高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积同步达标检测题

课时跟踪检测  （二十二）  圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

层级(一)　“四基”落实练

1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是  (　　)

A．4π　　　         B．3π　　　      

C．2π　　　        D．π

解析：选C　易知得到的几何体为圆柱，底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.

2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为                                                                                                                              (　　)

A．7                B．6      C．5      D．3

解析：选A　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.

3．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为          (　　)

A.πR3                 B.πR3               C.πR3             D.πR3

解析：选A　设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3.故选A.

4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为    (　　)

A．2   B．2

C．4   D．8

解析：选C　圆台的轴截面如图，

由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.故选C.

5．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为  (　　)

A．1∶2　　　　　　　 B．1∶

C．1∶   D.∶2

解析：选C　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，

∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，

S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.故选C.

6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．

解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.

答案：6π

7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．

解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.

答案：2

8．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？

解：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，

故S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．

圆台的高h＝BC

＝

＝＝4(cm)，

故V圆台＝h(S＋＋S′)

＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．

层级(二)　能力提升练

1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是      (　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　设圆柱底面半径为r，高为h，

则∴r＝，h＝.

∴V＝πr2·h＝π2·＝.

故选D.

2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是                                                               (　　)

A．54   B．54π

C．58   D．58π

解析：选A　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，

∴πr2h1＝12.

令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，

∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.故选A.

3．圆柱内有一个内接长方体ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.

解析：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长  方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，

则所以

即圆柱的底面半径为5 cm，高为 10 cm.

答案：5　10

4．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，如果梯形ABCD绕着BC边所在直线旋转一周，求旋转体的表面积和体积．

解：如图所示，所求旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成．由  条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝a，DC＝2a，

所以该旋转体的表面积为：

S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧

＝π·(a)2＋2π·a·a＋π·a·2a

＝3πa2＋2πa2＋2πa2

＝(3＋4)πa2，

该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱

＝π(a)2·a＋π(a)2·a＝4πa3.

所以该旋转体的表面积为(3＋4)πa2，体积为4πa3.

5．有位油漆工用一把滚筒长度为50 cm，横截面半径为10 cm的刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且滚筒刷以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到1 s)

解：滚筒刷滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积．

因为圆柱的侧面积S侧＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，

且滚筒刷以每秒5周的速度匀速滚动，

所以滚筒刷每秒滚过的面积为0.5π m2.

所以油漆工完成任务所需的时间t＝＝≈6.366(s)．故油漆工完成任务所需的时间约是7 s.

层级(三)　素养培优练

如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.

(1)求这种“笼具”的体积；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？

解：(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，根据题意可知2πr＝24π，所以r＝12 cm，则h1＝＝16(cm)，

所以这种“笼具”的体积V＝πr2h－πr2h1

＝π＝3 552π(cm)3.

(2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π(cm2)，

圆柱的底面积S2＝πr2＝144π(cm)2，

圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π(cm2)，

所以这种“笼具”的表面积S＝S1＋S2＋S3＝1 104π(cm)2，

故造50个“笼具”共需＝(元)．