2022-2023学年河南省商丘市部分学校高一上学期阶段性测试（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省商丘市部分学校高一上学期阶段性测试（二）数学试题

一、单选题

1．集合的子集的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】先解方程得到集合元素的个素，再利用集合子集的个数公式即可得解.

【详解】因为，有2个元素，

所以集合的子集的个数为.

故选：D.

2．不等式成立的充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求解分式不等式得到，进而根据充分不必要条件的概念，结合选项即可求出结果.

【详解】因为等价于，解得，

结合选项可知不等式成立的充分不必要条件可以是，

故选：B.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将代入求解即可.

【详解】，令得：.

故选：C

4．某企业对员工的奖励y（单位：万元）与该企业的年产值x（单位：万元，）符合函数模型（k为常数）．若该企业的年产值为100万元，则对员工的奖励为8万元，若对员工的奖励为27万元，则该企业的年产值为（    ）

A．10000万元 B．1000万元 C．500万元 D．300万元

【答案】B

【分析】由题意，代入已知条件，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，函数过点，则，解得，

故，令，则，解得，

故选：B.

5．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的定义域为R，由，对恒成立求解.

【详解】解：因为函数的定义域为R，

所以，对恒成立，

当时，，成立；

当时，，

解得，

综上：实数a的取值范围是

故选：D

6．函数在上的最大值是（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】先对函数化简，然后分和两种情况求其最大值即可.

【详解】，

当时，，

由，得，

所以当时，取得最大值；

当时，，

由，得，

所以当时，取得最大值，

综上的最大值为2，

故选：C.

7．已知定义在R上的函数是奇函数，且，，则（    ）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的周期性进行求解即可.

【详解】因为函数是奇函数，

所以，因此由

，

所以函数是以4为周期的函数，

，

因为函数是奇函数，

所以，因此，

，

于是，

故选：A

8．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】换元法转化得在上有解，然后参数分离解决即可.

【详解】由题知，在区间上有零点，

令，

所以在上有解，

所以，在上有解，

因为，根据满足对勾函数特点，可作下图

由图知在上单调递增，

所以

的最小值为；

的最大值为；

所以实数的取值范围是

故选：C

二、多选题

9．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果.

【详解】对于A，因为，所以，则，则故选项A错误；

对于B，因为，所以，

则，则选项B正确；

对于C，因为，所以，则，

故选项C正确；

对于D，因为，所以，则，故选项D错误，

故选：BC.

10．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．若,则

【答案】ACD

【分析】关于A,B将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出,然后两边取对数,再展开即可判断正误.

【详解】解:由题知关于选项A:

,

故选项A正确;

关于选项B:

,

故选项B错误;

关于选项C:

,

故选项C正确;

关于选项D:

,,

对等式两边取对数有,

,

即

故选项D正确.

故选:ACD

11．已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都有，且时，，则(    )

A． B．的图象关于原点对称

C．在R上为减函数 D．不等式的解集为

【答案】BC

【分析】根据，令x＝y＝0求出f(0)，令y＝－x判断f(x)奇偶性，由此可判断B；令结合时，即可判断f(x)单调性，由此可判断C；判断与0的大小，根据单调性即可判断A；根据单调性可解D中不等式，从而做出判断．

【详解】已知函数的定义域为R关于原点对称，若对任意实数x，y都有，

①令x＝y＝0，则，

令y＝－x，则，故f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故B正确；

②令，则，

若，即，则，即，

故f(x)在R上为减函数，故C正确；

③，故D错误；

④，∴，故A错误；

故选：BC

12．已知正实数x，y满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据基本不等式可知，，即，所以选项A正确；而可判断B错误；将展开并结合可知C错误；观察D项分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.

【详解】对于A，基本不等式可知，即，所以，即；当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，根据不等式，当且仅当时，等号成立；所以B错误；

对于C，，当且仅当时，等号成立；故C错误；

对于D，根据，观察分母可知为定值，则，当且仅当时，等号成立；故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．若命题，为真命题，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】结合一元二次不等式以及特称命题真假性求得正确答案.

