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2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共69页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）
1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. －
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA值为( )
A. B. C. D. 1
3. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. 2m B. （2+ 2）m C. 4 m D. （4+ 2）m
5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）
A. －1 B. －2 C. －4 D. －6
6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长（ ）
A. B. 2 C. D. 6
7. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A 50° B. 45° C. 30° D. 25°
8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为( )
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是____
11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.
12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．
13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．
14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函数图象的对称轴为______.
16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：⊙O.
求作：圆的内接正方形.
如图，
（1）过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；
（3）连接AB,BC,CD,DA．
∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条）
三、解 答 题（本题共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）
17. 计算：tan30°－cos60°+sin45°．
18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：
x
…
－1
－
0
1
2
3
…
y
…
2
－1
－
－2
－
－1
2
…
（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
20. 如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.
(1)图象信息,求此二次函数的表达式;
(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．
21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
23. 反比例函数y=(k≠0)与函数y=－x+5的一个交点是A(1,n).
(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；
(2)当函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ．
24. 中国高铁近年来用震惊世界的速度没有断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).
(1)填空：c= (用含b的式子表示)．
(2)若b＜4
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；
(3)直线y=x－4抛物线y=x2+bx+c顶点P，求抛物线的表达式．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．
（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，ta=，求⊙O的半径．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若没有是，说明理由．
（2）直接写出DE的最小值．
28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的值称为图形G的“特征值”
(1)①点A(1,3) 的“坐标差”为 ．
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．
(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3) 如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）
1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. －
【正确答案】B
【详解】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，
∴，解得.
故选B.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=，
故选A．
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
3. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC的中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【详解】∵点M、N分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴△CMN∽△CAB，且相似比，
∴，
又∵S△CMN=1，
∴S△ABC=4.
故选C.
4. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. 2m B. （2+ 2）m C. 4 m D. （4+ 2）m
【正确答案】B
【详解】如图，由平移的性质可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，
∴AB=2BC=4m，
∴AC=，
∴AC+BC=（m）.
故选B.
点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.
5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）
A. －1 B. －2 C. －4 D. －6
【正确答案】C
【详解】如图，∵点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D，△PDO的面积为2，
∴，
又∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第二、四象限，
∴，
∴，解得.
故选C.
点睛：过反比例函数的图象上一点向x轴（或y轴）作垂线段，并连接这点和原点，所围成的直角三角形的面积=.
6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
【正确答案】A
【详解】解：∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=5，
∵在△ABC和△ACD中，∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，即AC2=AB·AD，
∴AC2=5×2=10，
∴AC=．
故选A．
7. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 25°
【正确答案】D
【详解】∵在⊙O中，，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°.
故选D.
8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为( )
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
【正确答案】B
【详解】∵，
∴在坐标系中，该二次函数图象的顶点D的坐标为（1，6），
设此时点A、B的坐标分别为，则由题意可知，AB=，而是关于x的一元二次方程的解，
∴，
∴，
又∵AB==4，
∴，解得：，
∴点A、B的纵坐标为14，
∴DC=14-6=8，
又∵DE=3，
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【正确答案】y＝x2＋1．
【详解】此题答案没有，只要二次项系数大于0，点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是____
【正确答案】8
【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【详解】解：如图，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE=AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE=，
∴AB=2AE=8．
故8．
11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.
【正确答案】6
【详解】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即：，解得：AB=6（m）.
故答案为6.
12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．
【正确答案】，
【分析】根据二次函数图象与函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为x1=-2，x2=1．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与函数图象的交点问题．
13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．
【正确答案】5π
【详解】∵∠1=60°，
∴图中扇形的圆心角为300°，
又∵扇形的半径为：，
∴S阴影=.
故答案为.
14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
【正确答案】．
【详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，
∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函数图象的对称轴为______.
【正确答案】直线x=-2
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为：直线x=(+)÷2=-2.
故直线.
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：．
16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：⊙O.
求作：圆的内接正方形.
如图，
（1）过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；
（3）连接AB,BC,CD,DA．
∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条）
【正确答案】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；
两点确定一条直线;
同圆中，等弧对等弦；
直径所对的圆周角是直角；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；…
（答案没有）
【详解】该题答案没有，可从下列依据中任选两条即可，
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；
两点确定一条直线;
同圆中，等弧对等弦；
直径所对的圆周角是直角；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；….
故答案没有，从上述依据中任选两条即可.
三、解 答 题（本题共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）
17. 计算：tan30°－cos60°+sin45°．
【正确答案】
【详解】试题分析：
代入对应的角的三角函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
原式=
=.
18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：
x
…
－1
－
0
1
2
3
…
y
…
2
－1
－
－2
－
－1
2
…
（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，由此可确定该二次函数的图象关于直线x=1对称，而当x=1时，y=-2，由此可得抛物线的顶点坐标为（1，-2）；
（2）由抛物线的顶点（1，-2）在直线y=x+n的下方可得，在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解此没有等式即可得到n的取值范围.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线：x=1，
∵当x=1时，y=-2，
∴二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点（1，-2）在直线y=x+n的下方，
∴在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解得n>-3，
∴n的取值范围为：n>-3.
点睛：（1）若抛物线上由两点坐标为（即两点的横坐标没有等，而纵坐标相等），则该抛物线的对称轴为：；（2）点P在直线的下方的意思是：在中，当时，.
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）10.
【详解】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得：，将已知线段长度代入即可求出BD.
试题解析：
解：（1）∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC，
∴ △ABD∽△DCB；
（2）由（1）得△ABD∽△DCB，
∴，
即 ，
∴BD=10
点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.
