2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选
1. 一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. C. D. ，
2. 下列图形中，对称图形有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某饲料厂今年一月份生产饲料吨，三月份生产饲料吨，若二月份和三月份这两个月平均增长率为，则有（ ）.
A. B.
C. D.
5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（　　）
A. x（x+1）＝182 B. x（x﹣1）＝182
C. x（x+1）＝182×2 D. x（x﹣1）＝182×2
6. 抛物线y＝x2﹣2x＋1与x轴的交点个数为（ ）
A. 无交点 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的表达式为（ ）
A B. C. D.
8. 已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2图象有可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
10. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（　　）

A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
11. 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的O逆时针0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n关系的图象大致是（　　）

A. B. C. D.
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题
13. 已知点 A（2，a）与点 B（b，﹣5）关于原点对称，则 a+b 的值等于____．
14. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____．
15. 从正方形的铁皮上截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积为 48cm2，则原来正方形铁皮的面积为_____________．
16. 若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
17. 如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°，△AEB按顺时针方向旋转角度后成为△CFB，图中_____旋转，∠EFC_____．

18. 如图，平行于轴的直线分別交函数与的图象于、两点，过点作轴的平行线交的图象于点，直线DEAC，交的图象于点，则_______．

三、解 答 题
19. 解方程：
（1）4（x﹣2）2﹣49=0．
（2）x2﹣5x﹣7=0．
（3）（2x+1）（x﹣2）=3．
（4）3x（x﹣2）=2（2﹣x）．
20. 已知方程x2+kx﹣12=0一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
21. 已知一抛物线与x轴交点是A（﹣2，0），B（1，0），且点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求该抛物线的顶点坐标．
（3）直接写出当y＞8时，x的取值范围．
22. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；并写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．


23. 面对国际金融危机．某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，现推出如下标准：某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位至多应付旅游费多少元？
人数
没有超过25人
超过25人但没有超过50人
超过50人
人均旅游费
1500元
每增加1人，人均旅游费降低20元
1000元

24. 如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，

（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积值；若没有，请说明理由．







2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选
1. 一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. C. D. ，
【正确答案】A

【分析】根据直接开平方法进行求解即可；
【详解】解：，
，
，；
故选A．
本题主要考查了一元二次方程直接开平方法，准确计算是解题的关键．
2. 下列图形中，对称图形有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【分析】根据对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形进行解答．
【详解】解：、二、三个图形是对称图形，第四个图形是轴对称图形，没有是对称图形.
综上所述，是对称图形的有3个.
故选：B.
本题考查了对称图形，解题的关键是熟练的掌握对称图形的定义.
3. 用配方法解方程，下列配方正确是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．
4. 某饲料厂今年一月份生产饲料吨，三月份生产饲料吨，若二月份和三月份这两个月平均增长率为，则有（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产500（1+x）吨、500（1+x）2，由此即可列出方程．
详解】解：依题意得
500（1+x）2=720．
故选C．
本题主要考查一元二次方程应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式a（1+x）2=b．
5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（　　）
A. x（x+1）＝182 B. x（x﹣1）＝182
C. x（x+1）＝182×2 D. x（x﹣1）＝182×2
【正确答案】B

【详解】解：根据题意得x（x-1）=182．
故选B．
6. 抛物线y＝x2﹣2x＋1与x轴的交点个数为（ ）
A. 无交点 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【正确答案】B

【分析】通过解方程x2-2x+1=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），从而可判断抛物线y=x2-2x+1与x轴交点个数．
【详解】解：当y=0时，x2-2x+1=0，解得x1=x2=1，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），
所以抛物线y=x2-2x+1与x轴只有一个交点．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】∵二次函数图像平移的规律为“左加右减，上加下减”
∴二次函数的图象向上平移2个单位，所得所得图象的解析式为.
故选B.
8. 已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】本题可先由函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．

9. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
【正确答案】A

【分析】根据二次函数的性质得到抛物y=-（x+1）2+k（k为常数）的开口向上，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小即可．
【详解】解：∵二次函数线y=﹣（x+1）2+k，
∴该二次函数的抛物线开口向下，抛物线上的点，离对称轴越近，函数值越大．
抛物线的对称轴为：直线x=﹣1，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，
而三点横坐标离对称轴x=-1的距离按由近到远为：
（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴y1＞y2＞y3
故选A．
10. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则的度数是（　　）

