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2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2＋＝0 B. y2－2x＋1＝0
C. x2－5x＝2 D. x2－2＝(x＋1)2
2. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
5. 下列语句中，正确有（ ）
A. 在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
7. 将抛物线向左移动2个单位，再向上移动3个单位后，抛物线的顶点为（ ）
A. （-2,3） B. （2,3） C. （2,-3） D. （-2,-3）
8. 在同一坐标系中，函数与二次函数图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为( )
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论的个数是( )．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
11. 若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．
12. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
15. 已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1_____y2．
16. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_________．
17. 袋中装有6个黑球和n个白球，若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
18. 已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果保留π）
19. 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC=3：2，则CD的长为______．
20. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分.）
21. 解方程：
（1）2x2+3x+1=0 (2)4(x＋2)2－9(x－3)2＝0；
22. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）
23. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
24. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的值．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2＋＝0 B. y2－2x＋1＝0
C. x2－5x＝2 D. x2－2＝(x＋1)2
【正确答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的指数是2的整式方程,即可进行判定,
【详解】A选项,x2＋＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,没有符合题意,
B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,没有是一元二次方程,没有符合题意,
C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,
D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元方程,没有符合题意,
故选C.
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
2. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】在平面内，将一个图形绕着某个点旋转180°之后，如果能与原图形完全重合， 则这个图形就是对称图形．
【详解】根据定义可得：A、B、D是对称图形，C选项没有是对称图形，
故选C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
【正确答案】D
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
【正确答案】C
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．
【详解】连接OC，如图，
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故选C．
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
5. 下列语句中，正确的有（ ）
A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【正确答案】A
【详解】试题分析：平分弦(没有是直径)的直径垂直于弦，故B错误；长度和度数都相等的两条弧相等，故C错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故D错误；则本题选A．
6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】C
【分析】关于x的方程可以是一元方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数没有为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．
【详解】当k=0时，方程为3x-1=0，有实数根，
当k≠0时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥0，
解得k≥-．
综上可知，当k≥-时，方程有实数根；
故选C．
本题考查了方程有实数根含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记没有要忽略一元二次方程二次项系数没有为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
7. 将抛物线向左移动2个单位，再向上移动3个单位后，抛物线的顶点为（ ）
A. （-2,3） B. （2,3） C. （2,-3） D. （-2,-3）
【正确答案】A
【详解】试题分析：将二次函数配方可得：，则平移后的函数解析式为：，则函数的顶点坐标为(-2，3)，故选A．
点睛：点睛：本题主要考查的就是二次函数的平移法则，属于简单题型．函数的平移法则为：左加右减，上加下减．在函数平移时，如果题目中出现的是一般式，我们一般先将一般式转化为顶点式，然后再进行平移．有些题目是已知平移后的解析式，然后求平移前的解析式，对于这种题目我们需要反过来进行思考(如果题目中是向左平移，则我们需要进行向右平移)，从而根据平移法则得出函数解析式．
8. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．函数的图象．
9. 如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可．
详解】解：绕点旋转得到△，
△，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积．
故选：．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论的个数是( )．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】C
【详解】试题分析：①、函数与x轴有两个没有同的交点，则，即，正确；②、对称轴为直线x=-1，则，则2a-b=0，错误；③、根据对称性可得：x=1时和x=-3时的函数值相等，则a+b+c=0，错误；④、对于开口向下的函数，离对称轴越远，则函数值越小，根据题意可知，正确．则本题中正确的有两个，故选C．
点睛：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左边； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右边（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△==0时，抛物线与x轴有1个交点；△=＜0时，抛物线与x轴没有交点．对于2a+b或2a-b就比较对称轴与1或-1的大小．对于a+b+c就看x=1的函数值；对于a-b+c就看x=-1的函数值．
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
11. 若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．
【正确答案】﹣2
【详解】试题分析：一元二次方程是指：只含有一个未知数，且未知数次数为2次的整式方程．根据定义可得：，解得：m=-2．
12. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【正确答案】12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
【正确答案】﹣4
【详解】试题分析：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
考点：关于原点对称的点的坐标．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
15. 已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1_____y2．
【正确答案】y1 ﹤ y2
【详解】试题分析：将x=-1代入解析式可得：，将x=-2代入解析式可得：，则．
16. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_________．
【正确答案】289（1﹣x）2=256
【详解】试题分析：对于降价率的问题的一般公式为：降价前的数字×(1-降价率)降价次数=降价后的数字，故本题的．
17. 袋中装有6个黑球和n个白球，若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
【正确答案】2
【详解】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴，
解得：n=2．
故答案为2．
18. 已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果保留π）
【正确答案】300π．
【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的侧面积即可．
【详解】∵圆锥的底面直径长是20cm，
∴其底面周长为20πcm，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的侧面积为：lr＝×20π×30＝300π，
故300π．
本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
19. 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC=3：2，则CD的长为______．
【正确答案】20cm
【详解】试题分析：∵OM：MC=3：2，
∴可设OM=3x，CM=2x，则AO=5x，
∵AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，
∴AM=8cm，
连接AO，则Rt△AOM中，（3x）2+82=（5x）2，
解得x=2，
∴OC=6+4=10cm，
∴CD=20cm
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
20. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
【正确答案】－3＜x＜1
【详解】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），图象求出y＞0时，x的范围．
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
考点：二次函数的图象．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分.）
21. 解方程：
（1）2x2+3x+1=0 (2)4(x＋2)2－9(x－3)2＝0；
【正确答案】（1）x1=﹣0.5，x2=﹣1； (2)x1＝1，x2＝13
【详解】试题分析：(1)、首先利用十字相乘法进行因式分解，从而得出方程的解；(2)、首先利用平方差公式进行因式分解，然后得出方程的解．
试题解析：解：(1)、分解因式得：（2x+1）（x+1）=0， 可得2x+1=0或x+1=0，
解得：x1=﹣0.5，x2=﹣1；
(2)、利用平方差公式进行因式分解可得：[2(x+2)+3(x-3)] [2(x+2)-3(x-3)]=0，
化简后得：(5x-5)(-x+13)=0， 则5x-5=0或-x+13=0，
解得：．
22. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）
【正确答案】作图见解析.