20. 如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.
(1)图象信息,求此二次函数的表达式;
(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．
【正确答案】（1）； （2） 或
【详解】试题分析：
（1）由图可知，该二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），由此可设其解析式为：，再代入点（-1，0）解出a的值即可；
（2）根据对称性，由该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）和对称轴为直线x=1可得图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），图象开口向上，即可得到当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.
试题解析：
（1）由图可知，该二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），
∴可设其解析式为： ，
将（－1，0）代入，得：
，
解得： ，
∴二次函数表达式 ；
（2）由图可知：该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）、对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），
又∵图象开口向上，
∴当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.
21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
【正确答案】BC=8，AD=BD=5.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出AD、BD的长.
【详解】∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC===8，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
同理可得：∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AD2=AB2，
∴AD=BD=5.
本题考查主要圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键.
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
【正确答案】（1）5；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均没有可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
23. 反比例函数y=(k≠0)与函数y=－x+5的一个交点是A(1,n).
(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；
(2)当函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ．
【正确答案】（1）；（2） 或
【详解】试题分析：
（1）先将点A（1，n）代入y=-x+5中解得n的值，得到点A的坐标，再将所得点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可得到其解析式；
（2）将两个函数的解析式联立得到方程组，解方程组即可求得它们的两个交点是坐标，再它们的图象所处的位置即可得到当函数的值大于反比例函数的值时所对应的x的取值范围.
试题解析：
（1）将A（1，n）代入 解得： n=4，
∴点A的坐标为（1，4），
将A（1，4）代入中，解得：
∴反比例函数 的表达式为 ；
（2）由 解得： ， ，
∴两个函数的图象的交点坐标为（1，4）和（4，1），
又∵函数的图象从左至右是下降的，且过、二、四象限；反比例函数的图象在、三象限，
∴当函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为： 或 .
24. 中国高铁近年来用震惊世界的速度没有断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
【正确答案】MN=3000米
【详解】试题分析：
由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.
试题解析：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ABC∽△ANM，
∴ ，
∵BC=45，
∴MN=3000.
答：直线隧道MN长为3000米.
25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).
(1)填空：c= (用含b的式子表示)．
(2)若b＜4
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；
(3)直线y=x－4抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．
【正确答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 或
【详解】试题分析：
（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的等式，将等式变形即可得到用含“b”表示的c；
（2）①由（1）中所得结果可得：△=，b<4可得△>0，由此即可得到抛物线和x轴有两个没有同的交点；
②根据①中所得结果可表达出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，线段AB上恰好有5个整数点，即可求得b的取值范围；
（3）将抛物线配方，得到用“b”表达的顶点P的坐标，将所得坐标代入解出b的值，再代回中即可求得二次函数的解析式.
试题解析：
（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c得：，
∴c=2b-4；
（2）① ∵中， ，
∴当时， ，
即 ，
∴当 时，抛物线与x轴有两个交点；
②当时，有，
∵当时， ，
∴，
∴，
∴点B的坐标为 ，
当点B在点A的右边时，
∵点A的坐标为（-2，0），且线段AB上恰好有5个知识点，
∴这5个整数点所对应的数分别是-2，-1，0，1，2，
∴，
∴此时b的取值范围是：；
当点B在点A的左侧时，这5个整数点分别是：-2，-3，-4，-5，-6，
∴，即，解得：，
∵b<4，
∴此种情况没有成立；
综上所述，可得b的取值范围为：；
（3）∵
∴顶点P的坐标为： ，
将其代入 中，得，，
解得， ，
∴抛物线的表达式为 或.
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC角平分线．
（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，ta=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【分析】（1）由题意可知，作线段AD的垂直平分线与AB相交，交点即为圆心O，然后以O为圆心OA为半径作圆即可；
（2）连接OD，由已知易证∠ODA=∠OAD=∠CAD，从而可得OD∥AC，由此可得∠ODB=∠C=90°，OD是⊙O的半径即可得到BC和⊙O相切；
（3）由已知条件易得BC=4和AB=5的长度，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=5-r；由OD∥AC可得△BDO∽△BCA，这样由相似三角形对应边成比例即可列出关于r的方程，解方程即可求得r的值．
【小问1详解】
如图所示，⊙O为所求圆；
【小问2详解】
连接OD．
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
又∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD//AC
∴∠ODB=∠C=90°
又∵OD为半径
∴BC是⊙O的切线．
【小问3详解】
∵在△ABC中，AC=3，ta=，∠C=90°，
∴BC=4，AB=5，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5－r
∵OD//AC
∴△BOD∽△BAC
∴
即
解得， ，
∴⊙O的半径为 ．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若没有是，说明理由．
（2）直接写出DE的最小值．
【正确答案】（1）∠BAE=45°；（2）2
【详解】试题分析：
（1）由已知易得△ABC∽△EBP，∠ABC=∠EBP=45°，从而可得： ，∠CBP=∠ABE，由此可得：△CBP∽△ABE，
从而可得∠BAE=∠BCP；而在△ACB中，由AC=BC，∠BCA=90°，CD⊥AB于D易得∠BCP=45°，由此即可得到∠BAE=45°；
（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，由此可知，当DE⊥AE时，DE最短，此时，∠AED=90°，∠BAE=45°，可得△ADE此时是等腰直角三角形，由此即可求得此时DE的长了.