A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
【正确答案】B

【分析】根据旋转的性质得为等腰直角三角形，即可算得，继而可算得．
【详解】解：由旋转性质：，
为等腰直角三角形，
，
中，
，
，
故选B．
本题考查了旋转的性质；关键在于知道旋转过程中对应边角的大小是相等的．

11. 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的O逆时针0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n关系的图象大致是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而没有一定要通过求解析式来解决．
【详解】旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化由小到大再变小．
故选B．
考查动点问题的函数图象问题，关键要仔细观察．
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【分析】由抛物线的图象可判断a、b、c的符号，可判断①；由x=-1和x=2时对应的函数值可判断②、③；由对称轴可得b=-2a分别代入a-b+c，借助函数图象可判断④；可以比较当x=m和x=1时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案．
【详解】解：∵图象开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
当x=-1时，可知y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误；
∵抛物线与x的一个交点在-1和0之间，
∴另一个交点在2和3之间，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b=-2a，
∴a=，且a-b+c＜0，
∴，
即，
∴2c＜3b，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确；
综上可知正确的有3个，
故选：B．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数与其图象的关系是解题的关键．
二、填 空 题
13. 已知点 A（2，a）与点 B（b，﹣5）关于原点对称，则 a+b 值等于____．
【正确答案】3

【详解】∵点A（2，a）与点B（b，﹣5）关于原点对称，
∴a=5，b=﹣2，
所以，a+b=5+（﹣2）=3．
故答案为3．
14. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____．
【正确答案】m≤2且m≠1

【详解】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根，
∴，
解得m≤2且m≠1．
故答案为m≤2且m≠1．
15. 从正方形的铁皮上截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积为 48cm2，则原来正方形铁皮的面积为_____________．
【正确答案】64cm2

【详解】设正方形的边长为，截去2cm宽的一条长方形后，还余下一个长方形，长方形的长为，宽为，
面积，
解得（舍去），
所以原来正方形铁皮的面积为
16. 若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
【正确答案】-3

【详解】解：因为的两根为x1，x2，
所以
=
故-3
17. 如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°，△AEB按顺时针方向旋转角度后成为△CFB，图中_____是旋转，∠EFC_____．

【正确答案】 ①. B ②. =90°

【详解】由△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，
∴△AEB≌△BFC，
∴AB=BC，BE=BF，∠AEB=∠BFC=135°，
∴旋转为点B，且旋转角为90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BFE=45°，
∴∠EFC=135°﹣45°=90°，
故答案为点B；=90°．
主要考查了旋转的定义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：（1）旋转为点B；（2）AB按顺时针方向旋转到BC所在的位置，旋转了90度．
18. 如图，平行于轴的直线分別交函数与的图象于、两点，过点作轴的平行线交的图象于点，直线DEAC，交的图象于点，则_______．

【正确答案】

【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
【详解】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x=，
∴点B（，a），
，
则x=，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1=（）2=3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴，
∴x=3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE=3-，
∴．
故．
本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．

三、解 答 题
19. 解方程：
（1）4（x﹣2）2﹣49=0．
（2）x2﹣5x﹣7=0．
（3）（2x+1）（x﹣2）=3．
（4）3x（x﹣2）=2（2﹣x）．
【正确答案】见解析

【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可；
【详解】（1）（x﹣2）2=
∴x﹣2=±
x1=，x2=﹣
（2）∵a=1，b=﹣5，c=﹣7，
∴△=25+28=53＞0，
∴x=
x1=，x2=
（3）整理得：2x2﹣3x﹣5=0，
∴（x+1）（2x﹣5）=0，
∴x+1=0或2x﹣5=0，
x1=﹣1，x2=
（4）3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0
（x﹣2）（3x+2）=0，
∴x﹣2=0或3x+2=0，
∴x1=2，x2=﹣．
20. 已知方程x2+kx﹣12=0的一个根为2，求k的值及方程的另外一个根？
【正确答案】k的值为4，方程的另一根为﹣6

【详解】试题分析：由一元二次方程的解的定义，将x=2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值；利用根与系数的关系即可求得原方程的另一根．
试题解析：
∵方程x2+kx-12=0的一个根为2，
∴x=2满足方程x2+kx-12=0，
∴4+2k-12=0，
解得，k=4．
设方程的另一根为x，则2x=-12，
解得，x=-6；
即k的值是4，方程的另一根是-6．
21. 已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求该抛物线的顶点坐标．
（3）直接写出当y＞8时，x的取值范围．
【正确答案】（1）y=2x2+2x﹣4；（2）（﹣，﹣）；（3）当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞2

