第九章综合训练

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第九章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.一组数据分成5组,第一,三组的频率之和为0.24,第四组的频率是0.5,第二,五组的频率之比为3∶10,那么第二,五组的频率分别为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.2,0.06 B.0.6,0.02
C.0.06,0.2 D.0.02,0.6
答案C
解析∵各个小组的频率和是1,
∴第二,五组的频率之和为1-0.24-0.5=0.26;
又第二,五组的频率之比为3∶10,
∴第二组的频率是0.26×313=0.06,
第五组的频率是0.26-0.06=0.2,故选C.
2.某婴幼儿奶粉事件发生后,质检总局紧急开展了关于液态奶三聚氰胺的专项检查.假设甲,乙,丙三家公司生产的某批次液态奶分别是2 400箱,3 600箱和4 000箱,现从中抽取500箱进行检验,则这三家公司生产的液态奶依次应被抽取的箱数是(　　)
A.120,180,200 B.100,120,280
C.120,160,220 D.100,180,220
答案A
解析每个个体被抽到的概率等于5002 400+3 600+4 000=120,故甲,乙,丙三家公司依次应被抽取的液态奶箱数为2 400×120=120,3 600×120=180,4 000×120=200,故选A.
3.某企业六月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别
A
B
C
产品数量/件

1 300

样本量

130
a

由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10,请你根据以上信息确定表格中a的值是(　　)
A.70 B.80 C.90 D.100
答案B
解析设样本的总量为x,则x3 000×1 300=130,
∴x=300.∴A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).
由表格知,C产品的样本量为a,
则a+a+10=170,∴a=80.故选B.
4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民,他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数是(　　)
A.7 B.7.5
C.8 D.8.5
答案C
解析由题意,这10个人的幸福指数已经从小到大排列,因为75%×10=7.5,所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数,即8.
5.数据a1,a2,a3,…,an的方差s2,则数据2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的标准差是(　　)
A.s B.2s C.2s D.4s2
答案C
解析∵数据a1,a2,a3,…an的方差s2,
∴数据2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的方差是4s2,∴数据2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的标准差是2s,故选C.
6.以下是四个频率分布直方图,你认为平均数大于中位数的是哪一个(　　)

答案B
解析一般对于单峰的频率分布直方图,平均数大于中位数的是直方图在右边“拖尾”.故选B.
7.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特邀嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照[70,80),[80,90),[90,100]分组,绘成频率分布直方图如下:
嘉宾
A
B
C
D
E
F
评分
96
95
96
89
97
98


嘉宾评分的平均数为x1,场内外的观众评分的平均数为x2,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x,则下列选项正确的是(　　)
A.x=x1+x22 B.x>x1+x22
C.xx2>x>x1+x22
答案C
解析由表格中的数据可知,x1=96+95+96+89+97+986≈95.17,由频率分布直方图可知,x2=75×0.2+85×0.3+95×0.5=88,则x1>x2,因为场外有数万名观众,所以x2 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
8.(2021广东汕尾期末)某市举办“口语易”英语口语竞赛,已知某选手平均得分为8.5分,12位评委对其评分具体如下(满分10分):7.0,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则下列说法正确的是(　　)
A.第75百分位数为9.1
B.中位数为8.3
C.极差为3
D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位同学的平均得分
答案CD
解析∵12×75%=9,∴第75百分位数为第9个数和第10个数的平均数,为9.1+9.22=9.15,∴A错误;
∵中位数为8.3+8.52=8.4,∴B错误;
∵极差为10-7=3,∴C正确;
∵x=7+7.5+7.8+7.8+8.2+8.3+8.5+8.7+9.1+9.2+9.9+1012=8.5,
y=7.5+7.8+7.8+8.2+8.3+8.5+8.7+9.1+9.2+9.910=8.5,
∴D正确.故选CD.
9.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个样本量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是(　　)

A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生,则一定有600人支出在[50,60)内
答案BC
解析由频率分布直方图,得
在A中,样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;
在B中,样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60+60=132,故B正确;
在C中,n=600.03×10=200,故n的值为200,故C正确;
在D中,若该校有2 000名学生,则可能有600人支出在[50,60)内,故D错误.
10.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前[如直方图(1)所示]后[如直方图(2)所示]的体重(单位:kg)变化情况.