试题解析：
（1）∠BAE的度数为定值，理由如下：
∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形
∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°
∴ ，且∠CBP=∠ABE
∴△CBP∽△ABE
∴∠BCP =∠BAE
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠BCP=45°
∴∠BAE=∠BCP=45°
（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，
∴当DE⊥AE时，DE最短，
此时，∠AED=90°，
又∵∠BAE=45°，
∴此时△ADE是等腰直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=,
∴DE=2，即DE的最小值为2.
点睛：解本题第2小题时，“由∠BAE=45°，点D是∠BAE边AB上的定点，点E是∠BAE边AE上的动点，分析得到当DE⊥AE时，AE最短”，是解答本题的关键.
28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的值称为图形G的“特征值”
(1)①点A(1,3) “坐标差”为 ．
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．
(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
【正确答案】（1）① 2； ② 4； （2）① m= －c ; ②
；（3）
【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差；
②由坐标差的定义可得：二次函数y=－x2+3x+3图象上点的坐标差为：，将此关系式配方即可求得y-x的值，从而得到抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”；
（2）①由题意可得：0-m=c-0，由此可得：m=-c；
②由m=-c可得点B的坐标为（-c，0），把点B的坐标代入中可得，由可得，即；再由的特征值为1可得：，两者即可解得b何c的值，由此即可得到二次函数的解析式；
（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，由已知条件易得直线PF的解析式为y=-x+5；由直线y=x上的所有点的坐标差为0，且坐标平面内在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差越大可知在⊙M上距离直线y=x最远的点是点P，设点P的坐标为（x，y）由点P到M的距离为2，可得到关于x、y的方程，和y=-x+5组合即可解得点P的坐标，这样就可得到⊙M的特征值了.
【详解】（1）① ∵点A的坐标为（1，3），
∴点A的坐标差为：3-1= 2；
② ∵二次函数的解析式为：y=－x2+3x+3，
∴该二次函数图象上所有点的坐标差都满足：，
∵，即该二次函数图象上点的坐标差的值为4，
∴该二次函数图象的特征值为：4；
（2）① 由已知易得点C的坐标为（0，c），而B的坐标为（m，0），
∴点C的坐标差为：c-0，点B的坐标差为：0-m，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴c-0=0-m，
∴m=－c；
② ∵m=－c，
∴B（－c，0），
将其代入 中，
得， ，
∵c≠0，
∴ ，
∴ ① ，
∴ 的“坐标差”为：
，
∵“特征值”为1，
∴ ②，
将①代入②中，得：
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，
∵直线DE的解析式为：y=x，点M的坐标为（2，3），
∴直线PF的解析式为y=-x+5，
∵直线y=x上所有点的坐标差都等于0，而在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差就越大，而⊙M上点P距离直线y=x最远，
∴点P的坐标差就是⊙M的“特征值”，
设点P的坐标为（x，y），
∵点P到点M（2，3）的距离为2，
∴有，
又∵点P（x，y）在直线y=-x+5上，
∴，解得：，
∴对应的：，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标差为：，
∴⊙M的“特征值”为.
点睛：解本题第3小题的要点有：（1）直线y=x上所有点的坐标差为0，坐标平面内，距离直线y=x越远的点的坐标差的值就越大；（2）⊙M上距离直线y=x最远的点是图中的点P；（3）点P（x，y）到点M（2，3）的距离为定值2，则由两点间距离公式可得.
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
3. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
5. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. B. C. D.
7. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
8. 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C 小苏在跑100m的过程中，与小林相遇2次
D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
二、填 空 题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，将线段沿轴向右平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________．
11. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
12. 抛物线点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
13. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
16. 阅读以下作图过程：
步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB直径作半圆(如图)；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，没有写画法)，并写出点M表示的数为______．
三、解 答 题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 计算：．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求BC的长．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
21. 尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
22. 某校初三数学兴趣小组的同学进行社会实践时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果，参考数据:，，)．
四、解 答 题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的距离是5m．
（1）讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系（如图），你选择的是 （填一，二，或三），则B点坐标是 ，求出你所选中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨高度．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．
25. 小明根据学习函数的，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有个互没有相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于x的方程有4个互没有相等的实数根，则a的取值范围是________．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．
五、解 答 题（共2道小题，每小题7分，共14分）
27. 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.
（1）以点C为旋转，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为 .
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的距离；若，则称为点P的距离．
例如：点P到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的距离为.
（1）①点A（2，）的距离为________；
②若点B的距离为，则的值为________；
（2）若点C在直线上，且点C的距离为，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【正确答案】C
详解】解：∵sinA＝，∴A=45°．故选C．
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
【正确答案】A
【详解】解：根据主视图是三角形，圆柱、长方体、正方体没有符合要求，故B、C、D错误；只有A符合要求．故选A．
3. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6
【正确答案】B
【详解】解：因为矩形AOCB的面积为6，
所以OA·AB=6，
∵点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，
∴k的值为6．
故选B．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
【正确答案】D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
5. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解.
【详解】∵y=x2-6x+5，
∴y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4.
故选:C.
本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤；
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转的距离相等．②对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
7. 如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】B
【详解】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选B.
8. 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏在跑100m的过程中，与小林相遇2次
D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
【正确答案】D
【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；
小林在跑100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；
故选：D．
本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，实际意义得到正确的结论．
二、填 空 题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案没有）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案没有）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，将线段沿轴向右平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________．
【正确答案】（3，2）
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【详解】∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），
∵−1＋3＝2，
∴0+3=3，
∴A′（3，2），
故（3，2）.