【详解】试题分析：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．
23. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣．
【分析】（1）欲证明方程总有两个没有相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；
（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.
【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）
=a2+6a+9﹣4a﹣4
=a2+2a+5
=（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个没有相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，
∵x12+x22=10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，
整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.
24. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）公平．理由见解析.
【详解】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．
试题解析：（1）列表得：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）=；
（2）公平．
∵P（乙获胜）=，P（甲获胜）=．∴P（乙获胜）= P（甲获胜），∴游戏公平．
考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
【正确答案】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2.②S阴影= .
【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；
（2）设⊙O半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．
【详解】（1）相切．
理由如下：
如图，连接OD
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC.
又∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切
（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，
∵AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，OB＝2OD.又OA＝OD＝r，
∴OB＝2r，
∴2r＋r＝6，
解得r＝2，
即⊙O的半径是2
②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，
S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π
26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的值．
【正确答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的值为.
【分析】（1）由点与点关于直线对称可求得点的坐标；
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式，设点的坐标为，则点到的距离为．然后依据列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
②先求得直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，然后可得到与的函数的关系，利用配方法求得的值即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点的坐标为，
点的坐标为．
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．
将代入得，
点的坐标为．
．
点的坐标为，
．
设点的坐标为，则点到的距离为．
，
，即，解得．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
点的坐标为或．
②如图所示：
设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为．
，
当时，有值，的值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题的关键是主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段的长与点横坐标之间的函数关系是解题的关键．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、单 选 题（共10题；共30分）
1. 在一个没有透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的可能性为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的旋转80°后，则新图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知一个函数图象（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A. 正比例函数 B. 函数 C. 反比例函数 D. 二次函数
6. 在一个没有透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”，这一是（）
A. 必然 B. 没有可能 C. 随机 D. 确定
7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）
A. 3 B. 4 C. 12 D. 16
9. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
10. ⊙O的内接正三角形的边长等于，则⊙O的面积等于（ ）
A 27π B. π C. 9π D. π
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就没有可能发生 ________（填“正确”或“错误”）
12. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．
14. 二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的值和最小值分别是_____
15. 将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________.
16. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．
①弧AB=弧AC； ②∠ACD=105°； ③AB＜BE； ④△AEC∽△ACD．
17. 如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为_____cm．
18. 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，=n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=________，n=________．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 解方程组：．
20. 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c点A，B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，函数的图象，求a的取值范围.
21. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF＝∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（没有要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．
23. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0．
24. 小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果没有对，请说明理由并改正.
四、综合题（共10分）
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、单 选 题（共10题；共30分）
1. 在一个没有透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的可能性为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【详解】解：∵共有4个球，红球有1个，
∴摸出的球是红球的可能性是．
故选C．
2. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由AB是⊙O的直径，推出∠ADB=90°，再由∠ABD=58°，求出∠A=32°，根据圆周角定理推出∠C=32°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠C=32°．
故选：D．
本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A的度数，正确的运用圆周角定理．
3. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的旋转80°后，则新图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据等边三角形的性，重叠部分为正六边形，四周空白部分的小三角形是等边三角形，从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差．
根据旋转的性质可知，外围露出的白色三角形是边长为1的等边三角形．
而边长为3的正三角形的面积是，一个边长为1的等边三角形面积是，
所以重叠部分的面积为，
故选A.
