第十章综合训练

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第十章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站,假定这个停靠站在同一时刻只能停靠一辆汽车,有一位乘客需乘3路或6路车到厂里.已知3路车、6路车在5分钟内到此停靠站的概率分别为0.2和0.6,则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.2 B.0.6 C.0.8 D.0.12
答案C
解析由已知乘3路车、6路车彼此互斥,故乘客在5分钟内乘到车的概率为0.2+0.6=0.8.
2.(2021福建漳州期末)甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是(　　)
A.13 B.12 C.23 D.56
答案C
解析甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有3×3=9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有3+3=6种,故所求概率为P=69=23.
3.(2021山东青岛期末)甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1,2,5,6,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数是3,4,从乙箱子中随机摸出1个球,则摸出红球的概率为(　　)
A.310 B.25 C.35 D.710
答案C
解析掷到点数为1,2,5,6的概率为46=23,从甲箱子摸到红球的概率为510=12,掷到点数为3,4的概率为26=13,从乙箱子摸到红球的概率为810=45,故摸出红球的概率P=23×12+13×45=35.
4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　)
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636
6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
6011 3661 9597 7424 7610 4281
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55
答案A
解析在20组数据中,至少击中3次的为7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为820=0.4.
5.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数T
不大
于30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
110
16
13
730
215
130

其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50 A.118 B.23 C.35 D.56
答案C
解析空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为110+16+13=35.
6.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　)
A.45 B.35 C.25 D.15
答案D
解析该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15个样本点,b>a包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是315=15.
7.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(　　)
A.P(A) B.P(A)=P(B)
C.P(A)>P(B)
D.视m,n的大小而定
答案A
解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,
P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(m+n)2+mn(m+n)2=2mn(m+n)2.
设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2(m+n)2+n2(m+n)2=m2+n2(m+n)2.
由于m≠n,故2mn 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
8.一个质地均匀的正四面体,四个面分别标有数字1,2,3,4,抛掷这个正四面体一次,观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω={1,2,3,4},设事件E={1,2},事件F={1,3},事件G={2,4},则(　　)
A.E与F不是互斥事件 B.F与G是对立事件
C.E与F是独立事件 D.F与G是独立事件
答案AB
解析根据题意,事件E={1,2},即正四面体与地面接触的面上的数字为1或2,事件F={1,3},即正四面体与地面接触的面上的数字为1或3,事件G={2,4},即正四面体与地面接触的面上的数字为2或4,依次分析选项:对于A,当正四面体与地面接触的面上的数字为1时,事件E,F都发生,则E与F不是互斥事件,A正确;对于B,F与G一定有且只能有1个发生,是对立事件,B正确;对于C,E与F不是独立事件,C错误;对于D,F与G不是独立事件,D错误.
9.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法错误的是(　　)
A.甲获胜的概率是16
B.甲不输的概率是12
C.乙输了的概率是23
D.乙不输的概率是12
答案BCD
解析∵甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,
∴甲获胜的概率是1-12−13=16,故A正确;
甲不输的概率是1-13=23,故B不正确;
乙输了的概率是1-13−12=16,故C不正确;
乙不输的概率是12+13=56.故D不正确.
故选BCD.
10.以下对各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13
B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是12
答案BCD
解析对于A,画树形图如下:

从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=13,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,设x1,x2分别为取得的2个素数,则(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)},共15种结果,其中和等于14的只有(3,11),所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;
对于C,总共有6×6=36(种)情况,设A=“点数之和是6”,则A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5种情况,则所求概率是536,故C正确;
对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,设x1,x2分别表示取出的两件产品,则(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B)},共6个样本点,设A=“两件都是正品”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个样本点,则所求概率为P=36=12,故D正确.
11.(2021山西吕梁期末)如图,由A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0
A.甲系统正常工作的概率为8p4
B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4
C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2
D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
答案BD
解析甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少一个元件不能正常工作,∴甲系统正常工作的概率为P=1-(1-p2)(1-p2)=2p2-p4,故A错误,B正确;乙系统正常工作的情况为:A1,A2中至少一个元件能正常工作,且A3,A4中至少一个元件能正常工作,∴乙系统正常工作的概率为P=[1-(1-p)2][1-(1-p)2]=p4-4p3+4p2,故C错误;∵0 三、填空题
12.下列试验是古典概型的为　　　　. 
①从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
答案①②④
解析在①中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;
在②中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;
在③中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故③不是古典概型;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.
13.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有　　　　　条鱼. 
答案750
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n×50=2,∴n=750.
14.为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念,我市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60),[60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在[50,60)内的概率为　　　　　. 

