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2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共58页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图，已知是⊙的直径，弦于，连接、、，下列结论中没有一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列说确的是（ ）
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 三点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦
4. “已知二次函数的图像如图所示，试判断与的大小．”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时，所以．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）．
A. 换元法 B. 配方法 C. 数形法 D. 分类讨论法
5. 如图，半圆是一个量角器，为一纸片，交半圆于点，交半圆于点，若点、、在量角器上对应读数分别为，，，的度数为（ ）．
A. B. C. D.
6. 以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
8. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A ， B. ， C. ， D. ，
9. 设函数（为常数），下列说确的是（ ）．
A. 对任意实数，函数与轴都没有交点
B. 存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C. 取没有同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D. 对任意实数，抛物线都必定定点
10. 如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（ ）．
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是__________．
12. 从长度为2、3、5、7四条线段中任意选取三条，这三条线段能够构成三角形的概率是_________
13. 如图所示，已知⊙是的外接圆，是⊙的直径，是⊙的弦，，则__________．
14. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为_____
15. 如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，、分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，．
（）当时，则的度数为__________．
（）在点运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，当时，则的值为__________．
16. 如图，将二次函数图像向上平移个单位得到二次函数的图像，且与二次函数的图像相交于，过作轴的平行线分别交，于点，，当时，的值是__________．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表方法求出小灯泡发光的概率．
18. 已知：如图，在⊙中，，与相交于点，求证：．
19. 若函数的图象与坐标轴有两个交点，求的值．
20. 已知：如图，内接于⊙，，是上一点（没有与点，重合），延长至点．
（）求证：平分．
（）若于点，于点，求证：．
21. 已知二次函数图象的顶点为直线与的交点．
（）用含的代数式来表示顶点的坐标．
（）当时，二次函数与的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（）若，当取值为时，二次函数，求的取值范围．
22. 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
23. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：．
故选B．
2. 如图，已知是⊙的直径，弦于，连接、、，下列结论中没有一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵为⊙直径，
∴，
故正确；
∵为半径，且，
∴垂直平分，没有垂直平分，
∴选项错误；
∵垂直平分，
∴，
故正确；
∵，
∴，
∴选项正确，
故选．
3. 下列说确的是（ ）
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 三点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、半圆是弧，但弧没有一定是半圆，故本选项错误；
B、没有在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径没有一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选D．
4. “已知二次函数的图像如图所示，试判断与的大小．”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时，所以．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）．
A. 换元法 B. 配方法 C. 数形法 D. 分类讨论法
【正确答案】C
【详解】试题解析：由解析式可推出，x=1时y=a+b+c；
然后图象可以看出x=1时对应y的值小于0，所以可得a+b+c<0.
解决此题时将解析式与图象紧密，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形法.
故选C.
5. 如图，半圆是一个量角器，为一纸片，交半圆于点，交半圆于点，若点、、在量角器上对应读数分别为，，，的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：连结OD，
如图,则
∵OD=OA，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
故选A.
6. 以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】∵矩形的两条对称轴相交于对角线的交点处，即坐标原点是对角线的交点，
∴点C和点A关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，1），
要把抛物线上的一点由点A移到点C，就需要将抛物线向左移动4个单位，再向下移动2个单位，
∴移动后，抛物线的解析式为：，即.
故选A.
7. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【正确答案】C
【详解】连接OA，
设O的半径为r，则OC=r−3，
∵半径OD与弦AB互相垂直，AB=8，
∴AC=AB=4.
在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即r2=(r−3)2+42，解得r=.
故选：C.
8. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】C
【详解】∵二次函数的图象点（﹣1，0），
∴方程一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线对称轴为：直线x=1，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程的解为：，．
故选C．
9. 设函数（为常数），下列说确的是（ ）．
A. 对任意实数，函数与轴都没有交点
B. 存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C. 取没有同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D. 对任意实数，抛物线都必定定点
【正确答案】D
【详解】试题解析：A.
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B. ∵a=1>0,抛物线的对称轴:
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当x
C
∴抛物线的顶点为
消去k得,
由此可见,没有论k取任何实数,抛物线的顶点都满足函数
即在二次函数的图象上.故C错误；
D. 令k=1和k=0,得到方程组： 解得
将代入 得, 与k值无关,没有论k取何值,抛物线总是一个定点，故D正确.
故选D.
10. 如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：延长HM交AC于K.
