2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）：
1. 菱形具有而平行四边形没有具有的性质是（　　）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
2. 一元二次方程x2﹣3x+2=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
3. 关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
4. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都没有对
5. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手，则两人平局的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=4，则EF的长为（　　）

A. B. C. 6 D. 10
7. 某市2013年投入教育2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育9.5亿元，则下列方程正确的是（ ）
A. 2x2=95 B. 2（1+x）=9.5
C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5
8. 若,且3a－2b+c=3,则2a+4b－3c的值是（ ）.
A 14 B. 42 C. 7 D.
9. 如图,在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )

A. 2 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.5
10. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC（ ）

A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
二．填 空 题（每小题3分，共30分）
11. 如图，在矩形中，为的中点，且，则的长为________．

12. 如果是一个完全平方公式，则_____．
13. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个没有相等的实数根，则a的取值范围是__________
14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm．

15. 如图是某地灌溉系统，一个漂浮物A流到B处的概率为______．

16. 若，则的值为_____．
17. 方程(m+3) +3mx＝0是关于x的一元二次方程，则m＝__________．
18. 已知实数，满足，，且，则________．
19. 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__．

20. 如图，菱形ABOC 中，对角线OA 在y 轴的正半轴上，且OA= 4，直线过点C，则菱形ABOC 的面积是_________________.

三、解 答 题
21. 解下列方程
（1）25x2+10x+1=0（公式法） （2） 7x2 -23x +6=0；（配方法）
(3)（分解因式法） （4）x2-4x-396=0（适当的方法）
22. 一只没有透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后没有放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率．
23. 如图，在12×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，以DE为一边画格点DEF，使得DEF∽ABC．其中AB= 6，AC=，BC=，DE=3．
（1）在图中画出DEF；
（2）证明:DEF∽ABC．

24. 将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
25. 利用一面墙（墙的长度没有限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

26. 已知:如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE=CF．
求证：平行四边形ABCD是矩形．

27. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
28. 已知关于的方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；



















2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）　
一、选一选（每小题3分，共30分）：
1. 菱形具有而平行四边形没有具有的性质是（　　）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【正确答案】D

【详解】A、没有正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；
B、没有正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；
C、没有正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
2. 一元二次方程x2﹣3x+2=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
【正确答案】A

【详解】解：x2﹣3x+2=0
a=1，b=﹣3，
则x1+x2=﹣=3，
故选A．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．
3. 关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【正确答案】D

【详解】解：∵关于x一元二次方程有实数根，
∴且△≥0，即，
解得，
∴m的取值范围是且．
故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
4. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都没有对
【正确答案】B

【详解】解方程得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，没有能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选B．
5. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手，则两人平局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】小强和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：

∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
∴小明和小颖平局的概率为：．
故选B．
考点：概率公式.
6. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=4，则EF的长为（　　）

A. B. C. 6 D. 10
【正确答案】C

【详解】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵DE=4，
∴EF=6，
故选C．
7. 某市2013年投入教育2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育9.5亿元，则下列方程正确的是（ ）
A. 2x2=9.5 B. 2（1+x）=9.5
C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5
【正确答案】D

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育9.5亿元即可得出方程．
【详解】解：设教育的年平均增长率为x
则2014的教育为：2（1+x）万元，
2015的教育为：2（1+x）2万元，
那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
8. 若,且3a－2b+c=3,则2a+4b－3c的值是（ ）.
A. 14 B. 42 C. 7 D.
【正确答案】D

【分析】
【详解】解：设a=5k，则b=7k，c=8k，
又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，
得k=，
即a=，b=，c=，
所以2a+4b-3c=．
故选D．
9. 如图,在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )

A. 2 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.5
【正确答案】C

【分析】先根据勾股定理逆定理证得∠BAC=90°，再由三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】解：连接AP，

∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA=∠PFA=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，垂线段最短等知识，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）

