河南省信阳市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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2018-2019学年河南省信阳市高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＞2}，则M∩N等于（　　）

A. ∅    B. {x|0＜x＜3}    C. {x|1＜x＜3}    D. {x|2＜x＜3}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用交集运算得答案．

【详解】，

M∩N＝{x|2＜x＜3}．

故选：D．

【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数f（2x）的定义域是（　　）

A. [0，1]    B. [0，1）    C. [0，1]∪（1，4]    D. （0，1）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的定义域可知﹣2≤2x+1＜2，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域．

【详解】∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴0≤2x≤2，

解得：0≤x≤1，

∴函数y＝f（2x）的定义域是[0，1]，

故选：A．

【点睛】本题的考点是抽象函数的定义域的求法，总结两种类型：①已知f（x）定义域为D，则f（g（x））的定义域是使g（x）∈D有意义的x的集合，②已知f（g（x））的定义域为D，则g（x）在D上的值域，即为f（x）定义域．

3.下列各组函数中，表示同一函数的是（  ）

A. 和    B. 和

C.  和     D. 和

【答案】D

【解析】

对于A，和  定义域不相同，不是同一函数；

对于B，和定义域不相同，不是同一函数；

对于C， 和定义域不相同，不是同一函数；

对于D，和定义域相同，对应法则相同，是同一函数》

故选：D

点睛：判断两个函数是否为同一函数需要注意三点：第一点抓定义域是否相同；第二点抓对应法则是否相同；第三点抓值域是否相同.一般只需考虑前两个即可.

4.定义运算，则函数的图象是（    ）．

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用新的定义求解，首先判断2x与1的大小关系，分类讨论.

【详解】∵=，

若x＞0可得，2x＞1，∴f（x）=12x=1；

若x≤0可得，2x≤1，∴f（x）=12x=2x.

故选B．

【点睛】本题主要考查函数单调性的性质，对于新定义的题，注意认真理解题意，是一道基础题.

5.式子经过计算可得到（　　）

A.     B.     C. －    D. －

【答案】D

【解析】

【分析】

利用被开方数非负，推出a的范围，然后求解即可．

【详解】因为，所以a＜0，

所以．

故选：D．

【点睛】本题考查有理指数幂的运算，属于基本知识的考查．

6.若函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且f（3）＝1，则f（x）＝（　　）

A. log3x    B. （）x    C.     D. 3x

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知函数y＝f（x）与函数y＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，求出y＝ax的反函数，再由f（3）＝1求出a值得答案．

【详解】∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，

∴函数y＝f（x）与函数y＝ax（a＞0且a≠1）互为反函数，

由y＝ax（a＞0且a≠1），得x＝logay，

则f（x）＝logax，

由f（3）＝1，得loga3＝1，a＝3．

∴f（x）＝log3x．

故选：A．

【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题．

7.函数f（x）＝的奇偶性为（　　）

A. 是奇函数    B. 是偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数    D. 既不是奇函数又不是偶函数

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数．

【详解】f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，

所以f（x）=-=-f(-x)

∴f（x）为奇函数．

故选：A．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属中档题．

8.函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可。

【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项

当 时， 排除C选项

根据定义域 可排除B选项

所以A选项为正确选项

所以选A

【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题。

9.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是(   )

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，，利用定义在上的偶函数在上递增，可得不等式，从而可求的取值范围．

【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，且.

∵

∴

∵函数在上递增

∴

∴或

∴或

∴的取值范围是

故选B.

【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.

10.设函数，，则函数的零点个数是（   ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

【答案】B

【解析】

函数的零点个数就是函数的图象和函数的图象的交点个数，分别画出函数的图象和函数的图象,如图，由图知，它们的交点个数是，函数的零点个数是,故选B.

【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .

11.如图，平面图形中阴影部分面积S是h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数图象可知，S随着h的增加而减少，并且减小的趋势在减小，可得选项.

【详解】由图中可知，S随着h的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，

故选：D．

【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于基础题.