∵AB是直径，
∵AH⊥CD，
∵HM平分∠AHC，
∴HK⊥AC，AK=KC
∴点M就是圆心，
∵AK=KC，AM=MB，
故选C.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是__________．
【正确答案】（1，0）
【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是
故答案为:
点睛：根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
12. 从长度为2、3、5、7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能够构成三角形的概率是_________
【正确答案】
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三遍，本题只要把三边代入，看是否满足即可，把满足的个数除以4即可
【详解】长度为2、3、5、7的四条线段中任意选取三条共有：2、3、5；2、3、7；3、5、7；2、5、7，共4种情况，能够构成三角形的只有3、5、7这一种，所以概率是
本题三角形三边关系与概率计算知识点，掌握好三角形三边关系是解题关键
13. 如图所示，已知⊙是的外接圆，是⊙的直径，是⊙的弦，，则__________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=54°，
∴∠A=90°-∠ABD=36°，
∴∠BCD=∠A=36°．
考点：圆周角定理．
14. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为_____
【正确答案】
【分析】先求出原抛物线的顶点，然后求出绕原点旋转180°后的点，根据旋转抛物线开口大小没有变，值是开口方向改变即可得解
【详解】二次函数的图像的顶点为，绕原点旋转180°后顶点坐标变为，旋转过程中二次函数形状保持没有变，开口方向相反，所以旋转后的图象解析式为．
本题考查二次函数旋转，掌握二次函数旋转的特征是解题关键
15. 如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，、分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，．
（）当时，则的度数为__________．
（）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，当时，则的值为__________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题解析：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
如图3,当时，
中
故答案为
16. 如图，将二次函数的图像向上平移个单位得到二次函数的图像，且与二次函数的图像相交于，过作轴的平行线分别交，于点，，当时，的值是__________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵平移后的解析式为
设AC=a，则AB=2a，
∴A的横坐标为−2+a，B的横坐标为−2−a，C的横坐标为−2+2a，
∵抛物线的对称轴为
解得
∴A的横坐标为
把 代入得
代入得, 解得
故答案为
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该的概率．
【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）画树状图如右图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，
其中能使小灯泡发光的情况有6种，
小灯泡发光的概率是．
本题考查的知识点是概率的求法，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 已知：如图，在⊙中，，与相交于点，求证：．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：因为，得到可以推出它们所对的圆周角相等，即可得证.
试题解析：∵，
∴，
∴．
19. 若函数的图象与坐标轴有两个交点，求的值．
【正确答案】或或a=
【详解】试题分析：由于该函数没有说明是二次函数，故应分两种情况进行讨论．
试题解析：当，即时，函数为函数，
与坐标轴有个交点，
当时，即，函数为二次函数，
若图象与轴只有一个交点，则，
即，
，
若图象过原点，
则代入得，
∴综上所述：或或．
20. 已知：如图，内接于⊙，，是上一点（没有与点，重合），延长至点．
（）求证：平分．
（）若于点，于点，求证：．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质得 加上 则 再利用圆周角定理得到 所以
（2）作直径，连结 如图，根据垂径定理得到 则可判断是的中位线，所以 再利用圆周角定理得到，利用等角的余角相等得到 则 所以则 于是得到
试题解析：（）证明：∵
∴，
又∵，
，
∴，
即：平分．
（）证明：连结并延长交⊙于，连结，
则为直径，
∵，
∴为中点，
∴为中位线，
∴，
又∵为直径，，
∴，
∴
∴
21. 已知二次函数图象的顶点为直线与的交点．
（）用含的代数式来表示顶点的坐标．
（）当时，二次函数与的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（）若，当取值为时，二次函数，求的取值范围．
【正确答案】(1) ; (2) m≤;(3) 0≤t≤4
【详解】试题分析：（1）已知直线和，列出方程求出 的等量关系式即可求出点的坐标；
（2）根据题意得出 解没有等式求出的取值；
（3）当时，当 时，二次函数最小值，解没有等式组即可求得．
试题分析：（）由得，
∴．
（）∵开口向上，
∴图象在对称轴右侧随增大而增大，
∴，
即．
（）∵时，，
∴抛物线有最小值，且最小值为，
∵时，二次函数最小值 ，
∴，
∴．
22. 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
【正确答案】（1）①；②10；（2）①14.5；②．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．
【详解】解：（1）①设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
②∵要使高为3米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴EF=10米；
（2）①设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2=BC2+CW2，
∴，
解得：；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，
根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，
即GF2=14.52﹣13.52=28，
所以GF=，
此时宽度EF=米．
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
23. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把h=1，k=2代入得到：．由抛物线过原点，得到，从而得到结论；
（2）由抛物线点A（h，k），得到，从而有，由抛物线原点，得到，从而得到；
（3）由点A（h，k）在抛物线上，得到，故，由抛物线原点，得到，从而有；然后分两种情况讨论：①当-2≤h＜0时，②当0＜h＜1时．
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：（a≠0），
∵h=1，k=2，∴．
∵抛物线过原点，∴，∴，
∴，即；
（2）∵抛物线点A（h，k），∴，
∴，∵抛物线原点，
∴，∵h≠0，∴；
（3）∵点A（h，k）在抛物线上，∴，∴，∵抛物线原点，∴，∵h≠0，∴；
分两种情况讨论：
①当-2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：，∴；
②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：，∴；
综上所述，a的取值范围是或．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分）
1. 下列计算中错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知点，，在反比例函数图像上，下列结论中正确的是（）．