考点：本题考查的是旋转的性质
点评：解答本题的关键是掌握好旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转的距离相等以及每一对对应点与旋转连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转；②旋转方向；③旋转角度．
4. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
详解】解：如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
5. 已知一个函数图象（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A. 正比例函数 B. 函数 C. 反比例函数 D. 二次函数
【正确答案】D
【详解】解：根据题意，可设这个函数为y=kx+b，代入（1，﹣4），（2，﹣2）
可得，解得，
由k＞0，可知y随x的增大而增大，故A、B错误；
设反比例函数y=，代入其中一点，可得k=-4＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，故C错误；
当抛物线开口向上，x＞1，y随x的增大而减小.
故选D.
6. 在一个没有透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”，这一是（）
A. 必然 B. 没有可能 C. 随机 D. 确定
【正确答案】B
【详解】根据没有可能的概念即没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，由袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，可知从中任意摸出3个球，它们的颜色相同是没有可能；
故选：B．
点睛：此题主要考查了随机的发生的可能性，解题关键是掌握没有可能的概念，没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，由此解答即可.
7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△==，
解得m≥1，
故选C．
本题考查一元二次方程根的判别式．
8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）
A. 3 B. 4 C. 12 D. 16
【正确答案】D
【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，由题意可得 ，解得，a=16个．
故选D.
点睛：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
9. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【正确答案】B
【详解】∵点P（a，c）在第二象限，
∴a<0,c>0,
∴ac<0,
∴b2-4ac>0,
∴方程有两个没有相等的实数根
故选B.
10. ⊙O的内接正三角形的边长等于，则⊙O的面积等于（ ）
A. 27π B. π C. 9π D. π
【正确答案】C
【详解】如图，根据圆内接正三角形的特点，可知cos30°=，由此解得r=，所以圆的面积为9π.
故选C
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就没有可能发生 ________（填“正确”或“错误”）
【正确答案】错误
【详解】根据发生的可能性可知，如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就有可能发生，故答案错误.
故答案为错误.
12. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
【正确答案】44π
【详解】三角形与各圆重叠部分面积之和==；
四边形与各圆重叠部分面积之和==π；
…….所以
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．
【正确答案】105
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
14. 二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的值和最小值分别是_____
【正确答案】5，1．
【详解】试题分析：先把解析式配成顶点式得到y=（x+2）2+1，由于﹣3≤x≤0，根据二次函数的性质得x=0时，y的值；当x=﹣2时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
试题解析：y=（x+2）2+1，
当x=﹣2时，y有最小值1，
∵﹣3≤x≤0，
∴x=0时，y的值，值为5；当x=﹣2时，y有最小值1，
故答案为5，1．
考点: 二次函数的最值．
15. 将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________.
【正确答案】y=（x+1）2﹣2
【详解】根据二次函数的平移，“上加下减，左加右减”，可得新抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2.
故答案为y=（x+1）2﹣2.
16. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．
①弧AB=弧AC； ②∠ACD=105°； ③AB＜BE； ④△AEC∽△ACD．
【正确答案】①、②、④
【详解】根据垂径定理、圆周角与圆心角的关系，可知①半径OA⊥弦BC，根据垂径定理，，故本选项正确；
②∵∠AOB=60°，，∴∠ACB=∠CDA=30°，
又∵DC=DE，∴∠DCE==75°，
故∠ACD=30°+75°=105°，故本选项正确；
③∵∠BAD=∠DCB，∠DEB=∠BEA，
又∵∠BEA=∠CEB，
∴∠BAD=∠BEA，
∴AB=BE，故本选项错误；
④∵∠ACB=30°，∠ADC=30°，
∴∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，故本选项正确．
故答案为①②④．
点睛：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，是一道综合性题目，难度没有大，得出∠AOB=∠AOC是解题的关键．
17. 如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为_____cm．
【正确答案】π
【详解】试题分析：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠EAC=30°，再利用弧长公式计算即可．
试题解析：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
∴AB=AO=BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°-90°=30°，
∵AD=AB=6，
∴点D运动的路径长为：=π．
考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．
18. 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，=n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=________，n=________．
【正确答案】 ①. 72° ②.
【详解】由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得n= ．
点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 解方程组：．
【正确答案】 或 ．
【分析】利用代入消元法将方程①转化为关于y的一元二次方程，求解后则可分别求出x的值.
【详解】解：，
由②得，③，
将③代入①，得，
即，
解得：或，
当时，，
当时，；
原方程组的解为 或 ．
本题考查了二元二次方程组，掌握利用代入消元法进行求解是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c点A，B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，函数的图象，求a的取值范围.