本题考查了坐标与图形变化−平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
11. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
【正确答案】16
【详解】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．
12. 抛物线点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
【正确答案】直线x=1
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x==1．故答案为直线x=1．
13. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
【正确答案】π
【详解】解：如图，连接OA、OB．∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，弧AB的长为=π．故答案为π．
14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
【正确答案】4
【分析】应用勾股定理求出AB，再由求出BE，问题可解
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB==10．
由折叠的性质得：BE=BC=6，
则AE=AB﹣BE=10-6=4．
故答案为4．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
【正确答案】将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位（答案没有）
【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．故答案为将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．
16. 阅读以下作图过程：
步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆(如图)；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，没有写画法)，并写出点M表示的数为______．
【正确答案】作图见解析，
【详解】解：如图，点M即为所求．连接AC、BC．由题意知：AB=4，BC=1．∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC===，∴点M表示的数为.故答案为．
点睛：本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．
三、解 答 题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 计算：．
【正确答案】
【详解】试题分析：将角的三角函数值代入求解即可．
试题解析：解：原式．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【正确答案】（1）；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y=a（x+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象．
试题解析：解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2﹣4，把点（0，3）代入y=a（x+1）2﹣4得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4；
（2）如图所示：
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求BC的长．
【正确答案】
【详解】试题分析：先在Rt△ABD中利用cosA的定义可计算出AD的长，再利用勾股定理解答即可．
试题解析：解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．在Rt△ABD中，∵cosA=，∴AD=8，∴DC=2，∴BD= =6，∴BC==．
20. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB﹣OE即可．
【详解】（1）∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠A=∠BCD；
（2）连接OC．
∵直径AB⊥弦CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=4，
∴OE==3，
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
．
21. 尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
【正确答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质勾股定理得出正方形ABCD的边长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．
∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，
∴∠AOB=90°，
∴AB==．
此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
22. 某校初三数学兴趣小组的同学进行社会实践时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果，参考数据:，，)．
【正确答案】米
【分析】首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题；
【详解】解：由题意：，，，，
∵，，
，
在中，
∵，，
．
，
，
，
．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型．
四、解 答 题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的距离是5m．
（1）讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的（如图），你选择的是 （填一，二，或三），则B点坐标是 ，求出你所选中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【正确答案】(1) 1; B（5,0）; ;(2) 3.2m.
【详解】试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．
试题解析：解：1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
2：（1）点B坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
3：（1）点B的坐标为（5， ），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
试题解析：解：（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．
点睛：本题考查了切线的判定与性质：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
25. 小明根据学习函数的，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有个互没有相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于x的方程有4个互没有相等的实数根，则a的取值范围是________．
【正确答案】（1）m=0；（2）答案见解析；（3）图像关于y轴对称，（答案没有）；（4）；（5）
【详解】试题分析：（1）把x=2代入计算即可；
（2）用光滑的曲线把点顺次连接即可；
（3）观察图象即可得出结论；
（4）观察图象即可得出结论；
（5）配方得到函数的最小值，图象，即可得出结论．
试题解析：解：（1）当x=2时，m=；
（2）作图如下：
（3）观察图象可知：图像关于y轴对称（答案没有）．
（4）观察图象可知：当x2＞x1＞2时， y1＜y2 ；
（5），∴y.由图象可知，当时，直线y=a与图象有4个交点，故．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．
【正确答案】（1）A（0，－3），B（1，0）；（2）y=x2－2x－3；（3）．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；
（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；
试题解析：解：（1）∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；
∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵∠ACB=45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y=mx2﹣2mx﹣3
得出m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（3）如图，当直线l1点A时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2点C时，直线AB的解析式为y=3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4时，x=﹣．
此时，x1=x2=1，x3=﹣，此时x1+x3+x2=，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，∴．
点睛：本题是二次函数综合题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形”的数学思想，降低了解题的难度．
五、解 答 题（共2道小题，每小题7分，共14分）
27. 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.
（1）以点C为旋转，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为 .
【正确答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【详解】试题分析：（1）根据题意补全图形；
（2）由旋转的性质得到∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，进而得到∠CAD+∠E=90°，即可的得到结论；
（3）易证△ADC∽△BDF，△ADB∽△CDF，由相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：解：（1）补全图形如下：
（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．
（3）∵∠ACB=∠DFB=90°，∠CDA=∠FDB，∴△ADC∽△BDF，∴，∴．∵∠ADB=∠CDF，∴△ADB∽△CDF，∴，∴，
∴，∴CF=．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的距离；若，则称为点P的距离．
例如：点P到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的距离为.
（1）①点A（2，）的距离为________；
②若点B的距离为，则的值为________；
（2）若点C在直线上，且点C的距离为，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
【正确答案】（1）①5；②±5；（2）点C或；（3）.
【分析】（1）①直接根据“距离”的定义，其最小距离为“距离”；
②点B（a，2）到x轴的距离为2，且其“距离”为5，所以a=±5；
（2）根据点C的“距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的距离为5．
【详解】解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2．
∵2＜5，
∴点A的“距离”为5．
②∵点B（a，2）“距离”为5，
∴a=±5；
故答案为5，±5．
（2）设点C的坐标（x，y），
∵点C的“距离”为5，
∴x=±5或y=±5，
当x=5时，y=﹣7，
当x=﹣5时，y=3，
当y=5时，x=﹣7，
当y=﹣5时，x=3，
∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的距离为5，
∴5≤r≤．
本题是函数综合题，考查了“距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用位置解决数学问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）
1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. －
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA值为( )
A. B. C. D. 1
3. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. 2m B. （2+ 2）m C. 4 m D. （4+ 2）m
5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）
A. －1 B. －2 C. －4 D. －6
6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长（ ）
A. B. 2 C. D. 6
7. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A 50° B. 45° C. 30° D. 25°
8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为( )
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是____
11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.