A. B. C. D.
3. 如图，直线，则为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知个负数，，，，的平均数为，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 如图，⊙的半径为，点为⊙上一点，弦于点，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形，若梯形上、下底的长分别为、，两腰长为、，被剪下的小三角形可能是（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知在，，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知实数，是方程两个根，则实数，，，的大小关系可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 若表示实数，，，中的者，设，，记，设，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
二、填 空 题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在等腰三角形中，与度数之比为，则的度数是__________．
12. 分解因式：__________．
13. 箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出2个球，恰好为1个黑球和1个红球概率是____.
14. 在中是上一点，，，，在上取一点，使与相似，则__________．
15. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____．
16. 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆半径是__________．
17. 如图，矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线点C交x轴于点E，双曲线点D，则k的值为___.
18. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若建立一个新函数，它的图象与轴仅有一个交点，则__________．
三、解 答 题（本题有8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 先化简，再求值：
，其中．
20. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及没有完整的折线统计图（如图所示），并求得了产品三次单价的平均数和方差：，．
，产品单价变化统计表：
次
第二次
第三次
产品单价（元/件）
产品单价（元/件）
，产品单价变化折线统计图
（）补全折线统计图中产品单价变化的折线图，产品第三次的单价比上的单价降低了__________．
（）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
21. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金没有低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
22. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
23. 在中，是上的动点（异于、），过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们称这种直线为过点的的相似线，简记为（为自然数）．
（）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，），此外还有__________条过点的的相似线．
（）如图②，，，截得三角形面积为面积的时，求的值．
24. 对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点没有在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
25. 阅读下面的情景对话，然后回答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
（）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（）在中，为斜边，，，，且，若是奇异三角形，求．
（）如图，是⊙直径，是⊙上一点（没有与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在⊙内存在点，使，．
①求证：是奇异三角形．
②当是直角三角形时，求的度数．
26. 如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点．
（）求抛物线的函数解析式．
（）证明：．
（）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分）
1. 下列计算中错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】．
故选C．
2. 已知点，，在反比例函数图像上，下列结论中正确的是（）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴反比例函数图像在二、四象限单调递增，
∴．
故选B．
3. 如图，直线，则为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】如图，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选．
4. 已知个负数，，，，的平均数为，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】∵，，，，的平均数为，
∴，，，，，的平均数为，
有∵，
∴其中位数为．
故选．
5. 如图，⊙的半径为，点为⊙上一点，弦于点，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，，，
∴在中，，
∴，
∴．
故选B．
6. 如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形，若梯形上、下底的长分别为、，两腰长为、，被剪下的小三角形可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，∵，
∴，
∴，设，，
∴，
∴，，
∴，．
故选B．
7. 已知在，，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵为最小内角，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴即．
故选．
8. 已知实数，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵，
，，
又∵，
，，
若，，根据图像可得．
故选．
9. 若表示实数，，，中的者，设，，记，设，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵，，
∴，
如图，
令，，，
当时．
故选．
10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x轴交于点N，
∵B（3，），
∴OA=3，AB=，
∴OB=2，
∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，
∴AM=1.5，∠OAM=60°，
∴∠ADN=30°，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，
∴AN=1.5，DN=，
∴CN=3－－15=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（）2=，
∴CD=.
故选B.
本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后角30°以及勾股定理计算.
二、填 空 题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在等腰三角形中，与度数之比为，则的度数是__________．
【正确答案】或
【详解】∵为等腰三角形，，
∴或，
∴或．
12. 分解因式：__________．
【正确答案】
【详解】．
13. 箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出2个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是____.
【正确答案】
【详解】试题分析：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，
故答案为；．
考点：列表法与树状图法．
14. 在中是上一点，，，，在上取一点，使与相似，则__________．
【正确答案】或
【详解】如图①∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
图②∵，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
15. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____．
【正确答案】##
【详解】如图，连接AC、EF，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=DO=BD=x，
在Rt△EDH中，EH=DH=x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG===，
所以，==，
故答案为．
．
16. 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是__________．
【正确答案】25
【详解】取中点，作，交于，
∵，
∴等腰梯形，
∴，
又∵，，，
∴垂直平分，，
∴在上，
∵，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴外接圆的半径为．
17. 如图，矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线点C交x轴于点E，双曲线点D，则k的值为___.