【正确答案】（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3）
【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）；
（2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标；
（3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论．
【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3，
∴A（3，2），
∵AB关于x＝1对称，
∴B（－1，2）．
（2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得，
所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a＝2，
，
代入B（－1，2）则a＝2
∴．
21. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF＝∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根据∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出结论；
（2）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB可知
试题解析:（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB，
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°
∴直线CF为⊙O的切线，
（2）∵AB是⊙O 直径
∴∠ACB=90°
∵DC⊥AB
∴
∴BC=BD，∠A=∠D
∴
考点: 1.切线的判定；2.圆周角定理；3.解直角三角形.
22. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（没有要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．
【正确答案】（1）a=﹣1，b=3；（2）d=；（3）R（2，6），AM=6．
【详解】试题分析：（1）将x=0代入求得y=4，从而得到点A的坐标为（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（-1，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a=-1，b=3；
（2）作⊥x轴于点K．由题意可知△AOC为等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可证明∠EDC=45°，从而得到△PDK为等腰直角三角形，故此=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由锐角三角函数的定义可知，从而得到，由d=DK-GK可求得；
（3）如图2所示：过点P作⊥x轴，垂足为K，交于AC与N．由题意可知：，设点P的坐标为（x，y），由△NKC为等腰直角三角形可知CK=NK=4-x，由PN=-KN可知PN=y-4+x，由△PEN为等腰三角三角形可知PE=，由△PBK为等腰直角三角形可知PD=，从而可得P坐标，从而得到D点坐标，然后由△BOH为等腰直角三角形，可求得AH，从而求解．
试题解析：解：（1）y=ax2+bx+4，当x=0时，y=4，∴A（0，4）．
∵OC=OA=4OB，∴OC=4，OB=1，∴C（4，0），B（﹣1，0）．
将C（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx+4，得：，解得：，∴a=﹣1，b=3．
（2）如图1，作⊥x轴于点K．
∵a=﹣1 b=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．
设点P坐标为（x，y）．∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵AC⊥PD，∴∠EDC=45°，∵⊥x轴，∴△PDK为等腰直角三角形，∴=DK=y，∵AB∥PG，∴∠ABO=∠PGK，∵tan∠ABO= =4，∴tan∠PGK= =4，∴GK= = y，∴d=DK﹣GK=y﹣y= y，将y=﹣x2+3x+4代入得：d= （﹣x2+3x+4），即d=；
（3）如图2所示：过点P作⊥x轴，垂足为K，交于AC与N．
∵，∴．
设点P的坐标为（x，y）．
∵CK=NK=4﹣x，∴PN=y﹣4+x，∴PE= PN= （y-4+x），PD= = y，∴，．
将y=﹣x2+3x+4代入得：．
整理得：x2﹣7x+12=0．
解得：x1=3，x2=4（舍去），∴P（3，4）
∵DK==4，∴D（﹣1，0），∴点D、B重合．
∵△BOH为等腰直角三角形，∴OH=OB=1，∴AH=3．
如图3所示：∠RAS=90°时．
设点R（a，﹣a2+3a+4）．
∵△ARS为等腰直角三角形，∴∠RAS=90°，∠ARS=45°．
∵AP∥x轴，∴∠PAC=∠ACO=45°，∴∠RAP=45°，∴RS⊥AM，∴AL=LS，AL=LR，∴a=﹣a2+3a+4﹣4，∴a=2，∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M= ，在Rt△AHM中tan∠M= ，∴= ，∴，∴LM=4，∴AM=6．
当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS没有能构成等腰直角三角形．
综上所述，AM的长为6．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、锐角三角函数值、锐角三角函数的定义，根据等腰直角三角形的性质列出关于x和LM的方程是解题的关键．
23. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0．
【正确答案】（1）换元；（2）x1=，x2=．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，
答：换元；
（2）设x2+3x=y，原方程可化为y2+5y－6=0，
解得y1=1，y2=－6．
由x2+3x=1，得x1=，x2=．
由x2+3x=－6，得方程x2+3x+6=0，
△=9－4×6=－15<0，此方程无解．
所以原方程的解为x1=，x2=．
本题考查了利用换元法解一元二次方程，以及解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握换元思想的应用．
24. 小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果没有对，请说明理由并改正.
【正确答案】没有对，理由见解析
【详解】试题分析：根据负数是没有平方根的可判定这一步是错误的，根据二次根式的除法法则计算即可.
试题解析：
没有对
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是
正确化简过程是：
点睛：本题考查了二次根式的除法法则，注意的前提条件是.