对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是(　　)
A.他们健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2人
B.他们健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化
C.他们健身后,20人的平均体重大约减少了8 kg
D.他们健身后,原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都有减少
答案AD
解析体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A正确;他们健身后,体重在区间[100,110)内的百分比没有变,但人员组成可能改变,故B错误;他们健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C错误;因为图(2)中没有体重在区间[110,120]内的人员,所以原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D正确.
11.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩,现只知他们从第1次到第5次联考成绩所在区间段分布的条形图(从左至右依次为第1至第5次),则从图中可以读出一定正确的信息是(　　)

A.甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数
B.甲同学的成绩的中位数在115到120之间
C.甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差
D.甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数
答案BD
解析对于A,甲同学的成绩的平均数x甲≤15×(105+120×2+130+140)=123,
乙同学的成绩的平均数x乙≥15×(105+115+125+135+145)=125,故A错误;由题图知,B正确;对于C,由题图知,甲同学的成绩的极差介于[30,40]之间,乙同学的成绩的极差介于[35,45]之间,所以甲同学的成绩的极差不一定小于乙同学的成绩的极差,故C错误;对于D,甲同学的成绩的中位数在[115,120]之间,乙同学的成绩的中位数在[125,130]之间,所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数,故D正确.
三、填空题
12.在距离春晚直播不到20天的时候,某媒体报道,由某明星演出的《猴戏》节目被毙,为此,某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查,得到如下数据:
网民态度
支持
反对
无所谓
人数(单位:人)
8 000
6 000
10 000

若采用分层随机抽样的方法从中抽取48人进行座谈,则应从持“支持”态度的网民中抽取的人数为　　　　　. 
答案16
解析每个个体被抽到的概率等于
488 000+6 000+10 000=1500,∴1500×8 000=16.
13.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩,5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.
①这种抽样方法是一种分层随机抽样;
②这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差;
③该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.
则以上说法一定正确的是　　　　　. 
答案②
解析若抽样方法是分层随机抽样,男生、女生分别抽取6人、4人,故①错误;
这5名男生成绩的平均数x男=15×(86+94+88+92+90)=90,
这5名女生成绩的平均数x女=15×(88+93+93+88+93)=91,
∴这5名男生成绩的方差s男2=15×(42+42+22+22+02)=8,
这5名女生成绩的方差s乙2=15×(32+22+22+32+22)=6,故②正确;
由题所给的条件只能得出这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数,不能说明班级总体情况,故③错误.
14.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,14)内的频数为　　　　　;数据落在[2,14)内的频率约为　　　　. 

答案136　0.76
解析∵样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,且样本容量为200,
∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136;数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76.
15.为了解中学生课外阅读情况,现从某中学随机抽取200名学生,收集了他们一年内的课外阅读量(单位:本)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
学生
类别
阅读量
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,+∞)
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中

25
36
44
11
高中







下面有四个推断:
①这200名学生阅读量的平均数可能是26本;
②这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内;
③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内;
④这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内.
所有合理推断的序号是　　　　　. 
答案②③④
解析在①中,由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知,这200名学生的平均阅读量在区间(24.5,25.5)内,故错误;
在②中,200×75%=150,阅读量在[0,30)的人数有7+8+31+29+25+26=126(人),
在[30,40)的人数有62人,所以这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内,故正确;
在③中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,
当x=0时,初中生总人数为116人,1162=58,
此时区间[0,20)有25人,区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,
当x=15时,初中生总人数为131人,1312=65.5,
此时区间[0,20)有15+25=40(人),区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,
当在区间[0,10)内初中人数取最小值和最大值时,中位数都在[20,30)内,所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内,故正确;
在④中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,
当x=0时,初中生总人数为116人,116×25%=29,此时区间[0,20)内有25人,区间[20,30)有36人,所以第25百分位数在[20,30)内,
当x=15时,初中生总人数为131人,131×25%=32.75,区间[0,20)内有15+25=40(人),所以第25百分位数在[0,20)内,
所以这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内,故正确.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75