【正确答案】1
【详解】∵BC=1，∴点C的纵坐标是y=1．
∵直线点C，∴，解得，x=4．∴点C的坐标是（4，1）．
∵矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，∴D（1，1）．
∵双曲线点D，∴k=xy=1×1=1，即k值为1．
故答案是：1
18. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若建立一个新函数，它的图象与轴仅有一个交点，则__________．
【正确答案】2017
【详解】
，
∵，，，
∴，，
∵与轴仅有一个交点，
∴的图像与轴的交点为，
∴，
∴．
点睛：本题主要考查二次函数的性质，根据条件求出函数y＝y₂＋y₁的表达式是解决本题的关键．
三、解 答 题（本题有8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 先化简，再求值：
，其中．
【正确答案】2
【详解】试题分析：先根据零次幂，值，三角函数以及分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x=2017代入原式进行计算即可．
试题解析：
解：
．
20. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及没有完整的折线统计图（如图所示），并求得了产品三次单价的平均数和方差：，．
，产品单价变化统计表：
次
第二次
第三次
产品单价（元/件）
产品单价（元/件）
，产品单价变化折线统计图
（）补全折线统计图中产品单价变化的折线图，产品第三次的单价比上的单价降低了__________．
（）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
【正确答案】（）补图见解析，；（），产品的单价波动小．
【详解】试题分析：（1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；
（2）分别计算平均数及方差即可；
试题解析：
解：（）如图，．
（），
，
，
∴产品的单价波动小．
21. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金没有低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【正确答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列没有等式求解即可．
【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=05或x=﹣2.5（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
考点：一元二次方程的应用；一元没有等式的应用.
22. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．
【详解】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF．
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°．∴∠COD+∠COF=90°．
∴∠DOF=90°．
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）．
∴OD⊥AC，AD=DC ∴∠CDO=90°．
∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°．
∴四边形CDOF是矩形．
（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：
∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC．
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形．
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．
23. 在中，是上的动点（异于、），过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们称这种直线为过点的的相似线，简记为（为自然数）．
（）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，），此外还有__________条过点的的相似线．
（）如图②，，，截得的三角形面积为面积的时，求的值．
【正确答案】解：（）存在另外1条相似线，（）①；②；③；④．
【详解】试题分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意没有要遗漏．
试题解析：
解：（）存在另外条相似线，
过作．
（）如图：
①第条，，
∴．
②第条，，
∴．
③第条，，
∴．
④第条，，
∴，
∴．
24. 对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点没有在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
【正确答案】（1）（2，2）；（3，4）；
（2）① ：是直角三角形；理由见详解；② ：B（5，8），n=4．
【分析】（1）根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；
（2）①、连接CM，根据和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；②、延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为（1，0），
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为（2，2），
∴点A经2次平移后得到的点的坐标为（3，4）；
【小问2详解】
解：①连接CM，如图1：
由对称可知，AM=BM， 由轴对称可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：
∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形， 由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为（13，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
C，E点在直线上，可得：， 解得：，
∴y=﹣x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．
本题考查几何变换问题，关键是根据对称和轴对称的性质及直角三角形的性质，进行判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式再求点的坐标．
25. 阅读下面的情景对话，然后回答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
（）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（）在中，为斜边，，，，且，若是奇异三角形，求．
（）如图，是⊙的直径，是⊙上一点（没有与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在⊙内存在点，使，．
①求证：是奇异三角形．
②当是直角三角形时，求的度数．
【正确答案】（）真命题；（）；（）①证明见解析；②的度数为或．
【详解】试题分析：（1）根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；
（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义；
（3）先根据勾股定理得出Rt△ABC各边之间的关系，再根据此三角形是奇异三角形可用a表示出b、c的值，即可得出结果．
试题解析：
解：（）设等边三角形的一边为，则，
∴符合奇异三角形的定义，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．
（）∵，
则①，
∵是奇异三角形，且，
∴②，
由①②得：，，
∴．
（）①∵为直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴是奇异三角形．
②由①可得是奇异三角形，
∴，
当是直角三角形时，
由（）得：或，
当时，
∴ ，，
∵，
∴，
当时，同理可得，．
∴的度数为或．
点睛：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形思想的应用．
26. 如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点．
（）求抛物线的函数解析式．
（）证明：．
（）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（）；（）证明见解析；（）存在，符合条件的点坐标为或或或或．
【详解】试题分析：（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
试题解析：
解：（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵该抛物线与轴交，两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
（）由（）可得，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵与轴交于点，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴．
（）存在，设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形．
①当时，
∴，得，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∴或．
③当时，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的点坐标为或或或或．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图，已知是⊙的直径，弦于，连接、、，下列结论中没有一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列说确的是（ ）
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 三点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦
4. “已知二次函数的图像如图所示，试判断与的大小．”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时，所以．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）．