四、综合题（共10分）
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
【正确答案】（1）证明见解析（2）6
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PBOC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2＋＝0 B. y2－2x＋1＝0
C. x2－5x＝2 D. x2－2＝(x＋1)2
2. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
5. 下列语句中，正确有（ ）
A. 在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
7. 将抛物线向左移动2个单位，再向上移动3个单位后，抛物线的顶点为（ ）
A. （-2,3） B. （2,3） C. （2,-3） D. （-2,-3）
8. 在同一坐标系中，函数与二次函数图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为( )
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论的个数是( )．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
11. 若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．
12. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
15. 已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1_____y2．
16. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_________．
17. 袋中装有6个黑球和n个白球，若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
18. 已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果保留π）
19. 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC=3：2，则CD的长为______．
20. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分.）
21. 解方程：
（1）2x2+3x+1=0 (2)4(x＋2)2－9(x－3)2＝0；
22. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）
23. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
24. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的值．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2＋＝0 B. y2－2x＋1＝0
C. x2－5x＝2 D. x2－2＝(x＋1)2
【正确答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的指数是2的整式方程,即可进行判定,
【详解】A选项,x2＋＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,没有符合题意,
B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,没有是一元二次方程,没有符合题意,
C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,
D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元方程,没有符合题意,
故选C.
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
2. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】在平面内，将一个图形绕着某个点旋转180°之后，如果能与原图形完全重合， 则这个图形就是对称图形．
【详解】根据定义可得：A、B、D是对称图形，C选项没有是对称图形，
故选C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
【正确答案】D
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
【正确答案】C
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．
【详解】连接OC，如图，
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故选C．
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
5. 下列语句中，正确的有（ ）
A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 长度相等的两条弧相等 D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【正确答案】A
【详解】试题分析：平分弦(没有是直径)的直径垂直于弦，故B错误；长度和度数都相等的两条弧相等，故C错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故D错误；则本题选A．
6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】C
【分析】关于x的方程可以是一元方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数没有为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．
【详解】当k=0时，方程为3x-1=0，有实数根，
当k≠0时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥0，
解得k≥-．
综上可知，当k≥-时，方程有实数根；
故选C．
本题考查了方程有实数根含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记没有要忽略一元二次方程二次项系数没有为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
7. 将抛物线向左移动2个单位，再向上移动3个单位后，抛物线的顶点为（ ）
A. （-2,3） B. （2,3） C. （2,-3） D. （-2,-3）
【正确答案】A
【详解】试题分析：将二次函数配方可得：，则平移后的函数解析式为：，则函数的顶点坐标为(-2，3)，故选A．
点睛：点睛：本题主要考查的就是二次函数的平移法则，属于简单题型．函数的平移法则为：左加右减，上加下减．在函数平移时，如果题目中出现的是一般式，我们一般先将一般式转化为顶点式，然后再进行平移．有些题目是已知平移后的解析式，然后求平移前的解析式，对于这种题目我们需要反过来进行思考(如果题目中是向左平移，则我们需要进行向右平移)，从而根据平移法则得出函数解析式．
8. 在同一坐标系中，函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．函数的图象．
9. 如图，将绕点按顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形的面积为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可．
详解】解：绕点旋转得到△，
△，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积．
故选：．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论的个数是( )．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】C
【详解】试题分析：①、函数与x轴有两个没有同的交点，则，即，正确；②、对称轴为直线x=-1，则，则2a-b=0，错误；③、根据对称性可得：x=1时和x=-3时的函数值相等，则a+b+c=0，错误；④、对于开口向下的函数，离对称轴越远，则函数值越小，根据题意可知，正确．则本题中正确的有两个，故选C．
点睛：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左边； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右边（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△==0时，抛物线与x轴有1个交点；△=＜0时，抛物线与x轴没有交点．对于2a+b或2a-b就比较对称轴与1或-1的大小．对于a+b+c就看x=1的函数值；对于a-b+c就看x=-1的函数值．
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
11. 若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．
【正确答案】﹣2
【详解】试题分析：一元二次方程是指：只含有一个未知数，且未知数次数为2次的整式方程．根据定义可得：，解得：m=-2．
12. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【正确答案】12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
【正确答案】﹣4
【详解】试题分析：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
考点：关于原点对称的点的坐标．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
15. 已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1_____y2．
【正确答案】y1 ﹤ y2
【详解】试题分析：将x=-1代入解析式可得：，将x=-2代入解析式可得：，则．
16. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_________．
【正确答案】289（1﹣x）2=256
【详解】试题分析：对于降价率的问题的一般公式为：降价前的数字×(1-降价率)降价次数=降价后的数字，故本题的．
17. 袋中装有6个黑球和n个白球，若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
【正确答案】2
【详解】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴，
解得：n=2．
故答案为2．
18. 已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果保留π）
【正确答案】300π．
【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的侧面积即可．
【详解】∵圆锥的底面直径长是20cm，
∴其底面周长为20πcm，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的侧面积为：lr＝×20π×30＝300π，
故300π．
本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
19. 如图，已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC=3：2，则CD的长为______．
【正确答案】20cm
【详解】试题分析：∵OM：MC=3：2，
∴可设OM=3x，CM=2x，则AO=5x，
∵AB是⊙O的弦且AB=16cm，AB⊥CD，
∴AM=8cm，
连接AO，则Rt△AOM中，（3x）2+82=（5x）2，
解得x=2，
∴OC=6+4=10cm，
∴CD=20cm
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
20. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
【正确答案】－3＜x＜1
【详解】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），图象求出y＞0时，x的范围．
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
考点：二次函数的图象．
三、解 答 题（本大题共6小题，共60分.）
21. 解方程：
（1）2x2+3x+1=0 (2)4(x＋2)2－9(x－3)2＝0；
【正确答案】（1）x1=﹣0.5，x2=﹣1； (2)x1＝1，x2＝13
【详解】试题分析：(1)、首先利用十字相乘法进行因式分解，从而得出方程的解；(2)、首先利用平方差公式进行因式分解，然后得出方程的解．
试题解析：解：(1)、分解因式得：（2x+1）（x+1）=0， 可得2x+1=0或x+1=0，
解得：x1=﹣0.5，x2=﹣1；
(2)、利用平方差公式进行因式分解可得：[2(x+2)+3(x-3)] [2(x+2)-3(x-3)]=0，
化简后得：(5x-5)(-x+13)=0， 则5x-5=0或-x+13=0，
解得：．
22. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）
【正确答案】作图见解析.