【详解】试题分析：（1）设交点式y=a（x+2）（x-1），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标；
（3）先求出点C（2，8）关于对称轴x=-的对称点为（-3，8），再根据二次函数的性质即可求解．
试题解析：
（1）折抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣1），
把C（2，8）代入得a•4•1=8，解得a=2，
所以抛物线解析式为y=2（x+2）（x﹣1），
即y=2x2+2x﹣4；
（2）y=2x2+2x﹣4=2（x+）2﹣，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）；
（3）∵y=2x2+2x﹣4=2（x+）2﹣，
∴对称轴是直线x=﹣a=2＞0开口向上，
∴点C（2，8）关于对称轴的对称点为（﹣3，8），
∴当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞2．
22. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；并写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．

【正确答案】（1）A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）；（2）图见解析，A2（1，﹣1），B2（2，﹣4），C2（4，﹣3）

【详解】试题分析：（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出旋转后点的坐标进而得出答案．
试题解析：
（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，

A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（1，﹣1），B2（2，﹣4），C2（4，﹣3）．

23. 面对国际金融危机．某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，现推出如下标准：某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位至多应付旅游费多少元？
人数
没有超过25人
超过25人但没有超过50人
超过50人
人均旅游费
1500元
每增加1人，人均旅游费降低20元
1000元

【正确答案】（1）见解析；（2）该单位至多应付旅游费49500元

【详解】试题分析：（1）显然分三部分表示；
（2）根据人数对应找函数关系式，运用函数性质求解．
试题解析：
（1）由题意可知：
当0≤x≤25时，y=1500x．
当25＜x≤50时，y=x[1500﹣20（x﹣25）]
即y=﹣20x2+2000x
当x＞50时，y=1000x．
（2）由题意，得26≤x≤45，
所以选择函数关系式为：y=﹣20x2+2000x．
配方，得y=﹣20（x﹣50）2+50000．
∵a=﹣20＜0，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线x=50．
∴当x=45时，y有值，
即y值=﹣20×（45﹣50）2+50000=49500（元）
因此，该单位至多应付旅游费49500元．
解题关键是搞清楚所求问题对应的函数关系式，再应用性质求解．
24. 如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，

（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
【正确答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

【分析】（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积值；若没有，请说明理由．

【正确答案】（1）抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）存在，Q（-1，2）；
（3）存在，点P坐标为（-，），S△BPC=；

【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【详解】（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
，
∴．
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，
Q点坐标即为，
解得，
∴Q（-1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-，
若S四边形BPCO有值，则S△BPC就，
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）
=−(x+)2++，
当x=-时，S四边形BPCO值=+，
∴S△BPC=+−＝，
当x=-时，-x2-2x+3=，
∴点P坐标为（-，）．

此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形思想的应用．














2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选，请将答案写在答案卷上（每小题4分，共48分）
1. 在以下大众、东风、长城、奔驰四个汽车标志中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）．
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3. 下列命题中，正确的是（　　）
A. 形状相同的两个三角形是全等形
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 周长相等的两个三角形全等
D. 周长相等的两个等边三角形全等
4. 已知点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标是（　　）
A. （﹣1，2） B. （﹣1．﹣2） C. （1，2） D. （﹣2，1）
5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC，ED为折痕，折叠后点A'，B′，E在同一直线上，则∠CED的度数为( )

A 75° B. 95° C. 90° D. 60°
6. 如图，∠AOB和线段CD，如果P点到OA，OB的距离相等，且PC=PD，则P点是（　　）

A. ∠AOB的平分线与CD的交点
B. CD的垂直平分线与OA的交点
C. ∠AOB的平分线与CD的垂直平分线的交点
D. CD的中点
7. 如图，AB∥DE，AF=DC，若要证明△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　　）.

A AC=DF B. AB=DE C. ∠A=∠D D. BC=EF
8. △ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D，如果AB=8，CD=3，则△ABD的面积为（　　）
A. 24 B. 12 C. 8 D. 6
9. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)

A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
10. 如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（　　）

A. 4cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
12. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题，请将答案写在答案卷上（每题4分，共32分）
13. 已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为8cm，则它的周长是_____．
14. 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是_____

15. 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB＝6cm，BC＝3cm，则∠DBC＝_____，△DBC的周长是_____cm．

16. 已知P是等边三角形ABC的两边垂直平分线的交点，等边三角形的面积为15，则三角形ABP的面积为_____．
17. 已知点与点关于轴对称，则__________.
18. 如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________