A. 换元法 B. 配方法 C. 数形法 D. 分类讨论法
5. 如图，半圆是一个量角器，为一纸片，交半圆于点，交半圆于点，若点、、在量角器上对应读数分别为，，，的度数为（ ）．
A. B. C. D.
6. 以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
8. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A ， B. ， C. ， D. ，
9. 设函数（为常数），下列说确的是（ ）．
A. 对任意实数，函数与轴都没有交点
B. 存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C. 取没有同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D. 对任意实数，抛物线都必定定点
10. 如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（ ）．
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是__________．
12. 从长度为2、3、5、7四条线段中任意选取三条，这三条线段能够构成三角形的概率是_________
13. 如图所示，已知⊙是的外接圆，是⊙的直径，是⊙的弦，，则__________．
14. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为_____
15. 如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，、分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，．
（）当时，则的度数为__________．
（）在点运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，当时，则的值为__________．
16. 如图，将二次函数图像向上平移个单位得到二次函数的图像，且与二次函数的图像相交于，过作轴的平行线分别交，于点，，当时，的值是__________．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表方法求出小灯泡发光的概率．
18. 已知：如图，在⊙中，，与相交于点，求证：．
19. 若函数的图象与坐标轴有两个交点，求的值．
20. 已知：如图，内接于⊙，，是上一点（没有与点，重合），延长至点．
（）求证：平分．
（）若于点，于点，求证：．
21. 已知二次函数图象的顶点为直线与的交点．
（）用含的代数式来表示顶点的坐标．
（）当时，二次函数与的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（）若，当取值为时，二次函数，求的取值范围．
22. 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
23. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：．
故选B．
2. 如图，已知是⊙的直径，弦于，连接、、，下列结论中没有一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵为⊙直径，
∴，
故正确；
∵为半径，且，
∴垂直平分，没有垂直平分，
∴选项错误；
∵垂直平分，
∴，
故正确；
∵，
∴，
∴选项正确，
故选．
3. 下列说确的是（ ）
A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 三点确定一个圆
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、半圆是弧，但弧没有一定是半圆，故本选项错误；
B、没有在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、当被平分的弦为直径时，两直径没有一定垂直，故本选项错误；
D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，
故选D．
4. “已知二次函数的图像如图所示，试判断与的大小．”一同学是这样回答的：“由图像可知：当时，所以．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）．
A. 换元法 B. 配方法 C. 数形法 D. 分类讨论法
【正确答案】C
【详解】试题解析：由解析式可推出，x=1时y=a+b+c；
然后图象可以看出x=1时对应y的值小于0，所以可得a+b+c<0.
解决此题时将解析式与图象紧密，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形法.
故选C.
5. 如图，半圆是一个量角器，为一纸片，交半圆于点，交半圆于点，若点、、在量角器上对应读数分别为，，，的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：连结OD，
如图,则
∵OD=OA，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
故选A.
6. 以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】∵矩形的两条对称轴相交于对角线的交点处，即坐标原点是对角线的交点，
∴点C和点A关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，1），
要把抛物线上的一点由点A移到点C，就需要将抛物线向左移动4个单位，再向下移动2个单位，
∴移动后，抛物线的解析式为：，即.
故选A.
7. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【正确答案】C
【详解】连接OA，
设O的半径为r，则OC=r−3，
∵半径OD与弦AB互相垂直，AB=8，
∴AC=AB=4.
在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即r2=(r−3)2+42，解得r=.
故选：C.
8. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】C
【详解】∵二次函数的图象点（﹣1，0），
∴方程一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线对称轴为：直线x=1，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程的解为：，．
故选C．
9. 设函数（为常数），下列说确的是（ ）．
A. 对任意实数，函数与轴都没有交点
B. 存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C. 取没有同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D. 对任意实数，抛物线都必定定点
【正确答案】D
【详解】试题解析：A.
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B. ∵a=1>0,抛物线的对称轴:
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当x
C
∴抛物线的顶点为
消去k得,
由此可见,没有论k取任何实数,抛物线的顶点都满足函数
即在二次函数的图象上.故C错误；
D. 令k=1和k=0,得到方程组： 解得
将代入 得, 与k值无关,没有论k取何值,抛物线总是一个定点，故D正确.
故选D.
10. 如图，已经知为圆的直径，为半圆上一点，为半圆的中点，，垂足为，平分，交于，若，，则长为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：延长HM交AC于K.
