．
【详解】解：根据题意，m﹣1＞0，
解得m＞1
∴m=2（答案没有）．
故答案是2．
本题考查反比例函数的性质．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B(0，6)，反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为____．
【正确答案】9
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由正方形的性质可得点C（3，3），将点C坐标代入反比例函数y=中，即可求解.
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵正方形OABC的顶点O为坐标原点，点B（0，6），
BD=CD= OB=3，
∴C（3，3）．
∵反比例函数y=的图象过点C，
∴k=3×3=9．
故9.
本题考查了正方形的性质和反比例函数的解析式，正确求解点C的坐标是解题的关键.
13. 如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则___
【正确答案】2.
【详解】试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因为AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案为2.
考点：相似三角形的判定与性质.
14. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是____．
【正确答案】25
【分析】由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∵AB=BC，AC=10．
∴2AB2=200，
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10-x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴,即，
得x=EF=5
∴此正方形的面积为5×5=25．
故25.
本题主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．
15. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为_____米．
【正确答案】9
【详解】如图，设路灯甲的高为米，
由题意和图可得：，
解得，
∴路灯甲的高为9米.
故9
16. 正比例函数（m＞0）的图象与反比例函数（）的图象交于点A(n,4)和点B,AMy轴，垂足为M,若△ABM的面积为8，则满足的实数x的取值范围是__________．
【正确答案】-2＜x＜0或x＞2
【详解】根据题意可得：AM=n，又，所以n=2，所以点A的坐标是（2,4），根据双曲线的对称性可知点B的坐标是（-2，-4），所以当-2＜x＜0或x＞2时，．
故答案是：-2＜x＜0或x＞2
17. 如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为______．
【正确答案】8
【详解】如图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点，
∵反比例函数图象在象限，
∴k>0，
∴△ODH的面积=△OBC的面积=，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=．
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3．
∵DH∥AB，
∴△ODH∽△OAB．
∴，即．
解得：k=8．
故8
本题考查反比例函数系数k的几何意义及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
18. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x－1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝－上，并且满足A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，An⊥x轴，BnAn＋1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数)．若a1＝－1，则a2018＝_______．
【正确答案】2
【详解】∵=−1，
∴的坐标是(−1,1)，
∴的坐标是(2,1)，
即=2，
∵=2，
∴的坐标是(2,− )，
∴的坐标是(,− )，
即=，
∵=，
∴的坐标是(,−2)，
∴的坐标是(−1,−2)，
即=−1，
∵=−1，
∴的坐标是(−1,1)，
∴的坐标是(2,1)，
即=2，
…，
∴, , , , ,…,每3个数一个循环,分别是−1、2、，
∵2018÷3=672......2，
∴是第672个循环的第2个数，
∴=2.
故答案为2.
点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 此题还考查了函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
三、解 答 题(共66分)
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2.
【详解】（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
20. 如图，已知反比例函数y＝的图象点A(－1，)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转30°后得到线段OB，求出点B的坐标，并判断点B是否在此反比例函数的图象上．
【正确答案】(1)y＝－；(2)点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上.
【详解】试题分析：1）由于反比例函数y=的图象点A，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D，由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上．
试题解析：
(1)y＝－ ；
(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D.
在Rt△AOC中，AC＝，OC＝1，
∴OA＝＝2，可求∠AOC＝60°，
∵将线段OA绕O点逆时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，
∴∠BOD＝30°.
在Rt△BOD中，BD＝OB＝1，由勾股定理得OD＝，
∴B点坐标为(－，1)，
将x＝－代入y＝－中，得y＝1，
∴点B(－，1)在反比例函数y＝－的图象上
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，即可得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论.
试题解析：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°，
∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线．
(2)连接AC，
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠ECB＝∠CAE，
又∵∠HEC＝∠CEA，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EH·EA.
22. 如图，已知点A，P在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，点B，Q在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P，Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为(m，n)．
(1)求点A的坐标和k的值；
(2)求的值．
【正确答案】(1)点A的坐标为(2，－5)， k＝－10；(2)－.
【详解】试题分析：（1）由点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，可求出B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4可求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y＝，即可求出k的值；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为 ，代入计算即可．
试题解析：
(1)∵点B在直线y＝x－3的图象上，点B的纵坐标为－1，
∴当y＝－1时，x－3＝－1，解得x＝2，
∴B(2，－1)．设点A的坐标为(2，t)，则t＜－1，AB＝－1－t.
∵S△OAB＝4，
∴ (－1－t)×2＝4，解得t＝－5，
∴点A的坐标为(2，－5)．
∵点A在反比例函数y＝ (k＜0)的图象上，
∴－5＝，解得k＝－10.
(2)∵P，Q两点关于y轴对称，点P的坐标为(m，n)，
∴Q(－m，n)，
∵点P在反比例函数y＝－的图象上，点Q在直线y＝x－3的图象上，
∴n＝－，n＝－m－3，
∴mn＝－10，m＋n＝－3，
∴＋＝＝＝＝－
23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了较好，要求学生的注意力指数达到36，那么适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【正确答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则没有能．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
本题考查了反比例函数与函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．
24. 如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，点H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得结论；
（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，得出BG=CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出结果．
试题解析：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．
（2）作EM⊥AB于M，如图所示：
则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，且A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1)①点B的坐标为(1，0)；②y＝－x2－x＋2；(2)存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.
【详解】【试题分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴、y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（3）证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
试题解析：
(1)①对于直线y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，
∴C(0，2)，A(－4，0)，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线x＝－对称，
∴点B坐标为(1，0)；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，
又∵抛物线过点C(0，2)，
∴2＝－4a，
∴a＝－，
∴y＝－x2－x＋2
(2)在Rt△AOC中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，
如图，①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线对称性，当M(－3，2)时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M(n，－ n2－n＋2)，则N(n，0)，
∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4，
当＝时，MN＝AN，即n2＋n－2＝ (n＋4)，
整理得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，
∴M(2，－3)；
当＝时，MN＝2AN，即n2＋n－2＝2(n＋4)，
整理得n2－n－20＝0解得n1＝－4(舍)，n2＝5，
∴M(5，－18)．
综上所述，存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.
点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与相似三角形的综合应用，综合性较强，难度适中．运用数形、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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