综合素养评价（二）立体几何初步

综合素养评价（二）立体几何初步

1.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这 个平面图形的面积是                                                                                    (　　)

A.　　　　　　　　　 B．1

C.  D．2

解析：选D　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∴Rt△O′A′B′的直角边长是.

∴Rt△O′A′B′的面积是××＝1.

∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.

2．(多选)下列命题正确的是          (　　)

A．若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行

B．垂直于同一个平面的两条直线平行

C．空间中垂直于同一直线的两条直线相互平行

D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

解析：选BD　当两个平面相交时，一个平面内的两条平行于它们交线的直线也平行于另一个平面，故A不正确；由线面垂直的性质定理知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故C不正确；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确．

3.《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何？”译文为：“今有上、下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺)                                                                                                      (　　)

A．45 000立方尺  B．52 000立方尺

C．63 000立方尺  D．72 000立方尺

解析：选B　进行分割如图所示，

V＝2(VA­A1MNE＋VAMN­DPQ＋VD­PQFD1)＋VBCGH­ADFE

＝2××15×6×65×2＋×65×15×8＋×40＝52 000(立方尺)．

4.如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是                                                                          (　　)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

解析：选D　选项A、B、C显然错误．因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB.因为tan∠PDA＝＝＝1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.

5．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是   (　　)

A．平行  B．相交但不垂直

C．相交垂直  D．异面垂直

解析：选D　

如图，PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BD.又四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.∵PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.

∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，

∴PA与BD异面垂直．故选D.

6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为    (　　)

A. B.

C.  D.

解析：选A　如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a， 设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．

∵AO＝×a＝a，

∴cos∠SAO＝＝.

7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．

解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，

所以DE∥PA.

又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以DE∥平面PAC.

答案：平行

8．已知直二面角α­l­β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离为__________．

解析：如图，作DE⊥BC于点E.由α­l­β为直二面角，AC⊥l，得AC⊥β，进而AC⊥DE.又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是DE⊥平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，利用等面积法得

DE＝＝＝.

答案：

9.如图，在棱长均相等的正四棱锥P­ABCD 中，O为底面正方形的中心， M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.

其中正确结论的序号是__________．

解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误．

答案：①②③

10.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：

如图，连接BD交AC于点O，连接FO，

则PF＝PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点．∴OF∥PD.

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，

∴OF∥平面PMD.

又MA綉PB，∴PF綉MA.

∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.

又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，

∴平面AFC∥平面PMD.

11.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的度数；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．

解：(1)∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面B′BCC′，OC⊂平面B′BCC′，∴OC⊥AB.

又OC⊥BO，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.

∵OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，

则sin∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.

(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面B′BCC′⊥平面ABCD，

∴OE⊥平面ABCD.

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝，

AE＝ ＝，∴tan∠OAE＝＝.

(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

12．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

(1)求证：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．

解：(1)证明：在题图①中，

因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，

∠BAD＝90°，所以BE⊥AC.

所以在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC.

又A1O∩OC＝O，所以BE⊥平面A1OC，

又由题知CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知及(1)知，平面A1BE⊥平面BCDE，

且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，A1O⊥BE，

所以A1O⊥平面BCDE，

即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．

由题图①知，A1O＝AB＝a，

平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.

从而四棱锥A1­BCDE的体积

V＝·S·A1O＝·a2·a＝a3，

由a3＝36，得a＝6.