∵AB是直径，
∵AH⊥CD，
∵HM平分∠AHC，
∴HK⊥AC，AK=KC
∴点M就是圆心，
∵AK=KC，AM=MB，
故选C.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是__________．
【正确答案】（1，0）
【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是
故答案为:
点睛：根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．
12. 从长度为2、3、5、7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能够构成三角形的概率是_________
【正确答案】
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三遍，本题只要把三边代入，看是否满足即可，把满足的个数除以4即可
【详解】长度为2、3、5、7的四条线段中任意选取三条共有：2、3、5；2、3、7；3、5、7；2、5、7，共4种情况，能够构成三角形的只有3、5、7这一种，所以概率是
本题三角形三边关系与概率计算知识点，掌握好三角形三边关系是解题关键
13. 如图所示，已知⊙是的外接圆，是⊙的直径，是⊙的弦，，则__________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=54°，
∴∠A=90°-∠ABD=36°，
∴∠BCD=∠A=36°．
考点：圆周角定理．
14. 把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为_____
【正确答案】
【分析】先求出原抛物线的顶点，然后求出绕原点旋转180°后的点，根据旋转抛物线开口大小没有变，值是开口方向改变即可得解
【详解】二次函数的图像的顶点为，绕原点旋转180°后顶点坐标变为，旋转过程中二次函数形状保持没有变，开口方向相反，所以旋转后的图象解析式为．
本题考查二次函数旋转，掌握二次函数旋转的特征是解题关键
15. 如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，、分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，．
（）当时，则的度数为__________．
（）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，当时，则的值为__________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题解析：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
如图3,当时，
中
故答案为
16. 如图，将二次函数的图像向上平移个单位得到二次函数的图像，且与二次函数的图像相交于，过作轴的平行线分别交，于点，，当时，的值是__________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵平移后的解析式为
设AC=a，则AB=2a，
∴A的横坐标为−2+a，B的横坐标为−2−a，C的横坐标为−2+2a，
∵抛物线的对称轴为
解得
∴A的横坐标为
把 代入得
代入得, 解得
故答案为
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该的概率．
【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）画树状图如右图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，
其中能使小灯泡发光的情况有6种，
小灯泡发光的概率是．
本题考查的知识点是概率的求法，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 已知：如图，在⊙中，，与相交于点，求证：．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：因为，得到可以推出它们所对的圆周角相等，即可得证.
试题解析：∵，
∴，
∴．
19. 若函数的图象与坐标轴有两个交点，求的值．
【正确答案】或或a=
【详解】试题分析：由于该函数没有说明是二次函数，故应分两种情况进行讨论．
试题解析：当，即时，函数为函数，
与坐标轴有个交点，
当时，即，函数为二次函数，
若图象与轴只有一个交点，则，
即，
，
若图象过原点，
则代入得，
∴综上所述：或或．
20. 已知：如图，内接于⊙，，是上一点（没有与点，重合），延长至点．
（）求证：平分．
（）若于点，于点，求证：．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质得 加上 则 再利用圆周角定理得到 所以
（2）作直径，连结 如图，根据垂径定理得到 则可判断是的中位线，所以 再利用圆周角定理得到，利用等角的余角相等得到 则 所以则 于是得到
试题解析：（）证明：∵
∴，
又∵，
，
∴，
即：平分．
（）证明：连结并延长交⊙于，连结，
则为直径，
∵，
∴为中点，
∴为中位线，
∴，
又∵为直径，，
∴，
∴
∴
21. 已知二次函数图象的顶点为直线与的交点．
（）用含的代数式来表示顶点的坐标．
（）当时，二次函数与的值均随的增大而增大，求的取值范围．
（）若，当取值为时，二次函数，求的取值范围．
【正确答案】(1) ; (2) m≤;(3) 0≤t≤4
【详解】试题分析：（1）已知直线和，列出方程求出 的等量关系式即可求出点的坐标；
（2）根据题意得出 解没有等式求出的取值；
（3）当时，当 时，二次函数最小值，解没有等式组即可求得．
试题分析：（）由得，
∴．
（）∵开口向上，
∴图象在对称轴右侧随增大而增大，
∴，
即．
（）∵时，，
∴抛物线有最小值，且最小值为，
∵时，二次函数最小值 ，
∴，
∴．
22. 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米．
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须没有超过多少米？
【正确答案】（1）①；②10；（2）①14.5；②．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．
【详解】解：（1）①设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
②∵要使高为3米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴EF=10米；
（2）①设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2=BC2+CW2，
∴，
解得：；
②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，
根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，
即GF2=14.52﹣13.52=28，
所以GF=，
此时宽度EF=米．
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
23. 已知，抛物线（ a≠0）原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把h=1，k=2代入得到：．由抛物线过原点，得到，从而得到结论；
（2）由抛物线点A（h，k），得到，从而有，由抛物线原点，得到，从而得到；
（3）由点A（h，k）在抛物线上，得到，故，由抛物线原点，得到，从而有；然后分两种情况讨论：①当-2≤h＜0时，②当0＜h＜1时．
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：（a≠0），
∵h=1，k=2，∴．
∵抛物线过原点，∴，∴，
∴，即；
（2）∵抛物线点A（h，k），∴，
∴，∵抛物线原点，
∴，∵h≠0，∴；
（3）∵点A（h，k）在抛物线上，∴，∴，∵抛物线原点，∴，∵h≠0，∴；
分两种情况讨论：
①当-2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：，∴；
②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：，∴；
综上所述，a的取值范围是或．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分）
1. 下列计算中错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知点，，在反比例函数图像上，下列结论中正确的是（）．
