2022-2023学年四川省乐山市马边县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省乐山市马边县九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线、相交于点，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了至月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，其中从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  年的政府工作报告中，在回顾年的工作时提到：农村贫困人口减少万，贫困发生率降至，脱贫攻坚取得决定性成就将数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并写出下列结论：
图象与坐标轴的交点为，和；
图象具有对称性，对称轴是直线；
当或时，函数值随的增大而增大；
当或时，函数的最小值是；
当时，函数的最大值是；
若点在该图象上，则当时，可以找到个不同的点．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  的相反数是______ ．

12.  把多项式分解因式的结果是______．

13.  如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则        ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为，边、分别在轴、轴上，一个反比例函数的图象经过点若该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，则点的坐标为______．

 

15.  已知，则的值为        ．

16.  如图，在四边形中，，，直线当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图所示，则四边形的周长是______．

 

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，点是线段的中点，，求证：≌．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

20.  本小题分
年月日是第个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
本次抽取调查的学生共有______人，估计该校名学生中“比较了解”的学生有______人．
请补全条形统计图．
“不了解”的人中有名男生，，，名女生，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这人进行了培训，然后随机抽取人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．

 

21.  本小题分
小张到某厂工作，进厂后小张发现：加工件型零件和件型零件需要小时，加工件型零件和件型零件需要小时．
工资待遇：每天工作小时，每月工作天，加工件型零件计酬元，加工件型零件计酬元月工资底薪元计件工资．
小张加工件型零件和件型零件各需要多少小时？
若公司规定：小张每月必须加工型零件不少于件，请问小张每月分别加工多少个型零件和型零件才能工资最多？工资最多可拿多少元？

22.  本小题分
已知关于的方程．
求证：当时，方程总有两个不相等实数根；
若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

23.  本小题分
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．











求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

24.  本小题分
如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
请判断直线是否是的切线，并说明理由；
若，，求弦的长．
 

25.  本小题分
【感知】如图，在四边形中，，点在边上，，求证：．
【探究】如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，连接交于点．
求证：．
【拓展】如图，点在四边形内，十，且，过作交于点，若，延长交于点求证：．

 

26.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，点坐标是抛物线与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接．
求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标．
直线与抛物线对称轴交于点，点为直线上一动点．
当的面积等于面积的倍时，求点的坐标；
在的条件下，当点在轴上方时，过点作直线垂直于，直线交直线于点，点在直线上，且时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正数大于零，零大于负数，
在，，，中，最小的两个数为：，，
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
，
在，，，中最小的数为：．
故选：．
根据有理数比较大小的法则：正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小即可得到正确选项．
本题考查了有理数的大小比较，熟记有理数大小比较的法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据垂线定义可求得，进而求得，再根据对顶角相等求解即可．
本题考查垂线定义、对顶角相等，熟练掌握垂线定义和对顶角相等是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：本，
即从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多．
故选：．
从折线图中获取信息，可得从月到月每月阅读课外书本数的最大值比最小值相差多少．
本题考查了折线统计图，利用数形结合的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据俯视图可知该组合体共行、列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：

则组成此几何体需要正方体个数为．
故选：．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
 

5.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
直线与轴的交点在正半轴，故A、不合题意，、符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D正确；
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可知两直线交点是，
当时，直线在直线的上方，
即不等式的解集为：，
故选：．
根据图象可以看出当时，直线在直线的上方，即可得出答案．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于的不等式是解此题的关键．
方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：，
得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数值为，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动

将绕点旋转，使与重合，得到≌，
所以，，，
从而可知为等边三角形，为定点，
所以点在垂直于的直线上
作，则即为的最小值
作，可知四边形为矩形，
则，
因为，则，
，

故选：．
由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，解得，，即图象与轴有两个交点，，
令，得，即图象与轴的交点为，
即图象与坐标轴的交点，和，故正确；
由或知，它们的对称轴为直线，故正确；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，故正确；
函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，故正确；
从图象上看，当时，函数值要大于，因此不正确；
当时，即当时，即，
解得：，，
当时，即，解得：，，
即当时，可以得到四个不同的的值，从而可以找到个不同的点，故正确；
从而错误的为．
故选：．
由函数解析式分别令及，可求得曲线与轴及轴的交点坐标，从而可对作出判定；根据或知，它们的对称轴为直线，再由图象可分别对作出判断；根据函数解析式求得当时的自变量的值，从而可对作出判断．
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是数形结合，掌握二次函数的图象与性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故答案为：．
根据相反数的定义进行求解即可．
本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提出公因式，再利用平方差公式因式分解．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，连接．
，
．
，
，
，
，
，
．
在中，