19. 如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;


20. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．

三、解 答 题（共7题，共70分）
21. 如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，没有必写出作法）

22. 如图在面直角坐标系中
（1）在图中作△ABC关于y轴对称△A1B1C1并写出A1B1C1坐标（直接写答案）
（2）求△ABC面积．

23. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是 28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．
24. 如图1，在中，，，直线点，且于点，于点．

（1）图1中，求证:①；②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，三条线段的长度关系又如何？并说明理由．
25. 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．

求证：（1）；
（2）．
26. 已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M．若AE=CD，求证：MN=BN．

27. 如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，AP的长为　 　厘米，QC的长为　 　厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若没有变，请求出它的度数．


2022-2023学年四川省成都市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选，请将答案写在答案卷上（每小题4分，共48分）
1. 在以下大众、东风、长城、奔驰四个汽车标志中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A、轴对称图形，故本选项错误；B、没有是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误，
故选B．
2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）．
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【正确答案】D

【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】A、，没有满足三角形的三边关系定理，没有能组成三角形；
B、，没有满足三角形的三边关系定理，没有能组成三角形；
C、，没有满足三角形的三边关系定理，没有能组成三角形；
D、，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形；
故选：D．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
3. 下列命题中，正确的是（　　）
A. 形状相同的两个三角形是全等形
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 周长相等的两个三角形全等
D. 周长相等的两个等边三角形全等
【正确答案】D

【详解】A．形状和大小完全相同的两个三角形才是全等三角形，故原命题错误；B．面积相等的两个三角形没有一定全等，故原命题错误；C．周长相等的两个三角形没有一定全等，故原命题错误；D．周长相等的两个等边三角形全等，正确，
故选D．
4. 已知点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标是（　　）
A. （﹣1，2） B. （﹣1．﹣2） C. （1，2） D. （﹣2，1）
【正确答案】B

【详解】关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2），
故选B．
5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC，ED为折痕，折叠后点A'，B′，E在同一直线上，则∠CED的度数为( )

A. 75° B. 95° C. 90° D. 60°
【正确答案】C

【分析】根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：由题意知∠AEC＝∠CEA′，∠DEB＝∠DEB′，则∠A′EC＝∠AEA′，∠B′DE＝∠B′EB，
所以∠CED＝∠AEB＝×180°＝90°，
故选C．
考查了角的计算，折叠的性质，解决此类问题，应题意，实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
6. 如图，∠AOB和线段CD，如果P点到OA，OB的距离相等，且PC=PD，则P点是（　　）

A. ∠AOB的平分线与CD的交点
B. CD的垂直平分线与OA的交点
C. ∠AOB的平分线与CD的垂直平分线的交点
D. CD的中点
【正确答案】C

【详解】∵P点到OA，OB的距离相等，
∴P在∠AOB的角平分线上，
∵PC=PD，
∴P在线段CD的垂直平分线上，
∴P为∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点，
故选C．
7. 如图，AB∥DE，AF=DC，若要证明△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　　）.

A. AC=DF B. AB=DE C. ∠A=∠D D. BC=EF
【正确答案】B

【详解】∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
∴AC=DF，
若加AB=DE
可以依据SAS证明△ABC≌△DEF，
故选：B.
8. △ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D，如果AB=8，CD=3，则△ABD的面积为（　　）
A. 24 B. 12 C. 8 D. 6
【正确答案】B

【详解】作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3，
∴△ABD的面积为×3×8=12，
故选B．

本题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出△ABD的AB边上的高时解答本题的关键．
9. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(　　)

A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
【正确答案】C

【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
【详解】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
10. 如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）

A 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C

【详解】如图，过点D作DM⊥AC于点M，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=30°，DE=AE=8，
∵DM⊥AC于M，
∴DM=DE=4.
∵DE∥AB，
∴∠DAF=∠ADE=∠DAE，
∴AD平分∠BAC，
∵DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM=4.
故选C.