A. B. C. D.
3. 如图，直线，则为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知个负数，，，，的平均数为，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 如图，⊙的半径为，点为⊙上一点，弦于点，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形，若梯形上、下底的长分别为、，两腰长为、，被剪下的小三角形可能是（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知在，，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知实数，是方程两个根，则实数，，，的大小关系可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 若表示实数，，，中的者，设，，记，设，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
二、填 空 题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在等腰三角形中，与度数之比为，则的度数是__________．
12. 分解因式：__________．
13. 箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出2个球，恰好为1个黑球和1个红球概率是____.
14. 在中是上一点，，，，在上取一点，使与相似，则__________．
15. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____．
16. 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆半径是__________．
17. 如图，矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线点C交x轴于点E，双曲线点D，则k的值为___.
18. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若建立一个新函数，它的图象与轴仅有一个交点，则__________．
三、解 答 题（本题有8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 先化简，再求值：
，其中．
20. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及没有完整的折线统计图（如图所示），并求得了产品三次单价的平均数和方差：，．
，产品单价变化统计表：
次
第二次
第三次
产品单价（元/件）
产品单价（元/件）
，产品单价变化折线统计图
（）补全折线统计图中产品单价变化的折线图，产品第三次的单价比上的单价降低了__________．
（）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
21. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金没有低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
22. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
23. 在中，是上的动点（异于、），过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们称这种直线为过点的的相似线，简记为（为自然数）．
（）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，），此外还有__________条过点的的相似线．
（）如图②，，，截得三角形面积为面积的时，求的值．
24. 对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点没有在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
25. 阅读下面的情景对话，然后回答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
（）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（）在中，为斜边，，，，且，若是奇异三角形，求．
（）如图，是⊙直径，是⊙上一点（没有与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在⊙内存在点，使，．
①求证：是奇异三角形．
②当是直角三角形时，求的度数．
26. 如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点．
（）求抛物线的函数解析式．
（）证明：．
（）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分）
1. 下列计算中错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】．
故选C．
2. 已知点，，在反比例函数图像上，下列结论中正确的是（）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴反比例函数图像在二、四象限单调递增，
∴．
故选B．
3. 如图，直线，则为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】如图，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选．
4. 已知个负数，，，，的平均数为，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】D
【详解】∵，，，，的平均数为，
∴，，，，，的平均数为，
有∵，
∴其中位数为．
故选．
5. 如图，⊙的半径为，点为⊙上一点，弦于点，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，，，
∴在中，，
∴，
∴．
故选B．
6. 如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形，若梯形上、下底的长分别为、，两腰长为、，被剪下的小三角形可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，∵，
∴，
∴，设，，
∴，
∴，，
∴，．
故选B．
7. 已知在，，，设，当是最小的内角时，的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵为最小内角，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴即．
故选．
8. 已知实数，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵，
，，
又∵，
，，
若，，根据图像可得．
故选．
9. 若表示实数，，，中的者，设，，记，设，，若，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵，，
∴，
如图，
令，，，
当时．
故选．
10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【详解】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x轴交于点N，
∵B（3，），
∴OA=3，AB=，
∴OB=2，
∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，
∴AM=1.5，∠OAM=60°，
∴∠ADN=30°，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，
∴AN=1.5，DN=，
∴CN=3－－15=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（）2=，
∴CD=.
故选B.
本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后角30°以及勾股定理计算.
二、填 空 题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11. 在等腰三角形中，与度数之比为，则的度数是__________．
【正确答案】或
【详解】∵为等腰三角形，，
∴或，
∴或．
12. 分解因式：__________．
【正确答案】
【详解】．
13. 箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出2个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是____.
【正确答案】
【详解】试题分析：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，
故答案为；．
考点：列表法与树状图法．
14. 在中是上一点，，，，在上取一点，使与相似，则__________．
【正确答案】或
【详解】如图①∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
图②∵，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
15. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=____．
【正确答案】##
【详解】如图，连接AC、EF，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=DO=BD=x，
在Rt△EDH中，EH=DH=x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG===，
所以，==，
故答案为．
．
16. 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是__________．
【正确答案】25
【详解】取中点，作，交于，
∵，
∴等腰梯形，
∴，
又∵，，，
∴垂直平分，，
∴在上，
∵，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴外接圆的半径为．
17. 如图，矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线点C交x轴于点E，双曲线点D，则k的值为___.