12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．
13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．
14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函数图象的对称轴为______.
16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：⊙O.
求作：圆的内接正方形.
如图，
（1）过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；
（3）连接AB,BC,CD,DA．
∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条）
三、解 答 题（本题共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）
17. 计算：tan30°－cos60°+sin45°．
18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：
x
…
－1
－
0
1
2
3
…
y
…
2
－1
－
－2
－
－1
2
…
（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
20. 如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.
(1)图象信息,求此二次函数的表达式;
(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．
21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
23. 反比例函数y=(k≠0)与函数y=－x+5的一个交点是A(1,n).
(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；
(2)当函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ．
24. 中国高铁近年来用震惊世界的速度没有断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).
(1)填空：c= (用含b的式子表示)．
(2)若b＜4
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；
(3)直线y=x－4抛物线y=x2+bx+c顶点P，求抛物线的表达式．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．
（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，ta=，求⊙O的半径．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若没有是，说明理由．
（2）直接写出DE的最小值．
28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的值称为图形G的“特征值”
(1)①点A(1,3) 的“坐标差”为 ．
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．
(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3) 如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）
1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. －
【正确答案】B
【详解】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，
∴，解得.
故选B.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=，
故选A．
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
3. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC的中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【详解】∵点M、N分别是△ABC的边AC、BC的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴△CMN∽△CAB，且相似比，
∴，
又∵S△CMN=1，
∴S△ABC=4.
故选C.
4. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A. 2m B. （2+ 2）m C. 4 m D. （4+ 2）m
【正确答案】B
【详解】如图，由平移的性质可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，
∴AB=2BC=4m，
∴AC=，
∴AC+BC=（m）.
故选B.
点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.
5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）
A. －1 B. －2 C. －4 D. －6
【正确答案】C
【详解】如图，∵点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D，△PDO的面积为2，
∴，
又∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第二、四象限，
∴，
∴，解得.
故选C.
点睛：过反比例函数的图象上一点向x轴（或y轴）作垂线段，并连接这点和原点，所围成的直角三角形的面积=.
6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
【正确答案】A
【详解】解：∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=5，
∵在△ABC和△ACD中，∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，即AC2=AB·AD，
∴AC2=5×2=10，
∴AC=．
故选A．
7. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 25°
【正确答案】D
【详解】∵在⊙O中，，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°.
故选D.
8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为( )
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
【正确答案】B
【详解】∵，
∴在坐标系中，该二次函数图象的顶点D的坐标为（1，6），
设此时点A、B的坐标分别为，则由题意可知，AB=，而是关于x的一元二次方程的解，
∴，
∴，
又∵AB==4，
∴，解得：，
∴点A、B的纵坐标为14，
∴DC=14-6=8，
又∵DE=3，
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【正确答案】y＝x2＋1．
【详解】此题答案没有，只要二次项系数大于0，点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是____
【正确答案】8
【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
【详解】解：如图，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE=AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE=，
∴AB=2AE=8．
故8．
11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.
【正确答案】6
【详解】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即：，解得：AB=6（m）.
故答案为6.
12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．
【正确答案】，
【分析】根据二次函数图象与函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为x1=-2，x2=1．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与函数图象的交点问题．
13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．
【正确答案】5π
【详解】∵∠1=60°，
∴图中扇形的圆心角为300°，
又∵扇形的半径为：，
∴S阴影=.
故答案为.
14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．
【正确答案】．
【详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，
∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函数图象的对称轴为______.
【正确答案】直线x=-2
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为：直线x=(+)÷2=-2.
故直线.
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：．
16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：⊙O.
求作：圆的内接正方形.
如图，
（1）过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；
（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；
（3）连接AB,BC,CD,DA．
∴四边形ABCD为所求．
请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条）
【正确答案】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；
两点确定一条直线;
同圆中，等弧对等弦；
直径所对的圆周角是直角；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；…
（答案没有）
【详解】该题答案没有，可从下列依据中任选两条即可，
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；
两点确定一条直线;
同圆中，等弧对等弦；
直径所对的圆周角是直角；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；….
故答案没有，从上述依据中任选两条即可.
三、解 答 题（本题共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）
17. 计算：tan30°－cos60°+sin45°．
【正确答案】
【详解】试题分析：
代入对应的角的三角函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
原式=
=.
18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：
x
…
－1
－
0
1
2
3
…
y
…
2
－1
－
－2
－
－1
2
…
（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；
（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，由此可确定该二次函数的图象关于直线x=1对称，而当x=1时，y=-2，由此可得抛物线的顶点坐标为（1，-2）；
（2）由抛物线的顶点（1，-2）在直线y=x+n的下方可得，在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解此没有等式即可得到n的取值范围.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线：x=1，
∵当x=1时，y=-2，
∴二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点（1，-2）在直线y=x+n的下方，
∴在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解得n>-3，
∴n的取值范围为：n>-3.
点睛：（1）若抛物线上由两点坐标为（即两点的横坐标没有等，而纵坐标相等），则该抛物线的对称轴为：；（2）点P在直线的下方的意思是：在中，当时，.
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）10.
【详解】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得：，将已知线段长度代入即可求出BD.
试题解析：
解：（1）∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC，
∴ △ABD∽△DCB；
（2）由（1）得△ABD∽△DCB，
∴，
即 ，
∴BD=10
点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.