答案710
解析由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,
解得a=0.030,b=0.015.∵[50,60),[60,70)两段频率比为0.1∶0.15=2∶3,
∴按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,
从分数在[60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.
∴该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,
其中,至少有1人的分数在[50,60)内包含的样本点有7个,
∴至少有1人的分数在[50,60)内的概率P=710.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.
(1)求满足条件“xy为整数”的事件的概率;
(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.
解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16种情况.
(1)记“xy为整数”为事件A,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8种情况,则P(A)=816=12.
(2)记“x-y<2”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共13种情况,则P(B)=1316.
16.(12分)某班倡议暑假期间每位同学每天至少进行1小时的体育锻炼.为了解同学们的锻炼情况,对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查,调查结果如表:
一周锻炼时长/小时
5
6
7
8
9
男生人数/人
1
2
4
3
4
女生人数/人
3
8
5
3
1

(1)试根据上述数据,分别求出这个班男生、女生在该周的平均体育锻炼时长;
(2)若从该周锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动,求选到男生和女生各1人的概率.
解(1)这个班男生在该周的平均体育锻炼时长为
5×1+6×2+7×4+8×3+9×41+2+4+3+4=7.5(小时),
这个班的女生在该周的平均体育锻炼时长为
5×3+6×8+7×5+8×3+9×13+8+5+3+1=6.55(小时).
(2)本周锻炼8小时的学生中有男生3人,设为a,b,c,女生3人,设为d,e,f,从这6人中任选2人的所有结果为:(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,选到男生和女生各1人的所有结果为:(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),共9种,∴选到男生和女生各1人的概率P=915=35.
17.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,
得到最高气温位于区间[20,25)内和最高气温低于20 ℃的天数为2+16+36=54.
根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.
如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶,
如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶,
如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶,
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=5490=35.
(2)当最高气温大于等于25 ℃时,需求量为500,Y=450×2=900(元);
当最高气温位于区间[20,25)内时,需求量为300,Y=300×2-(450-300)×2=300(元);
当最高气温低于20 ℃时,需求量为200,
Y=400-(450-200)×2=-100(元).
当最高气温大于等于20 ℃时,Y>0,
由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20 ℃的天数为90-(2+16)=72,
∴估计Y大于零的概率P=7290=45.
18.(2021天津河西期末)甲、乙两位同学参加某高校的入学面试.入学面试中有3道难度相当的题目,已知甲答对每道题目的概率都是35,乙答对每道题目的概率都是12.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的,且甲、乙两人互不影响.
(1)求甲第二次答题通过面试的概率;
(2)求乙最终通过面试的概率;
(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.
解(1)设甲第二次答题通过面试为事件A,则P(A)=1-35×35=625.
(2)设乙最终通过面试为事件B,对立事件为乙最终没通过面试,
∵P(B)=1-12×1-12×1-12=18,
∴P(B)=1-18=78.
(3)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C,对立事件为甲、乙两人都没有通过面试,
∵P(C)=1-35×1-35×1-35×18=1125,
∴P(C)=1-1125=124125.
19.(1)掷两枚质地均匀的骰子,计算点数和为7的概率;
(2)利用随机模拟的方法,试验120次,计算出现点数和为7的频率;
(3)所得频率与概率相差大吗?为什么会有这种差异?
解(1)设第一枚骰子向上的点数记为x1,第二枚骰子向上的点数记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,
∴概率P=636=16.
(2)试验120次后得到结果如下表格:
63
51
35
66
42
54
66
42
64
22
46
36
42
26
55
53
51
12
32
24
62
52
32
12
63
61
31
12
22
64
64
12
51
23
52
46
25
32
65
41
31
31
15
43
13
52
42
15
52
26
22
61
65
42
25
14
42
11
25
42
26
62
36
41
62
34
31
31
16
24
64
34
22
45
62
54
16
34
22
64
12
23
54
41
54
52
21
45
35
66
13
65
11
14
41
51
54
32
36
44
52
42
15
52
26
22
61
65
42
25
53
52
16
32
24
62
52
32
12
63

规定每个表格中的第一个数字代表第一枚骰子出现的数字,
第二个数字代表第二枚骰子出现的数字,从表格中可以查出点数和为7的有23个数据,∴点数和为7的频率为23120≈0.19.
(3)由(1)中点数和为7的概率为16≈0.17,由(2)点数和为7的频率为23120≈0.19,两者相差虽然不大,但有一定差异.
一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.
20.某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:
同学
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9

(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解(1)设x1,x2分别表示从身高低于1.80的同学中任选的2人,则数组(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设A=“选到的2人身高都在1.78以下”,则A={(A,B),(A,C),(B,C)},共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.
(2)从该小组同学中任选2人,则该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.
设B=“选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)内”,则B={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=310.