【详解】试题分析：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．
23. 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣．
【分析】（1）欲证明方程总有两个没有相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；
（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.
【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）
=a2+6a+9﹣4a﹣4
=a2+2a+5
=（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个没有相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，
∵x12+x22=10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，
整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.
24. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.
【正确答案】（1）；（2）公平．理由见解析.
【详解】试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．
试题解析：（1）列表得：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）=；
（2）公平．
∵P（乙获胜）=，P（甲获胜）=．∴P（乙获胜）= P（甲获胜），∴游戏公平．
考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
【正确答案】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2.②S阴影= .
【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；
（2）设⊙O半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．
【详解】（1）相切．
理由如下：
如图，连接OD
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC.
又∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切
（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，
∵AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，OB＝2OD.又OA＝OD＝r，
∴OB＝2r，
∴2r＋r＝6，
解得r＝2，
即⊙O的半径是2
②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，
S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π
26. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，点为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的值．
【正确答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的值为.
【分析】（1）由点与点关于直线对称可求得点的坐标；
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式，设点的坐标为，则点到的距离为．然后依据列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
②先求得直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，然后可得到与的函数的关系，利用配方法求得的值即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点的坐标为，
点的坐标为．
（2）①将点和点的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：，，
抛物线的解析式为．
将代入得，
点的坐标为．
．
点的坐标为，
．
设点的坐标为，则点到的距离为．
，
，即，解得．
当时，点的坐标为；
当时，点的坐标为．
点的坐标为或．
②如图所示：
设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为．
，
当时，有值，的值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题的关键是主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段的长与点横坐标之间的函数关系是解题的关键．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、单 选 题（共10题；共30分）
1. 在一个没有透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的可能性为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的旋转80°后，则新图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知一个函数图象（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A. 正比例函数 B. 函数 C. 反比例函数 D. 二次函数
6. 在一个没有透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”，这一是（）
A. 必然 B. 没有可能 C. 随机 D. 确定
7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）
A. 3 B. 4 C. 12 D. 16
9. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
10. ⊙O的内接正三角形的边长等于，则⊙O的面积等于（ ）
A 27π B. π C. 9π D. π
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就没有可能发生 ________（填“正确”或“错误”）
12. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．
14. 二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的值和最小值分别是_____
15. 将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________.
16. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．
①弧AB=弧AC； ②∠ACD=105°； ③AB＜BE； ④△AEC∽△ACD．
17. 如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为_____cm．
18. 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，=n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=________，n=________．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 解方程组：．
20. 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c点A，B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，函数的图象，求a的取值范围.
21. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF＝∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（没有要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．
23. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0．
24. 小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果没有对，请说明理由并改正.
四、综合题（共10分）
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
2022-2023学年福建省三明市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、单 选 题（共10题；共30分）
1. 在一个没有透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的可能性为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【详解】解：∵共有4个球，红球有1个，
∴摸出的球是红球的可能性是．
故选C．
2. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由AB是⊙O的直径，推出∠ADB=90°，再由∠ABD=58°，求出∠A=32°，根据圆周角定理推出∠C=32°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠C=32°．
故选：D．
本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A的度数，正确的运用圆周角定理．
3. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的旋转80°后，则新图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据等边三角形的性，重叠部分为正六边形，四周空白部分的小三角形是等边三角形，从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差．
根据旋转的性质可知，外围露出的白色三角形是边长为1的等边三角形．
而边长为3的正三角形的面积是，一个边长为1的等边三角形面积是，
所以重叠部分的面积为，
故选A.