20. 如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.
(1)图象信息,求此二次函数的表达式;
(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．
【正确答案】（1）； （2） 或
【详解】试题分析：
（1）由图可知，该二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），由此可设其解析式为：，再代入点（-1，0）解出a的值即可；
（2）根据对称性，由该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）和对称轴为直线x=1可得图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），图象开口向上，即可得到当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.
试题解析：
（1）由图可知，该二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），
∴可设其解析式为： ，
将（－1，0）代入，得：
，
解得： ，
∴二次函数表达式 ；
（2）由图可知：该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）、对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），
又∵图象开口向上，
∴当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.
21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
【正确答案】BC=8，AD=BD=5.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出AD、BD的长.
【详解】∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC===8，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
同理可得：∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AD2=AB2，
∴AD=BD=5.
本题考查主要圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键.
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
【正确答案】（1）5；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均没有可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
23. 反比例函数y=(k≠0)与函数y=－x+5的一个交点是A(1,n).
(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；
(2)当函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ．
【正确答案】（1）；（2） 或
【详解】试题分析：
（1）先将点A（1，n）代入y=-x+5中解得n的值，得到点A的坐标，再将所得点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可得到其解析式；
（2）将两个函数的解析式联立得到方程组，解方程组即可求得它们的两个交点是坐标，再它们的图象所处的位置即可得到当函数的值大于反比例函数的值时所对应的x的取值范围.
试题解析：
（1）将A（1，n）代入 解得： n=4，
∴点A的坐标为（1，4），
将A（1，4）代入中，解得：
∴反比例函数 的表达式为 ；
（2）由 解得： ， ，
∴两个函数的图象的交点坐标为（1，4）和（4，1），
又∵函数的图象从左至右是下降的，且过、二、四象限；反比例函数的图象在、三象限，
∴当函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为： 或 .
24. 中国高铁近年来用震惊世界的速度没有断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
【正确答案】MN=3000米
【详解】试题分析：
由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.
试题解析：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ABC∽△ANM，
∴ ，
∵BC=45，
∴MN=3000.
答：直线隧道MN长为3000米.
25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).
(1)填空：c= (用含b的式子表示)．
(2)若b＜4
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；
(3)直线y=x－4抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．
【正确答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 或
【详解】试题分析：
（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的等式，将等式变形即可得到用含“b”表示的c；
（2）①由（1）中所得结果可得：△=，b<4可得△>0，由此即可得到抛物线和x轴有两个没有同的交点；
②根据①中所得结果可表达出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，线段AB上恰好有5个整数点，即可求得b的取值范围；
（3）将抛物线配方，得到用“b”表达的顶点P的坐标，将所得坐标代入解出b的值，再代回中即可求得二次函数的解析式.
试题解析：
（1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c得：，
∴c=2b-4；
（2）① ∵中， ，
∴当时， ，
即 ，
∴当 时，抛物线与x轴有两个交点；
②当时，有，
∵当时， ，
∴，
∴，
∴点B的坐标为 ，
当点B在点A的右边时，
∵点A的坐标为（-2，0），且线段AB上恰好有5个知识点，
∴这5个整数点所对应的数分别是-2，-1，0，1，2，
∴，
∴此时b的取值范围是：；
当点B在点A的左侧时，这5个整数点分别是：-2，-3，-4，-5，-6，
∴，即，解得：，
∵b<4，
∴此种情况没有成立；
综上所述，可得b的取值范围为：；
（3）∵
∴顶点P的坐标为： ，
将其代入 中，得，，
解得， ，
∴抛物线的表达式为 或.
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC角平分线．
（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）如果AC=3，ta=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【分析】（1）由题意可知，作线段AD的垂直平分线与AB相交，交点即为圆心O，然后以O为圆心OA为半径作圆即可；
（2）连接OD，由已知易证∠ODA=∠OAD=∠CAD，从而可得OD∥AC，由此可得∠ODB=∠C=90°，OD是⊙O的半径即可得到BC和⊙O相切；
（3）由已知条件易得BC=4和AB=5的长度，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=5-r；由OD∥AC可得△BDO∽△BCA，这样由相似三角形对应边成比例即可列出关于r的方程，解方程即可求得r的值．
【小问1详解】
如图所示，⊙O为所求圆；
【小问2详解】
连接OD．
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
又∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD//AC
∴∠ODB=∠C=90°
又∵OD为半径
∴BC是⊙O的切线．
【小问3详解】
∵在△ABC中，AC=3，ta=，∠C=90°，
∴BC=4，AB=5，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5－r
∵OD//AC
∴△BOD∽△BAC
∴
即
解得， ，
∴⊙O的半径为 ．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若没有是，说明理由．
（2）直接写出DE的最小值．
【正确答案】（1）∠BAE=45°；（2）2
【详解】试题分析：
（1）由已知易得△ABC∽△EBP，∠ABC=∠EBP=45°，从而可得： ，∠CBP=∠ABE，由此可得：△CBP∽△ABE，
从而可得∠BAE=∠BCP；而在△ACB中，由AC=BC，∠BCA=90°，CD⊥AB于D易得∠BCP=45°，由此即可得到∠BAE=45°；
（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，由此可知，当DE⊥AE时，DE最短，此时，∠AED=90°，∠BAE=45°，可得△ADE此时是等腰直角三角形，由此即可求得此时DE的长了.