A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
【正确答案】B

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二．填 空 题（每小题3分，共30分）
11. 如图，在矩形中，为的中点，且，则的长为________．

【正确答案】5

【详解】∵矩形ABCD中，E是BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，
在△ABE和△DCE中， ，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，∵∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴AB=BE=BC=AD=5.
12. 如果是一个完全平方公式，则_____．
【正确答案】-3或1

【详解】已知x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，可得-2（m+1）=±4，解得m=-3或1．
13. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1=0有两个没有相等的实数根，则a的取值范围是__________
【正确答案】a＞﹣1且a≠0

【详解】解∵关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴ ，解得：且.
即的取值范围是：且.
本题考查根据一元二次根的情况求参数.由本题题意可知字母的取值需同时满足2个条件：（1）由原方程是一元二次方程可知二次项系数；（2）由原方程有两个没有相等的实数根可知，“根的判别式△的值大于0”.
14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm．

【正确答案】

【详解】如图，连接AO交EF于点P，

由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP．
∵点A恰好落在菱形的对称O处，
∴AE=BE．
∵AB=2，∠A=120°，
∴Rt△AEP中，AE=1，∠AEP=30°．
∴，
∴，
∴EF＝．
15. 如图是某地的灌溉系统，一个漂浮物A流到B处的概率为______．

【正确答案】

【详解】如图，漂浮物的漂浮方式共有6种情况：C①，C②，D③，D④，E⑤，E⑥．其中漂流物点B的只有一种情况，所以一个漂浮物A流到B处的概率为．

16. 若，则的值为_____．
【正确答案】

【详解】∵，
∴===
∴=.
故答案为.
17. 方程(m+3) +3mx＝0是关于x的一元二次方程，则m＝__________．
【正确答案】m=3

【分析】根据一元二次方程的定义得出m+3≠0，|m|﹣1=2，求出即可．
【详解】∵（m+3）x|m|﹣1+3mx=0是关于x的一元二次方程，∴m+3≠0，|m|﹣1=2，解得：m=3．
故答案为3．
本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．
18. 已知实数，满足，，且，则________．
【正确答案】

【详解】∵实数m，n满足3m2+6m﹣7=0，3n2+6n﹣7=0，且m≠n，
∴m，n分别为3x2+6x﹣7=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣，
∴ =-，
故答案为﹣．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
19. 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__．

【正确答案】

【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．
【详解】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=

考点：(1)、菱形性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、等边三角形的性质．
20. 如图，菱形ABOC 中，对角线OA 在y 轴的正半轴上，且OA= 4，直线过点C，则菱形ABOC 的面积是_________________.

【正确答案】4

【详解】∵四边形ABOC是菱形，OA=4，
∴AO⊥BC，BE=CE，AE=OE=2，
∴BC∥x轴，
∴C的纵坐标是2，
把y=2代入直线 得：2=，
解得：x=1，
即C（1，2），
∴B（-1，2），
∴BC=1-（-1）=2，
∴菱形ABOC的面积是×AO×BC=×4×2=4.

点睛：本题考查了函数的图象上点的特征及菱形的性质的应用，菱形的面积等于对角线积的一半，解题时要注意求菱形对角线的长.
三、解 答 题
21. 解下列方程
（1）25x2+10x+1=0（公式法） （2） 7x2 -23x +6=0；（配方法）
(3)（分解因式法） （4）x2-4x-396=0（适当的方法）
【正确答案】（1）（2）x1=3，； （3）；（4），

【详解】试题分析：（1）运用公式法解方程即可；（2）运用配方法解方程即可；（3）运用因式分解法解方程即可；（4）运用公式法解方程即可.
试题解析：
（1）a=25，b=10，c=1，
△=100-100=0，
∴x= ，
∴.
（2） ,
,