【正确答案】1
【详解】∵BC=1，∴点C的纵坐标是y=1．
∵直线点C，∴，解得，x=4．∴点C的坐标是（4，1）．
∵矩形ABCD在象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，∴D（1，1）．
∵双曲线点D，∴k=xy=1×1=1，即k值为1．
故答案是：1
18. 设二次函数的图象与函数的图象交于点，若建立一个新函数，它的图象与轴仅有一个交点，则__________．
【正确答案】2017
【详解】
，
∵，，，
∴，，
∵与轴仅有一个交点，
∴的图像与轴的交点为，
∴，
∴．
点睛：本题主要考查二次函数的性质，根据条件求出函数y＝y₂＋y₁的表达式是解决本题的关键．
三、解 答 题（本题有8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 先化简，再求值：
，其中．
【正确答案】2
【详解】试题分析：先根据零次幂，值，三角函数以及分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x=2017代入原式进行计算即可．
试题解析：
解：
．
20. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及没有完整的折线统计图（如图所示），并求得了产品三次单价的平均数和方差：，．
，产品单价变化统计表：
次
第二次
第三次
产品单价（元/件）
产品单价（元/件）
，产品单价变化折线统计图
（）补全折线统计图中产品单价变化的折线图，产品第三次的单价比上的单价降低了__________．
（）求产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
【正确答案】（）补图见解析，；（），产品的单价波动小．
【详解】试题分析：（1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；
（2）分别计算平均数及方差即可；
试题解析：
解：（）如图，．
（），
，
，
∴产品的单价波动小．
21. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金没有低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【正确答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列没有等式求解即可．
【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=05或x=﹣2.5（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
考点：一元二次方程的应用；一元没有等式的应用.
22. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．
【详解】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF．
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°．∴∠COD+∠COF=90°．
∴∠DOF=90°．
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）．
∴OD⊥AC，AD=DC ∴∠CDO=90°．
∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°．
∴四边形CDOF是矩形．
（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：
∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC．
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形．
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．
23. 在中，是上的动点（异于、），过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们称这种直线为过点的的相似线，简记为（为自然数）．
（）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，），此外还有__________条过点的的相似线．
（）如图②，，，截得的三角形面积为面积的时，求的值．
【正确答案】解：（）存在另外1条相似线，（）①；②；③；④．
【详解】试题分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意没有要遗漏．
试题解析：
解：（）存在另外条相似线，
过作．
（）如图：
①第条，，
∴．
②第条，，
∴．
③第条，，
∴．
④第条，，
∴，
∴．
24. 对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点没有在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
【正确答案】（1）（2，2）；（3，4）；
（2）① ：是直角三角形；理由见详解；② ：B（5，8），n=4．
【分析】（1）根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；
（2）①、连接CM，根据和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；②、延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为（1，0），
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为（2，2），
∴点A经2次平移后得到的点的坐标为（3，4）；
【小问2详解】
解：①连接CM，如图1：
由对称可知，AM=BM， 由轴对称可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：
∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形， 由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为（13，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
C，E点在直线上，可得：， 解得：，
∴y=﹣x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．
本题考查几何变换问题，关键是根据对称和轴对称的性质及直角三角形的性质，进行判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式再求点的坐标．
25. 阅读下面的情景对话，然后回答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
（）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（）在中，为斜边，，，，且，若是奇异三角形，求．
（）如图，是⊙的直径，是⊙上一点（没有与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在⊙内存在点，使，．
①求证：是奇异三角形．
②当是直角三角形时，求的度数．
【正确答案】（）真命题；（）；（）①证明见解析；②的度数为或．
【详解】试题分析：（1）根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；
（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义；
（3）先根据勾股定理得出Rt△ABC各边之间的关系，再根据此三角形是奇异三角形可用a表示出b、c的值，即可得出结果．
试题解析：
解：（）设等边三角形的一边为，则，
∴符合奇异三角形的定义，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．
（）∵，
则①，
∵是奇异三角形，且，
∴②，
由①②得：，，
∴．
（）①∵为直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵点是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴是奇异三角形．
②由①可得是奇异三角形，
∴，
当是直角三角形时，
由（）得：或，
当时，
∴ ，，
∵，
∴，
当时，同理可得，．
∴的度数为或．
点睛：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形思想的应用．
26. 如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点．
（）求抛物线的函数解析式．
（）证明：．
（）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（）；（）证明见解析；（）存在，符合条件的点坐标为或或或或．
【详解】试题分析：（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出结论；
（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
试题解析：
解：（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵该抛物线与轴交，两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
（）由（）可得，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵与轴交于点，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴．
（）存在，设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形．
①当时，
∴，得，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∴或．
③当时，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的点坐标为或或或或．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．
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