【详解】若命题，为真命题，

则，

化简得：，解得：或.

实数m的取值范围是:.

故答案为：.

14．已知函数，，若的最大值为8，则实数a的值为______．

【答案】4

【分析】由二次函数的图像与性质判断即可

【详解】由或，又的最大值为8，，则.

故答案为：4

15．已知函数则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】分段讨论求解即可

【详解】当时，

所以无解；

当时，

所以

综上所述：不等式的解集为

故答案为：.

16．已知函数，若互不相等，

且，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】不妨设，结合函数图像可得和，从而得出和，则，由，利用对勾函数的性质，即可得出答案.

【详解】

不妨设，由图可得，设，则，且，，，

所以，，即，，

且，即，

，而，设，根据对勾函数的性质，

时，为单调递增函数，故，

所以的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解出集合，当时写出集合，由并集的概念求解即可；

（2）分为与两种情况讨论，求出a的取值范围．

【详解】（1）由题可知，

当时，，

所以．

（2）若，则，解得，满足题意；

若，由得，解得．

综上，实数a的取值范围是．

18．已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称．

(1)求的解析式；

(2)若的定义域为，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数与对数函数图象的关系即可得出答案；

（2）先根据函数的定义域，求出函数的定义域，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）解：因为函数的图象与的图象关于直线对称，

所以与互为反函数，

因为，所以；

（2）解：因为的定义域为，

所以函数中的x需满足，

解得，所以，

令，因为，

所以，，

当时，，当时，，

所以函数在上的值域为．

19．已知函数的定义域为，对任意正实数x，y都有，且当时，．

(1)求证：是上的增函数；

(2)若，求x的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）已知抽象函数，利用，以及函数单调性的定义即可证明；

（2），即，利用函数的单调性和定义域列出不等式组，即可求x的取值范围.

【详解】（1）证明：任取，且，

则．

因为，所以，所以，

即，所以是上的增函数．

（2）解：，即，

由（1）可知是上的增函数，

所以，解不等式组可得，故x的取值范围为．

20．已知函数（且）的图象经过点，．

(1)求函数的解析式；

(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把点、的坐标代入函数解析式解方程组可得答案；

（2）根据的单调性求出，使问题转化为在时有解即可，即在时有解，令，利用单调性定义判断出的单调性，求出的最小值可得答案．

【详解】（1）∵的图象经过点，，

∴∴，，∴；

（2）因为为单调递增函数，所以对任意的，，

若对任意的，总存在，使得成立，

只需在时有解即可，即在时有解，

令，令，所以，

因为，所以，所以，

，则在上是减函数，

令，所以，

因为，所以，所以，

，则在是增函数，

∴的最小值为，∴，即实数m的取值范围为．

21．已知函数．

(1)解关于x的不等式；

(2)若，关于x的不等式在上恒有解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）原不等式等价于，分类讨论与的关系即可求解；

（2）原不等式等价于在上恒有解，令，故恒成立，分为和两种情况讨论，求出，进而得解.

【详解】（1）原不等式即．

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R；

当，即时，解集为．

（2）不等式在上恒有解，即在上恒有解．

令，则函数的图象的对称轴为直线．

若，则恒成立，

则；

若，则，解得．

综上所述，实数a的取值范围为．

22．已知函数．

(1)求的值域；

(2)若不等式对任意的及都恒成立，求实数t的取值范围．

(3)若函数有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由指数函数的值域及反比例函数的单调性可得的值域；

（2）将问题转化为二次不等式的恒成立问题，结合二次函数的值域得到不等式组，解之即可；

（3）将问题转化为二次方程有两个不等正根，利用二次方程根的分布的知识即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，则，即，

所以的值域为．

（2）由题设易知在R上单调递增，

又不等式对任意的及都恒成立，

所以对任意都恒成立，

设函数，

若，则，不符合条件；

若，则的图象开口向下，所以，

解得，所以．

（3）由题可知，方程可化为，

令，则有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，

故有，解得，

故实数m的取值范围为．