试题解析：
（1）∠BAE的度数为定值，理由如下：
∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形
∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°
∴ ，且∠CBP=∠ABE
∴△CBP∽△ABE
∴∠BCP =∠BAE
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠BCP=45°
∴∠BAE=∠BCP=45°
（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，
∴当DE⊥AE时，DE最短，
此时，∠AED=90°，
又∵∠BAE=45°，
∴此时△ADE是等腰直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=,
∴DE=2，即DE的最小值为2.
点睛：解本题第2小题时，“由∠BAE=45°，点D是∠BAE边AB上的定点，点E是∠BAE边AE上的动点，分析得到当DE⊥AE时，AE最短”，是解答本题的关键.
28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的值称为图形G的“特征值”
(1)①点A(1,3) “坐标差”为 ．
②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．
(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
【正确答案】（1）① 2； ② 4； （2）① m= －c ; ②
；（3）
【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差；
②由坐标差的定义可得：二次函数y=－x2+3x+3图象上点的坐标差为：，将此关系式配方即可求得y-x的值，从而得到抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”；
（2）①由题意可得：0-m=c-0，由此可得：m=-c；
②由m=-c可得点B的坐标为（-c，0），把点B的坐标代入中可得，由可得，即；再由的特征值为1可得：，两者即可解得b何c的值，由此即可得到二次函数的解析式；
（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，由已知条件易得直线PF的解析式为y=-x+5；由直线y=x上的所有点的坐标差为0，且坐标平面内在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差越大可知在⊙M上距离直线y=x最远的点是点P，设点P的坐标为（x，y）由点P到M的距离为2，可得到关于x、y的方程，和y=-x+5组合即可解得点P的坐标，这样就可得到⊙M的特征值了.
【详解】（1）① ∵点A的坐标为（1，3），
∴点A的坐标差为：3-1= 2；
② ∵二次函数的解析式为：y=－x2+3x+3，
∴该二次函数图象上所有点的坐标差都满足：，
∵，即该二次函数图象上点的坐标差的值为4，
∴该二次函数图象的特征值为：4；
（2）① 由已知易得点C的坐标为（0，c），而B的坐标为（m，0），
∴点C的坐标差为：c-0，点B的坐标差为：0-m，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴c-0=0-m，
∴m=－c；
② ∵m=－c，
∴B（－c，0），
将其代入 中，
得， ，
∵c≠0，
∴ ，
∴ ① ，
∴ 的“坐标差”为：
，
∵“特征值”为1，
∴ ②，
将①代入②中，得：
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，
∵直线DE的解析式为：y=x，点M的坐标为（2，3），
∴直线PF的解析式为y=-x+5，
∵直线y=x上所有点的坐标差都等于0，而在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差就越大，而⊙M上点P距离直线y=x最远，
∴点P的坐标差就是⊙M的“特征值”，
设点P的坐标为（x，y），
∵点P到点M（2，3）的距离为2，
∴有，
又∵点P（x，y）在直线y=-x+5上，
∴，解得：，
∴对应的：，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标差为：，
∴⊙M的“特征值”为.
点睛：解本题第3小题的要点有：（1）直线y=x上所有点的坐标差为0，坐标平面内，距离直线y=x越远的点的坐标差的值就越大；（2）⊙M上距离直线y=x最远的点是图中的点P；（3）点P（x，y）到点M（2，3）的距离为定值2，则由两点间距离公式可得.
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
3. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
5. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. B. C. D.
7. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
8. 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C 小苏在跑100m的过程中，与小林相遇2次
D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
二、填 空 题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，将线段沿轴向右平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________．
11. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
12. 抛物线点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
13. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
16. 阅读以下作图过程：
步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB直径作半圆(如图)；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，没有写画法)，并写出点M表示的数为______．
三、解 答 题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 计算：．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求BC的长．
20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
21. 尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
22. 某校初三数学兴趣小组的同学进行社会实践时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果，参考数据:，，)．
四、解 答 题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的距离是5m．
（1）讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系（如图），你选择的是 （填一，二，或三），则B点坐标是 ，求出你所选中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨高度．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．
25. 小明根据学习函数的，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有个互没有相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于x的方程有4个互没有相等的实数根，则a的取值范围是________．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．
五、解 答 题（共2道小题，每小题7分，共14分）
27. 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.
（1）以点C为旋转，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为 .
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的距离；若，则称为点P的距离．
例如：点P到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的距离为.
（1）①点A（2，）的距离为________；
②若点B的距离为，则的值为________；
（2）若点C在直线上，且点C的距离为，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【正确答案】C
详解】解：∵sinA＝，∴A=45°．故选C．
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
【正确答案】A
【详解】解：根据主视图是三角形，圆柱、长方体、正方体没有符合要求，故B、C、D错误；只有A符合要求．故选A．
3. 如图，点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6
【正确答案】B
【详解】解：因为矩形AOCB的面积为6，
所以OA·AB=6，
∵点B是反比例函数（k≠0）在象限内图象上的一点，
∴k的值为6．
故选B．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
【正确答案】D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
5. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解.
【详解】∵y=x2-6x+5，
∴y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4.
故选:C.
本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤；
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转的距离相等．②对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
7. 如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】B
【详解】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选B.
8. 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏在跑100m的过程中，与小林相遇2次
D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程
【正确答案】D
【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；
小林在跑100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；
故选：D．
本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，实际意义得到正确的结论．
二、填 空 题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案没有）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案没有）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，将线段沿轴向右平移，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________．
【正确答案】（3，2）
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【详解】∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），
∵−1＋3＝2，
∴0+3=3，
∴A′（3，2），
故（3，2）.
