2022-2023学年河南省信阳市高中高一上学期1月测试（二）数学试题（含解析）

信阳市高中2022-2023学年高一上学期1月测试（二）

数学试题

一、单选题（每小题5分，8小题，共40分）

1.已知集合，则A中元素的个数为

A. 4 B. 5C.6D.无数个

2.若对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如那么“[x]=[y]”是“”的

A.充分不必要条件       B.必要不充分条

C.充要条件D. 既不充分也不必要条件

3.已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为

A.B.C.D.

4.函数的图像大致是

5.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则

A.B.

C.D.

6.若两个正实数×，J满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是

A.      B.    C.    D.

7.若不等式恒成立，则实数a的范围是

A. B.C.D.

8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a（0<a<r）的弧度数为（ ）.

A.         B.        C.       D.

二、多选题（每小题5分，4小题，共20分）

9.设函数，则下列命题中正确的是（ ）

A. 函数的定义域为R      B.函数是增函数

C. 函数的值域为R        D.函数的图像关于直线对称

10.已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）

A.当k>0时，有3个零点       B.当k<0时，有2个零点

C.当k>0时，有4个零点       D.当k<0时，有1个零点

11.已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

12.已知正数满足，则下列说法中正确的是（ ）

A.     B.     C.     D.

三、填空题（每小题5分，4小题，共20分）

13.函数的定义域为.

14.设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为.

15.已知，则.

16.若函在区间上单调递减，则实数的取值范围是.

四、解答题

17.已知函数

（1）判断函数的奇偶性并加以证明；

（2），不等式成立，求实数的取值范围.

18.设函数.

（1）若对任意，使得成立，求实数的取值范围；

（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围.

19.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好：当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②；③；其中均为常数.当时，，其中为常数.研究过程中部分数据如下表：

（1）指出模型①②③中最能反映和关系的一个，并说明理由；

（2）求出与的函数关系式；

（3）求该新合金材料的含量为多少时，产品的性能达到最佳.

20.已知函数.

（1）求函数在上的零点；

（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围.

21.已知函数是奇函数

（1）求的值；

（2）若，且求的取值范围

22.已知函数

（1）对任意的，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；

（2）对任意的，若不等式任意恒成立，求实数的取值范围.

信阳市高中2022-2023学年高一上学期1月测试（二）

数学答案

1. C

解：. 故集合A中含有6个元素；故选：C

2.A

解：如果，则有，，所以是的充分条件；反之，如果，比如，则有，根据定义，，即不是必要条件，故是的充分不必要条件；故选：A.

3.D

解在上单调递减，又为偶函数，解得或，的解集为，故选：D.

4. A

解：函数的定义域为

当时，，可知选项D错误；当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误。选项A正确，故选：A.

5.D

解：由题意可知，故函数是周期函数，且周期为8，则，因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，故函数在区间上为增函数，所以，即.故选：D.

6.C

解：，

，当且仅当，时等号成立，所以，解得或，所以m的取值范围是.故选：C

7.D

解：题设不等式化为，即，，已知减函数，时，，所以由不等式上恒成立得a≤1.故选：D.

8.C

解：不妨设等边△ABC的外接圆的半径为2，取BC的中点D，连接OD，OC，则∠OCB=30°.由于OD⊥BC，在Rt△OCD中，边长.设该圆弧所对圆心角的弧度数为，则由弧长公式可得.故选：C

9.AD

解：A正确，恒成立，∴函数的定义域为R；

B错误，函数在上是增函数，在上是减函数；

C错误，由式可得，

∴函数的值域为，D正确，函数的图像关于直线对称，故选：AD.

10.CD

解：令.得.设，则方程等价为f（t）=-1，

①若k>0，作出函数f（x）的图象如图：

∵f（t）=-1，

∴此时方程f（t）=-1有两个根其中，由，此时x有两解，由知此时x有两解，此时共有4个解，即函数有4个零点.

②若k<0，作出函数f（x）的图象如图

∵f（t）=-1，此时方程f（t）=-1有一个根，其中，由，此时x只有1个解，即函数有1个零点．故选：CD．

11.ACD

解：当m=1，n=0时，，

当且仅当a=b=2时取等号，解得ab≥4，故A正确；

，当且仅当a=b=2时取等号，解得a+b≥4，故B错误；

当m=0，n=1时，.所以，当取仅当时取等号.所以C正确，

当m=1，n=-1时，，当且仅当a=b时取等号，解得，故D正确.故选：ACD.

12.ACD

解：正数x，y，z满足，设，

则.对于A，，A正确；

对于B，，，故B错误；

对于C，由，两边平方，可得，故C正确；

对于D，由，可得，故D正确. 故选：ACD

13.

解：由题意得解得：，所以函数的定义域是

14.1

解：由题意知，，设，则f（x）=g（x）+1，因为，所以g（x）为奇函数，g（x）在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0，故M+N=2，所以.故答案为：1

15.

解：分子分母同除以得：

16.

解：函数的图像是将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数的图象恒过点（1，0）.当0<a<1时，结合函数f（x）的图象：若函数F（x）在区间上单调递减，则解得，当a>1时，结合函数的图象：若在区间上单调递减.则，无实数解。综上，实数a的取值范围为

17.（1）解：函数f（x）为奇函数，证明如下：

在中，定义域为，

∵，

∴为R上的奇函数；

（2）解：∵，在定义城上单调递增，且，又在上单调递增，所以在R上单调递增

则不等式恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

∴恒成立，即恒成立，

∴解得a＞1，所以a的范围为.

18.解（1）解：要使，对任意x∈R恒成立，

若m=0，显然-1＜0，满足题意；若m≠0，则，解得，综上，，即m的取值范围是.

（2）当时，恒成立，

即当时，成立.

∵，且

∴

∵在上的最小值为

∴只需即可，即实数的取值范围为.

19.解】（1）模型①最能反映y和x（0≤x＜7）的关系，

由题可知x=0时，y=-4，显然模型③不合题意，

若为模型②，则不合题意，

故模型①最能反映y和x（0≤x<7）的关系；

（2）当0≤x＜7时，，

由x=0，y=-4可得c=-4，

由x=2，y=8得4a+2b=12，

由x=6，y=8得36a+6b=12，

解得a=-1，b=8，

∴，

当x≥7时，，由，可得

解得，即有，

综上，可得

（3）当0≤x＜7时，，

即有x=4时，性能指标值取得最大值12；

当x≥7时，单调递减，

∴当x=7时，性能指标值取得最大值3；

综上可得，当x=4时产品的性能达到最佳.

20.解（1）由，得.

令，

∵，

∴，

则原式可转化为，

化简为，

解得t=1或t=2（舍去），

∴，

∴x=2，即函数在【1，4】上的零点为x=2.

（2）

令，

∵，

∴，

令h（x）=0，得

∵

∴

,即实数k的取值范围为

21.解（1）∵f（x）是奇函数，且定义域为，

∴f（-1）=-f（1），

即

解得：

经检验是奇函数

（2）由（1）得，

又，即，解得，

综上，.

22.解（1）由，由对勾函数的性质得函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，

∴

又，

∴，

又函数在区间上的最大值为，

∴即

解得m≥a，所以m≥6；

（2）∵不等式任意恒成立，

即，

设，

在单调递增，

即在上单调递增，

当时，，

①当k=-1时，单调递增，成立；

②当k＜-1时，单调递增，成立，

③当k＞-1时，只需，即

当时，

①当k=1时，在上递减，所以k=1不成立；

②当k＞1时，在上递减，所以k＞1不成立；

③当k＜1时，只需，即

∴

综上所述，.