．
故答案为：．
过点作，连接先利用勾股定理求出、、，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，最后在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、平行线的性质等知识点是解决本题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：正方形的面积为，
，
，
设反比例函数的解析式为，
，
该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，
点的横坐标为：，
点的坐标为或，
故答案为：或．
先根据正方形的面积公式求得正方形的边长，进而得点坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据题目条件求得点的横坐标，进而求得点坐标．
本题主要考查了反比例函数图象与性质，正方形的性质，关键是求出点坐标．
 

15.【答案】 

【解析】解：，


．
故答案为：．
原式变形后，将已知代数式的值代入计算即可求出值．
本题考查了因式分解的应用，掌握整体代换的思想是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，直线，
，
由图可得，
，
，
，
当平移到点与点重合时，如右图所示，
，
，
，
为等边三角形，
．
四边形的周长是：，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到、、的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到的长，从而可以求得四边形的周长．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，
在和中，

≌． 

【解析】由已知条件得到，，根据三角形全等的判定定理可证得≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形．
 

19.【答案】解：




，
，
，
当时，
原式． 

【解析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
 

20.【答案】，；
补全条形统计图如图：

画树状图如图：

共有个等可能的结果，恰好抽到名男生的结果有个，
恰好抽到名男生的概率为． 

【解析】解：本次调查的学生总人数为人；
本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生有：人，
估计该校名学生中“比较了解”的学生有人，
故答案为：，；
见答案；
见答案。
用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可；
由知本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生为人，直接补全条形统计图即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出恰好抽到名男生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：设小张加工件型零件需要小时，加工件型零件需要小时，
由题意得：，
解得：，
答：小张加工件型零件需要小时，加工件型零件需要小时；
设小张每月加工型零件件，工资总额为元，则可以加工型零件件，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
由题意可知，，
当时，有最大值，最大值为，
此时，，
答：小张每月加工个型零件和个型零件才能工资最多，工资最多可拿元． 

【解析】设小张加工件型零件需要小时，加工件型零件需要小时，由题意：加工件型零件和件型零件需要小时，加工件型零件和件型零件需要小时．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设小张每月加工型零件件，工资总额为元，则可以加工型零件件，列出与的函数，利用一次函数性质即可解决问题．
此题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；由题意正确列出与的一次函数关系式．
 

22.【答案】证明：，
，，，


，
，
，即，
方程总有两个不相等实数根；
由题意可知，
，
即：．
当，时，方程为：．
解得：． 

【解析】根据根的判别式符号进行判断；
根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
 

23.【答案】解：反比例函数经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，
则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
如图设直线交轴于，则，











．
点的坐标为或或或． 

【解析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法求解即可．
如图设直线交轴于，则，根据求解即可．
由题意，
当时，可得，
当时，可得，，
当时，过点作轴于设，
在中，则有，
解得，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
 

24.【答案】解：直线是的切线，
理由如下：如图，连接，

为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
过点作于，

，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论；
由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长．
 

25.【答案】【感知】证明：，
，
，
∽，
．
【探究】证明：如图，过点作于点，由可知，

，
，
，
又，，
≌，
，
【拓展】证明：如图，在上取点，使，

过点作，交的延长线于点，则，
，，
，
∽，
，
，，
而，
，
，
，
，
，
∽，
，
又，
，
，
又，，
≌，
． 

【解析】本题是相似三角形的形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【感知】证得，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
【探究】过点作于点，由可知，证得，证明≌，可得出结论；
【拓展】在上取点，使，过点作，交的延长线于点，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，则，得出，则，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
 

26.【答案】解由题意得，
，
，

，
．
如图，

作于，
，，
直线：，
，可设，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，

，
，
或．
或．
如图，

设，
由得，
，
化简，得
，
，，
，，
作于，
，
∽，
，
即：，
，
，
设直线是：，
，
，，
，
由得，
，

，
． 

【解析】将和代入可得；
求出的面积，设利用求得；
利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．
本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．