∴x1=3，.
（3）=0，
（y+2+3y-1）（y+2-3y+1）=0，
（4y+1）（-2y+3）=0，
∴.
（4））a=1，b=-4，c=-396，
△=16+1584=1600，
∴x= ，
∴，
22. 一只没有透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后没有放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率．
【正确答案】

【详解】试题分析：根据题意列出表格，然后根据表格求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
试题解析：
设红球分别为H1、H2，白球分别为B1、B2，列表得：
第二球
球
H1
H2
B1
B2
H1

（H1，H2）
（H1，B1）
（H1，B2）
H2
（B1，H1）

（H2，B1）
（H2，B2）
B1
（B1，H1）
（B1，H2）

（B1，B2）
B2
（B2，H1）
（B2，H2）
（B2，B1）

总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种．
故P（两次都摸到红球）=．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23. 如图，在12×6的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，以DE为一边画格点DEF，使得DEF∽ABC．其中AB= 6，AC=，BC=，DE=3．
（1）在图中画出DEF；
（2）证明:DEF∽ABC．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：（1）利用AB与DE是对应边，进而得出DF，EF的长，进而得出答案；（2）计算出各对应边的比值，利用相似三角形的判定方法即可判定ΔDEF∽ΔABC．．
试题解析：
（1）如图所示：△DEF即为所求；

（2）证明：由图可知：DF=，EF=2，
∵AB= 6，AC=，BC=，DE=3，
∴，
∴DEF∽ABC．
24. 将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【正确答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．

【分析】设每件商品涨价元，能赚得8000元的利润；单价为元，量为件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=量×每个利润，可列方程求解
【详解】解：设每件商品涨价元，则单价为元，量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检验，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解

25. 利用一面墙（墙的长度没有限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

【正确答案】当矩形长为25米时，宽为8米，当矩形长为50米时，宽为4米．

【分析】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（58﹣2x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
【详解】解：设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（58﹣2x）米
由题意得得：x（58－2x）＝200
解之得：x1＝25，x2＝4，
∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时，宽为8米，当矩形长为50米时，宽为4米．

26. 已知:如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．且BE=CF．
求证：平行四边形ABCD是矩形．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：根据已知条件易证ΔBEO≅ΔCFO，根据全等三角形的性质可得OB=OC，即可得BD=AC，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定平行四边ABCD是矩形.
试题解析：
证明：,
.
又四边形是平行四边形,
.
在和中,
,
.
,
∴BD=AC,
∴平行四边ABCD是矩形.
27. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
【正确答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）□ABCD的周长是5.

【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键
28. 已知关于的方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
【正确答案】（1）；（2）k＝－3

【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，求解即可得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2 ，以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1；②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)，进行求解即可得．
【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0 .
解得；
（2）依题意x1＋x2＝2(k－1)，x1·x2＝k2
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，
则有x1＋x2＝x1·x2－1，即2(k－1)＝k2－1
解得k1＝k2＝1
∵
∴k1＝k2＝1没有合题意，舍去；
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1·x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)
解得k1＝1，k2＝－3，
∵
∴k＝－3
综合①、②可知k＝－3．
题目主要考查一元二次方程根与系数关系，根判别式，熟练掌握二次根与系数的关系及根的判别式是解题关键.









2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）　
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程3x2﹣2x+1=0的二次项系数、项系数、常数项分别是（　　）
A. 3、2、1 B. 3、﹣2、1 C. 3、﹣2、﹣1 D. ﹣3、2、1
3. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　）
A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3
4. 下列根式中，没有是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列图形一定是相似图形的是（　　）
A. 两个矩形 B. 两个正方形
C. 两个直角三角形 D. 两个等腰三角形
6. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是　　
A. 1：16 B. 1：6 C. 1：4 D. 1：2
7. 一元二次方程4x2+1=3x的根的情况是（   ）
A. 没有实数根           B. 只有一个实数根           C. 有两个相等的实数根           D. 有两个没有相等的实数根
8. 下列运算中正确的是（　　）
A. ﹣= B. 2+3=6
C. ÷= D. （+1）（﹣1）=3
9. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )

A. B.
C. D.
二、解 答 题（共6小题，满分24分）
11. ＝_____．
12. 如果： = ， 那么：=________ ．
13. 若a是方程x2﹣5x﹣4=0的根，则a2﹣5a的值为_____．
14. 如图所示，某小区有一块长为32米，宽为15米矩形草坪，现要在草坪中间设计一横二竖的等宽的小路供居民散步，并使小路的面积是草地总面积的八分之一．若设小路的宽为是x米，那么所得的方程是_____．

15. 计算（）2+结果是_____．
16. 如图，△ABC中，DE∥BC，=，则OE：OB=_____．

三、解 答 题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）+2．


18. 解下列方程：
（1）2x2+x﹣6=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x）．


19. 如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=6，EC=2，BD=AE，求BD的长．



20. （1）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个没有等实根，求实数k的取值范围；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+1﹣p2=0．求证：无论p为何值，方程总有两个没有相等的实数根．


21. 如图，在矩形ABCD中，已知 AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）证明：△AEF∽△DCE．
（2）若AB=4，AE=6，AD=14，求线段AF的长．



22. 如图，某课外小组借助直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边．已知篱笆长为40m，篱笆围成的矩形ABCD的面积为300m2．求边AB的长．



23. 某网店台灯，成本每个30元．大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月量就减少20个，若售价每下降1元，其月量就增加200个．
（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出　 　个台灯．
（2）为迎接“”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．


24. 感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（没有要求证明）
探究：如图②，四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，则DE的长为______．



25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E．设点D的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AE的长为　 　．（用含t的代数式表示）
（2）若△ADE与△ACB的面积比为1：4时，求t的值．
（3）设△ADE与△ACB重叠部分图形周长为L，求L与t之间的函数关系式．
（4）当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．















2022-2023学年福建省漳州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）　
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【详解】根据题意得，
解得．
故选D．
本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．

2. 一元二次方程3x2﹣2x+1=0的二次项系数、项系数、常数项分别是（　　）
A. 3、2、1 B. 3、﹣2、1 C. 3、﹣2、﹣1 D. ﹣3、2、1
【正确答案】B

【详解】一元二次方程3x2﹣2x+1=0二次项系数、项系数、常数项分别是3，﹣2，1.
故选B．
3. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　）
A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3
【正确答案】B

【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6没有是比例线段，所以A选项错误；
B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确；
C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5没有是比例线段，所以C选项错误；
D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3没有是比例线段，所以D选项错误．
故选B．
4. 下列根式中，没有是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】 =2，没有是最简二次根式，
故选C．
5. 下列图形一定是相似图形的是（　　）
A. 两个矩形 B. 两个正方形
C. 两个直角三角形 D. 两个等腰三角形
【正确答案】B

【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【详解】A. 两个矩形，对应角相等，对应边没有一定成比例，故没有符合题意；
B. 两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C 两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角没有一定相等，故没有符合题意；
D. 两个等腰三角形，顶角没有一定相等相等，对应边也没有一定成比例，没有符合相似的定义，故没有符合题意．
故选B.
本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的概念.
6. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是　　
A. 1：16 B. 1：6 C. 1：4 D. 1：2
【正确答案】D

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，
两个相似三角形的相似比是1：2，
两个相似三角形的周长比是1：2，
故选D．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7. 一元二次方程4x2+1=3x的根的情况是（   ）
A. 没有实数根           B. 只有一个实数根           C. 有两个相等的实数根           D. 有两个没有相等的实数根
【正确答案】A

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【详解】解：原方程可化为：4x2﹣3x+1=0，
∵△=32﹣4×4×1=-7＜0，
∴方程没有实数根．
故选A．