11. 如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（　　）

A. 4cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
【正确答案】B

【分析】

【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠ACD=90°,
∴∠AEB+∠A=90°.
∵AE⊥BD,∴∠BFE=90°,
∴∠AEB+∠FBE=90°,
∴∠A=∠FBE，
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD=4cm，AB=BC,
∵E为BC的中点,
∴AB=BC=2BE=8cm．
故选B．
本题考查了等角余角相等,三角形全等的判定与性质.运用等角的余角相等，得出∠A=∠BFE，从而得到，△ABE≌△BCD是解答本题的关键．
12. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用，从而得出结论．
【详解】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB≌△CED，
∴△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确；
②∵△AEB≌△CED，
∴BE＝DE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴△EBD是等腰三角形，EB＝ED，正确；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④折叠后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD没有一定相等(除非都是30°)，故此说法错误．
故选C．
考查了翻折变换(折叠问题)，正确找出折叠时出现的全等三角形，找出图中相等的线段，相等的角是解题的关键．
二、填 空 题，请将答案写在答案卷上（每题4分，共32分）
13. 已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为8cm，则它的周长是_____．
【正确答案】20cm

【详解】当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；
当4为腰时，其它两边为4和8，因为4+4=8，所以没有能构成三角形，故舍去，
所以答案只有20，
故答案为20cm．
14. 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是_____

【正确答案】105°

【详解】试题解析：

∵图中是一副直角三角板，



故答案为
15. 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB＝6cm，BC＝3cm，则∠DBC＝_____，△DBC的周长是_____cm．

【正确答案】30o； 9cm

【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=70°，
∵MD是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
∵AD=BD，AB=AC，AB=6cm，BC=3cm，
∴AD+CD=BD+CD=AC=6cm，
∴△DBC的周长=（BD+CD）+BC=6+3=9cm．
故答案为30°，9cm．
16. 已知P是等边三角形ABC的两边垂直平分线的交点，等边三角形的面积为15，则三角形ABP的面积为_____．
【正确答案】5

【详解】过P作PF⊥BC于F，连接PC，
∵P点是等边△ABC两边垂直平分线的交点，
∴AB=BC=AC，PD=PE=PF，
∴AB×PD=BC×PF= AC×PE，
∴S△ABP=S△BCP=S△ACP=S△ABC，
∵等边△ABC的面积为15，
∴△ABP的面积为5，
故答案为5．

17. 已知点与点关于轴对称，则__________.
【正确答案】2

【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点A（a，5）与点B（3，b）关于y轴对称，
∴a=-3，b=5，
∴a+b=-3+5=2．
故答案为2．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
18. 如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.

【正确答案】68°

【详解】∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠BED=∠FDC=90°，
又∵∠B=∠C，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠AFD=158°
∴∠EDB=∠CFD=180°-158°=22°
∴∠EDF=90°-∠EDB=90°-22°=68°

19. 如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;


【正确答案】60°

【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解．
【详解】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故60°．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．
20. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．

【正确答案】（36，0）

详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0）
三、解 答 题（共7题，共70分）
21. 如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，没有必写出作法）

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：作AB的垂直平分线和∠AOB及其补角的角平分线，它们的交点P1，P2．
试题解析：如图所示，

点P1，P2为所作．
22. 如图在面直角坐标系中
（1）在图中作△ABC关于y轴对称△A1B1C1并写出A1B1C1的坐标（直接写答案）
（2）求△ABC面积．

【正确答案】（1）A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；（2）5

【详解】试题分析：（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
（2）利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可.
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；
（2）△ABC的面积为：3×4﹣×2×2﹣×2×3﹣×1×4=5．

23. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是 28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．
【正确答案】DE=2cm

【分析】利用角平分线的性质，得出DE=DF，再利用△ABC面积是28cm2可求DE．
【详解】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB•DE+AC•DF=28，
即×20×DE+×8×DF=28，
解得DE=2cm．
全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质．

24. 如图1，在中，，，直线点，且于点，于点．

（1）在图1中，求证:①；②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，三条线段的长度关系又如何？并说明理由．
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）DE =AD-BE，理由见解析

【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
25. 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．

求证：（1）；
（2）．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．
【详解】证明：（1）∵以AB、AC边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DAC≌△BAE．
26. 已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M．若AE=CD，求证：MN=BN．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：（1）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠M的度数，再根据30度角的直角三角形的性质即可得.
试题解析：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠M=30°，
∴MN=BN．
27. 如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，AP的长为　 　厘米，QC的长为　 　厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若没有变，请求出它的度数．
【正确答案】（1）t，4﹣t；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）∠CMQ=60°没有变，理由见解析

【详解】试题分析：（1）根据点P、Q的运动速度表示出AP、BQ的长，再根据BC的长即可表示出CQ的长；
（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；
（3）∠CMQ=60°没有变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
试题解析：（1）依题意得：AP=t，QC=4﹣t．
故答案是：t；4﹣t；
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）∠CMQ=60°没有变．理由如下：
∵在△ABQ与△CAP中 ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．