(1)甲、乙的平均成绩谁较好?
(2)谁的各门功课发展较平衡?
解(1)x甲=15(60+80+70+90+70)=74,
x乙=15(80+60+70+80+75)=73,
故甲的平均成绩较好.
(2)s甲2=15[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,
s乙2=15[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56,
由s甲2>s乙2知乙的各门功课发展较平衡.
17.欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了某年全球主要20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量,结果如下表:
国家和地区
排放总
量/千吨
人均排放
量/吨
国家和地区
排放总
量/千吨
人均排
放量/吨
中国
10 330 000
7.4
沙特阿拉伯
490 000
16.6
美国
5 300 000
16.6
巴西
480 000
2.0
欧盟
3 740 000
7.3
英国
480 000
7.5
印度
2 070 000
1.7
墨西哥
470 000
3.9
俄罗斯
1 800 000
12.6
伊朗
410 000
5.3
日本
1 360 000
10.7
澳大利亚
390 000
16.9
德国
840 000
10.2
意大利
390 000
6.4
韩国
630 000
12.7
法国
370 000
5.7
加拿大
550 000
15.7
南非
330 000
6.2
印度尼西亚
510 000
2.6
波兰
320 000
8.5

则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少?
解把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列:1.7,2.0,2.6,3.9,5.3,5.7,6.2,6.4,7.3,7.4,7.5,8.5,10.2,10.7,12.6,12.7,15.7,16.6,16.6,16.9.
而20×25%=5,所以这20个数的25%分位数为5.3+5.72=5.5.
而20×50%=10,所以50%分位数为7.4+7.52=7.45,
而20×75%=15,所以75%分位数为12.6+12.72=12.65.
所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的四分位数为
25%分位数
50%分位数
75%分位数
5.5吨
7.45吨
12.65吨

18.为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1~1.5小时,C.0.5~1小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:

(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图①中将B对应的部分补充完整.
(3)若该校有3 000名学生,估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
解(1)从题图中知,选A的共60人,占总人数的百分比为30%,
所以总人数为60÷30%=200,即本次一共调查了200名学生.
(2)被调查的学生中,选B的人数为200-60-30-10=100,补充完整的条形统计图如图所示.

(3)3 000×5%=150,估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
19.在某中学举行的电脑知识竞赛中,将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一,第三,第四,第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.

(1)补齐图中频率分布直方图,并求这两个班参赛学生的总人数;
(2)利用频率分布直方图,估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数.
解(1)第二小组的频率为1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,所以补全的频率分布直方图如图.

这两个班参赛学生的总人数为400.40=100.
(2)本次比赛学生成绩的平均数为54.5×0.30+64.5×0.40+74.5×0.15+84.5×0.10+94.5×0.05=66.5.
中位数出现在第二组中,设中位数为x,则(x-59.5)×0.04+0.30=0.50,x=64.5.
所以估计本次比赛学生成绩的平均数为66.5,中位数为64.5.
20.已知一组数据的分组和频数如下:[120.5,122.5),2;[122.5,124.5),3;[124.5,126.5),8;[126.5,128.5),4;[128.5,130.5],3.
(1)作出频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图求这组数据的众数和平均数.
解(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[120.5,122.5)
2
0.1
[122.5,124.5)
3
0.15


续　表
分组
频数
频率
[124.5,126.5)
8
0.4
[126.5,128.5)
4
0.2
[128.5,130.5]
3
0.15
合计
20
1

频率分布直方图如图:

(2)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为125.5.使用“组中值”求平均数:x=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8.
21.(2021陕西商洛期末)某工厂生产了10 000件产品,为了了解这批产品的质量情况,从中随机抽取100件作为样本,测出它们的某一项质量指数按数据分成[10,12],(12,14],(14,16],(16,18],(18,20],(20,22],(22,24]7组,得到如图所示的频率分布直方图.已知当该产品的质量指数在(16,18]内时,该产品为一等品,每件可获利12元;当该产品的质量指数在(14,16]或(18,20]内时,该产品为二等品,每件可获利10元;当该产品的质量指数在(12,14]或(20,22]内时,该产品为合格品,每件可获利8元;当该产品的质量指数在[10,12]或(22,24]内时,该产品为不合格品,每件亏损6元.

(1)估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量;
(2)估计这批产品的总利润.
解(1)由题意可得这批产品中不合格品的频率为(0.02+0.03)×2=0.1,
则该工厂生产的这批产品中不合格品的数量为0.1×10 000=1 000件.
(2)由题意可得这批产品一等品的频率为0.13×2=0.26,产品数量为0.26×10 000=2 600件,
二等品的频率为(0.10+0.09)×2=0.38,新产品数量为0.38×10 000=3 800件,
合格品的频率为(0.06+0.07)×2=0.26,产品数量为0.26×10 000=2 600件,
故这批产品的总利润为2 600×12+3 800×10+2 600×8-1 000×6=84 000元.