8. 下列运算中正确的是（　　）
A. ﹣= B. 2+3=6
C. ÷= D. （+1）（﹣1）=3
【正确答案】C

【分析】根据二次根式的运算法则对每一项分别进行判断，即可得出正确答案．
【详解】解：A、﹣=2-=，故本选项错误；
B、2+3=5，故本选项错误；
C、÷=，故本选项正确；
D、（+1）（﹣1）=2-1=1，故本选项错误；
故选C．
此题考查了二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的运算法则，注意把二次根式进行化简．
9. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48
【正确答案】D

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )

A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，
∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=，
∵AB ∴x<4，
∴图象是D．
故选：D．
二、解 答 题（共6小题，满分24分）
11. ＝_____．
【正确答案】5

【详解】根据二次根式的性质知：5．
12. 如果： = ， 那么：=________ ．
【正确答案】

分析】设a=3k，b=2k，代入化简即可.
【详解】设a=3k，b=2k，代入，得
=.
故答案为.
本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键.
13. 若a是方程x2﹣5x﹣4=0的根，则a2﹣5a的值为_____．
【正确答案】4

【详解】把x=a代入方程得a2﹣5a﹣4=0，则a2﹣5a=4，
故答案为4．
14. 如图所示，某小区有一块长为32米，宽为15米的矩形草坪，现要在草坪中间设计一横二竖的等宽的小路供居民散步，并使小路的面积是草地总面积的八分之一．若设小路的宽为是x米，那么所得的方程是_____．

【正确答案】（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×

【详解】由题意可得，
（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×，
故答案为（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×．
15. 计算（）2+的结果是_____．
【正确答案】5﹣2x

【详解】∵2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴原式=2﹣x+|x﹣3|
=2﹣x+3﹣x
=5﹣2x．
故答案为5﹣2x．
16. 如图，△ABC中，DE∥BC，=，则OE：OB=_____．

【正确答案】

【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴．
故答案为．
三、解 答 题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）+2．
【正确答案】（1）；（2）

【详解】【试题分析】二次根式的四则混合运算，先算乘除，后算加减，注意的结果要化为最简二次根式.
【试题解析】
（1）÷﹣×+
=
=
=；
（2）+2
=
=．


18. 解下列方程：
（1）2x2+x﹣6=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x）．
【正确答案】（1）x1=﹣2，x2=1.5； （2）x1=5，x2=3

【详解】【试题分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可.
【试题解析】
（1）左边因式分解可得：（x+2）（2x﹣3）=0，
则x+2=0或2x﹣3=0，
解得：x1=﹣2，x2=1.5；
（2）移项可得（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，
因式分解可得：（x﹣5）（x﹣5+2）=0，即（x﹣5）（x﹣3）=0，
则x﹣5=0或x﹣3=0，
解得：x1=5，x2=3．


19. 如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=6，EC=2，BD=AE，求BD的长．

【正确答案】2

【详解】【试题分析】根据平行线分线段成比例定理计算，即可.
【试题解析】
∵DE∥BC
∴，
设BD=AE=x，
∵AD=6，EC=2，BD=AE，
∴，
∴x=2或x=﹣2（舍去）
∴BD=2．


20. （1）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个没有等实根，求实数k的取值范围；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+1﹣p2=0．求证：无论p为何值，方程总有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1）k＞；（2）证明见解析．

【详解】【试题分析】根据根的判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系解答.
【试题解析】
（1）∵原方程有两个没有相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k﹣3＞0，
解得k＞；
（2）△=（﹣4）2﹣4×1×（1﹣p2）=4p2+12，
∵p2≥0，
∴4p2+12＞0，
∴无论p为何值，方程总有两个没有相等的实数根．


21. 如图，在矩形ABCD中，已知 AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）证明：△AEF∽△DCE．
（2）若AB=4，AE=6，AD=14，求线段AF的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）12．