考点：本题考查的是旋转的性质
点评：解答本题的关键是掌握好旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转的距离相等以及每一对对应点与旋转连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转；②旋转方向；③旋转角度．
4. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D
详解】解：如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
5. 已知一个函数图象（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A. 正比例函数 B. 函数 C. 反比例函数 D. 二次函数
【正确答案】D
【详解】解：根据题意，可设这个函数为y=kx+b，代入（1，﹣4），（2，﹣2）
可得，解得，
由k＞0，可知y随x的增大而增大，故A、B错误；
设反比例函数y=，代入其中一点，可得k=-4＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，故C错误；
当抛物线开口向上，x＞1，y随x的增大而减小.
故选D.
6. 在一个没有透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出3个球，它们的颜色相同”，这一是（）
A. 必然 B. 没有可能 C. 随机 D. 确定
【正确答案】B
【详解】根据没有可能的概念即没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，由袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中黄球2个，红球1个，白球2个，可知从中任意摸出3个球，它们的颜色相同是没有可能；
故选：B．
点睛：此题主要考查了随机的发生的可能性，解题关键是掌握没有可能的概念，没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的，由此解答即可.
7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△==，
解得m≥1，
故选C．
本题考查一元二次方程根的判别式．
8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）
A. 3 B. 4 C. 12 D. 16
【正确答案】D
【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，由题意可得 ，解得，a=16个．
故选D.
点睛：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
9. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【正确答案】B
【详解】∵点P（a，c）在第二象限，
∴a<0,c>0,
∴ac<0,
∴b2-4ac>0,
∴方程有两个没有相等的实数根
故选B.
10. ⊙O的内接正三角形的边长等于，则⊙O的面积等于（ ）
A. 27π B. π C. 9π D. π
【正确答案】C
【详解】如图，根据圆内接正三角形的特点，可知cos30°=，由此解得r=，所以圆的面积为9π.
故选C
二、填 空 题（共8题；共24分）
11. 判断下面的说法：如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就没有可能发生 ________（填“正确”或“错误”）
【正确答案】错误
【详解】根据发生的可能性可知，如果一件事发生的可能性为百万分之一，那么它就有可能发生，故答案错误.
故答案为错误.
12. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
【正确答案】44π
【详解】三角形与各圆重叠部分面积之和==；
四边形与各圆重叠部分面积之和==π；
…….所以
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．
【正确答案】105
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
14. 二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的值和最小值分别是_____
【正确答案】5，1．
【详解】试题分析：先把解析式配成顶点式得到y=（x+2）2+1，由于﹣3≤x≤0，根据二次函数的性质得x=0时，y的值；当x=﹣2时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
试题解析：y=（x+2）2+1，
当x=﹣2时，y有最小值1，
∵﹣3≤x≤0，
∴x=0时，y的值，值为5；当x=﹣2时，y有最小值1，
故答案为5，1．
考点: 二次函数的最值．
15. 将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________.
【正确答案】y=（x+1）2﹣2
【详解】根据二次函数的平移，“上加下减，左加右减”，可得新抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2.
故答案为y=（x+1）2﹣2.
16. 如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________ （多填或错填得0分，少填酌情给分）．
①弧AB=弧AC； ②∠ACD=105°； ③AB＜BE； ④△AEC∽△ACD．
【正确答案】①、②、④
【详解】根据垂径定理、圆周角与圆心角的关系，可知①半径OA⊥弦BC，根据垂径定理，，故本选项正确；
②∵∠AOB=60°，，∴∠ACB=∠CDA=30°，
又∵DC=DE，∴∠DCE==75°，
故∠ACD=30°+75°=105°，故本选项正确；
③∵∠BAD=∠DCB，∠DEB=∠BEA，
又∵∠BEA=∠CEB，
∴∠BAD=∠BEA，
∴AB=BE，故本选项错误；
④∵∠ACB=30°，∠ADC=30°，
∴∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，故本选项正确．
故答案为①②④．
点睛：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，是一道综合性题目，难度没有大，得出∠AOB=∠AOC是解题的关键．
17. 如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为_____cm．
【正确答案】π
【详解】试题分析：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠EAC=30°，再利用弧长公式计算即可．
试题解析：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
∴AB=AO=BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°-90°=30°，
∵AD=AB=6，
∴点D运动的路径长为：=π．
考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．
18. 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，=n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=________，n=________．
【正确答案】 ①. 72° ②.
【详解】由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得n= ．
点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
三、解 答 题（共6题；共36分）
19. 解方程组：．
【正确答案】 或 ．
【分析】利用代入消元法将方程①转化为关于y的一元二次方程，求解后则可分别求出x的值.
【详解】解：，
由②得，③，
将③代入①，得，
即，
解得：或，
当时，，
当时，；
原方程组的解为 或 ．
本题考查了二元二次方程组，掌握利用代入消元法进行求解是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c点A，B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，函数的图象，求a的取值范围.