本题考查了坐标与图形变化−平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
11. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
【正确答案】16
【详解】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．
12. 抛物线点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
【正确答案】直线x=1
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x==1．故答案为直线x=1．
13. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
【正确答案】π
【详解】解：如图，连接OA、OB．∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，弧AB的长为=π．故答案为π．
14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
【正确答案】4
【分析】应用勾股定理求出AB，再由求出BE，问题可解
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB==10．
由折叠的性质得：BE=BC=6，
则AE=AB﹣BE=10-6=4．
故答案为4．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
【正确答案】将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位（答案没有）
【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．故答案为将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．
16. 阅读以下作图过程：
步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆(如图)；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，没有写画法)，并写出点M表示的数为______．
【正确答案】作图见解析，
【详解】解：如图，点M即为所求．连接AC、BC．由题意知：AB=4，BC=1．∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC===，∴点M表示的数为.故答案为．
点睛：本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．
三、解 答 题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 计算：．
【正确答案】
【详解】试题分析：将角的三角函数值代入求解即可．
试题解析：解：原式．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【正确答案】（1）；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y=a（x+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象．
试题解析：解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）2﹣4，把点（0，3）代入y=a（x+1）2﹣4得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4；
（2）如图所示：
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求BC的长．
【正确答案】
【详解】试题分析：先在Rt△ABD中利用cosA的定义可计算出AD的长，再利用勾股定理解答即可．
试题解析：解：∵AC=AB，AB=10，∴AC=10．在Rt△ABD中，∵cosA=，∴AD=8，∴DC=2，∴BD= =6，∴BC==．
20. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB﹣OE即可．
【详解】（1）∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠A=∠BCD；
（2）连接OC．
∵直径AB⊥弦CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，
∵OC=5，CE=4，
∴OE==3，
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
．
21. 尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
【正确答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质勾股定理得出正方形ABCD的边长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．
∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，
∴∠AOB=90°，
∴AB==．
此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
22. 某校初三数学兴趣小组的同学进行社会实践时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果，参考数据:，，)．
【正确答案】米
【分析】首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题；
【详解】解：由题意：，，，，
∵，，
，
在中，
∵，，
．
，
，
，
．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型．
四、解 答 题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的距离是5m．
（1）讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的（如图），你选择的是 （填一，二，或三），则B点坐标是 ，求出你所选中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【正确答案】(1) 1; B（5,0）; ;(2) 3.2m.
【详解】试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．
试题解析：解：1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
2：（1）点B坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
3：（1）点B的坐标为（5， ），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
试题解析：解：（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．
点睛：本题考查了切线的判定与性质：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
25. 小明根据学习函数的，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有个互没有相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于x的方程有4个互没有相等的实数根，则a的取值范围是________．
【正确答案】（1）m=0；（2）答案见解析；（3）图像关于y轴对称，（答案没有）；（4）；（5）
【详解】试题分析：（1）把x=2代入计算即可；
（2）用光滑的曲线把点顺次连接即可；
（3）观察图象即可得出结论；
（4）观察图象即可得出结论；
（5）配方得到函数的最小值，图象，即可得出结论．
试题解析：解：（1）当x=2时，m=；
（2）作图如下：
（3）观察图象可知：图像关于y轴对称（答案没有）．
（4）观察图象可知：当x2＞x1＞2时， y1＜y2 ；
（5），∴y.由图象可知，当时，直线y=a与图象有4个交点，故．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．
【正确答案】（1）A（0，－3），B（1，0）；（2）y=x2－2x－3；（3）．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；
（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；
试题解析：解：（1）∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；
∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵∠ACB=45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y=mx2﹣2mx﹣3
得出m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（3）如图，当直线l1点A时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2点C时，直线AB的解析式为y=3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4时，x=﹣．
此时，x1=x2=1，x3=﹣，此时x1+x3+x2=，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，∴．
点睛：本题是二次函数综合题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形”的数学思想，降低了解题的难度．
五、解 答 题（共2道小题，每小题7分，共14分）
27. 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.
（1）以点C为旋转，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为 .
【正确答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【详解】试题分析：（1）根据题意补全图形；
（2）由旋转的性质得到∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，进而得到∠CAD+∠E=90°，即可的得到结论；
（3）易证△ADC∽△BDF，△ADB∽△CDF，由相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：解：（1）补全图形如下：
（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．
（3）∵∠ACB=∠DFB=90°，∠CDA=∠FDB，∴△ADC∽△BDF，∴，∴．∵∠ADB=∠CDF，∴△ADB∽△CDF，∴，∴，
∴，∴CF=．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的距离；若，则称为点P的距离．
例如：点P到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的距离为.
（1）①点A（2，）的距离为________；
②若点B的距离为，则的值为________；
（2）若点C在直线上，且点C的距离为，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
【正确答案】（1）①5；②±5；（2）点C或；（3）.
【分析】（1）①直接根据“距离”的定义，其最小距离为“距离”；
②点B（a，2）到x轴的距离为2，且其“距离”为5，所以a=±5；
（2）根据点C的“距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的距离为5．
【详解】解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2．
∵2＜5，
∴点A的“距离”为5．
②∵点B（a，2）“距离”为5，
∴a=±5；
故答案为5，±5．
（2）设点C的坐标（x，y），
∵点C的“距离”为5，
∴x=±5或y=±5，
当x=5时，y=﹣7，
当x=﹣5时，y=3，
当y=5时，x=﹣7，
当y=﹣5时，x=3，
∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的距离为5，
∴5≤r≤．
本题是函数综合题，考查了“距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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