【详解】【试题分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质求解.
【试题解析】
（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=D=90°．
∵CE⊥EF，
∴∠AEF+∠DEC=90°．
又∵∠F+∠AEF=90°，
∴∠F=∠DEC．
∴△AEF∽△DCE．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=4．
∵AE=6，AD=14，
∴DE=AD﹣AE=8．
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
∴AF=12．


22. 如图，某课外小组借助直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边．已知篱笆长为40m，篱笆围成矩形ABCD的面积为300m2．求边AB的长．

【正确答案】10m或30m．

【详解】【试题分析】根据矩形的面积列出方程，求解.
【试题解析】
设边AB的长为xm．
根据题意，得x（40﹣x）=300，
解得 x1=10，x2=30．
答：边AB的长为10m．或者30m．


23. 某网店台灯，成本为每个30元．大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月量就减少20个，若售价每下降1元，其月量就增加200个．
（1）若售价上涨x元（x＞0），每月能售出　 　个台灯．
（2）为迎接“”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价．
【正确答案】（1）(600﹣20x)；（2）37元；（3）38元或50元．

【详解】【试题分析】
（1）根据当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月量就减少20个，易得答案：600﹣20x；
（2）设每个台灯的售价为x元．根据获利8400元列出方程，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8400，解出方程即可；
（3）方法同（2）列出方程求解.
【试题解析】
（1）依题意得：600﹣20x．
故答案是：600﹣20x．
（2）方法一：
设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8400，
解得x1=36（舍），x2=37．
当x=36时，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
当x=37时，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40﹣x﹣30）（200x+600）=8400，
解得x1=3，x2=4（舍）．
当x=3时，40﹣3=37，（40﹣37）×200+600=1200＜1210；
当x=4时，40﹣3=36，（40﹣36）×200+600=1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元；
（3）设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]=8000，
解得x1=38，x2=50．
答：每个台灯的售价为38元或50元．


24. 感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（没有要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，则DE的长为______．

【正确答案】探究：见解析；拓展：．

【分析】感知：先判断出，∠BAP=∠DPC，进而得出结论；
探究：同理根据两角相等相等，两三角形相似，进而得出结论；
拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC=AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6；在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．
【详解】感知：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3，
∵CE=4，
∴，
∴BD=，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣=，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE=．
故答案是：．
此题是相似三角形综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是证明△ABP∽△PCD．


25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E．设点D的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AE的长为　 　．（用含t的代数式表示）
（2）若△ADE与△ACB的面积比为1：4时，求t的值．
（3）设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．
（4）当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．

【正确答案】（1）5t；（2）；（3）当时，L=12t，当时，；（4）或1．

【详解】【试题分析】（1）利用三角函数求解；（2）根据△ADE与△ACB的面积比为1：4列出方程求解；（3）按照和两种情况讨论； （4）当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，和当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形两种情形讨论.
【试题解析】
（1）在Rt△ABC中，tanA==
由题意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA===，
根据勾股定理得，AE=5t．
故答案为5t；
（2）方法一：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴．
∵AD=3t，AC=3，BC=4，
∴DE=4t．
∴．
∵，
∵，
∴．
∴（舍）
∴t值为．
方法二：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∵，
∴．
∵AC=3，AD=3t，
∴2×3t=3，t=．
（3）由（2）得：△ABC∽△AED，
∴．
∵AD=3t，
∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，
∴当时，L=3t+4t+5t=12t．
∴L=12t．
当时，如图，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，
∴△ABC∽△FBD，
∴．
∵BD=5﹣3t，
∴．
∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，
∴∠B=∠E，
∵∠FCE=∠BCA
∴△BCA∽△ECF，
∴．
∵CE=5t﹣3，
∴．
．
∴．
（4）由（1）知，AE=5t，DE=4t，
∴CE=3﹣5t，
当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，
∴4t=3﹣5t，
∴t=，
当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形，
∵AD=3t，AC=3，
∴3t=3，
∴t=1．
即：满足条件的时间t为或1．