【正确答案】（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3）
【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）；
（2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标；
（3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论．
【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3，
∴A（3，2），
∵AB关于x＝1对称，
∴B（－1，2）．
（2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得，
所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a＝2，
，
代入B（－1，2）则a＝2
∴．
21. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF＝∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根据∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出结论；
（2）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB可知
试题解析:（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB，
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°
∴直线CF为⊙O的切线，
（2）∵AB是⊙O 直径
∴∠ACB=90°
∵DC⊥AB
∴
∴BC=BD，∠A=∠D
∴
考点: 1.切线的判定；2.圆周角定理；3.解直角三角形.
22. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（没有要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．
【正确答案】（1）a=﹣1，b=3；（2）d=；（3）R（2，6），AM=6．
【详解】试题分析：（1）将x=0代入求得y=4，从而得到点A的坐标为（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（-1，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a=-1，b=3；
（2）作⊥x轴于点K．由题意可知△AOC为等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可证明∠EDC=45°，从而得到△PDK为等腰直角三角形，故此=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由锐角三角函数的定义可知，从而得到，由d=DK-GK可求得；
（3）如图2所示：过点P作⊥x轴，垂足为K，交于AC与N．由题意可知：，设点P的坐标为（x，y），由△NKC为等腰直角三角形可知CK=NK=4-x，由PN=-KN可知PN=y-4+x，由△PEN为等腰三角三角形可知PE=，由△PBK为等腰直角三角形可知PD=，从而可得P坐标，从而得到D点坐标，然后由△BOH为等腰直角三角形，可求得AH，从而求解．
试题解析：解：（1）y=ax2+bx+4，当x=0时，y=4，∴A（0，4）．
∵OC=OA=4OB，∴OC=4，OB=1，∴C（4，0），B（﹣1，0）．
将C（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx+4，得：，解得：，∴a=﹣1，b=3．
（2）如图1，作⊥x轴于点K．
∵a=﹣1 b=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．
设点P坐标为（x，y）．∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵AC⊥PD，∴∠EDC=45°，∵⊥x轴，∴△PDK为等腰直角三角形，∴=DK=y，∵AB∥PG，∴∠ABO=∠PGK，∵tan∠ABO= =4，∴tan∠PGK= =4，∴GK= = y，∴d=DK﹣GK=y﹣y= y，将y=﹣x2+3x+4代入得：d= （﹣x2+3x+4），即d=；
（3）如图2所示：过点P作⊥x轴，垂足为K，交于AC与N．
∵，∴．
设点P的坐标为（x，y）．
∵CK=NK=4﹣x，∴PN=y﹣4+x，∴PE= PN= （y-4+x），PD= = y，∴，．
将y=﹣x2+3x+4代入得：．
整理得：x2﹣7x+12=0．
解得：x1=3，x2=4（舍去），∴P（3，4）
∵DK==4，∴D（﹣1，0），∴点D、B重合．
∵△BOH为等腰直角三角形，∴OH=OB=1，∴AH=3．
如图3所示：∠RAS=90°时．
设点R（a，﹣a2+3a+4）．
∵△ARS为等腰直角三角形，∴∠RAS=90°，∠ARS=45°．
∵AP∥x轴，∴∠PAC=∠ACO=45°，∴∠RAP=45°，∴RS⊥AM，∴AL=LS，AL=LR，∴a=﹣a2+3a+4﹣4，∴a=2，∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M= ，在Rt△AHM中tan∠M= ，∴= ，∴，∴LM=4，∴AM=6．
当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS没有能构成等腰直角三角形．
综上所述，AM的长为6．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、锐角三角函数值、锐角三角函数的定义，根据等腰直角三角形的性质列出关于x和LM的方程是解题的关键．
23. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用什么方法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6=0．
【正确答案】（1）换元；（2）x1=，x2=．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，
答：换元；
（2）设x2+3x=y，原方程可化为y2+5y－6=0，
解得y1=1，y2=－6．
由x2+3x=1，得x1=，x2=．
由x2+3x=－6，得方程x2+3x+6=0，
△=9－4×6=－15<0，此方程无解．
所以原方程的解为x1=，x2=．
本题考查了利用换元法解一元二次方程，以及解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握换元思想的应用．
24. 小斌同学在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝是正确的.你认为他的化简对吗？如果没有对，请说明理由并改正.
【正确答案】没有对，理由见解析
【详解】试题分析：根据负数是没有平方根的可判定这一步是错误的，根据二次根式的除法法则计算即可.
试题解析：
没有对
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以这一步是错误的.
注意的前提条件是
正确化简过程是：
点睛：本题考查了二次根式的除法法则，注意的前提条件是.
四、综合题（共10分）
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
【正确答案】（1）证明见解析（2）6
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PBOC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
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