12.若y＝f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+1，则＝（　　）

A. 7    B.     C. ﹣4    D.

【答案】C

【解析】

【分析】

判断出0，再利用符号转化为大于零，再代入解析式根据“”进行求解．

【详解】∵0，且y＝f（x）是奇函数，

∴f（）

∵当x＞0时，f（x）＝2x+1，∴（1）＝﹣4，

故选：C．

【点睛】本题考查了偶函数的性质和对数运算性质，即根据偶函数对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算2log210+log20.04＝_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据对数运算法则化简即可

【详解】2log210+log20.04＝log2100+log20.04＝log2100×0.04＝log24＝2，

故答案为：2

【点睛】本题考查对数运算法则，要求能熟练应用公式,属于简单题.

14.已知幂函数的图象过点,则_______.

【答案】3

【解析】

【分析】

先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.

【详解】设，由于图象过点,

得，

，

，故答案为3.

【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

15.已知二次函数f（x）＝2x2﹣4x，则f（x）在[﹣1，]上的最大值为_____．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据题意，求出二次函数的对称轴，据此分析可得f（x）在区间[﹣1，1]上递减，在[1，]上单调递增，计算f（﹣1）与f（）值，比较即可得答案．

【详解】根据题意，二次函数f（x）＝2x2﹣4x，其对称轴x＝1，

在区间[﹣1，1]上递减，在[1，]上单调递增，

且f（﹣1）＝6，f（），

则有f（﹣1）＞f（），

则函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值f（﹣1）＝6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析函数f（x）在区间上的单调性．

16.设a为常数且a＜0，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时， f（x）＝x+﹣2．若f（x）≥a+1对一切x≥0都成立，则a的取值范围为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

分x＝0和x＞0两种情况求出表达式，代入f（x）≥a+1恒成立，利用f（x）最值可求得a范围．

【详解】当x＝0时，f（x）＝0，则0≥a+1，解得a≤﹣1；

当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x2，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2．

由函数的图象或增减性可知，当x|a|＝﹣a时，有f（x）min＝﹣2a+2，

所以﹣2a+2≥a+1，解得a，又a＜0，所以a≤﹣1，

故答案为：（﹣∞，﹣1]．

【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}．

（Ⅰ）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（Ⅱ）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（I）求出集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，由此能求出A∩B，∁RB，（∁RB）∪A．

（Ⅱ）由集合C＝{x|1＜x＜a}，集合A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A，得当C＝∅时，a＜1；当C≠∅时，．由此能求出a的取值范围．

【详解】（I）∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}．

∴A∩B＝{x|2<x≤3}，

又∁RB＝{x|x≤2}，

∴（∁RB）∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}．

（Ⅱ）∵集合C＝{x|1＜x＜a}，集合A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A，

∴当C＝∅时，a≤1，成立；

当C≠∅时，，解得1<a≤3．

综上，a的取值范围是（﹣∞，3]．

【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题．

18.设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．

（1）求f（0）的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．

【答案】（1）0（2）奇函数 （3）

【解析】

【分析】

1）函数y＝f（x）的定义域为R，赋值令x＝y＝0，则可求f（0）的值；

（2）令y＝﹣x，结合f（0）的值，可得结论；

（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）＝f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

【详解】（1）∵函数y＝f（x）的定义域为R，

令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0；

（2）令y＝﹣x，得 f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；

（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：

任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＞0

∴f（x1）＜f（x2）

故f（x）是R上的增函数．

由f（）＝1，

∴f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2

那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）

∵f（x）是R上的增函数．

∴2+2x，

解得：x，

故得x的取值范围是（﹣∞，）.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．

19.若函数，

（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数f（x）图象；

（Ⅱ）利用图象写出函数f（x）的值域、单调区间．

【答案】（Ⅰ）

（II）值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]，

单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.

【解析】

【分析】

（I）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出f（x）的图象即可；

（II）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势，由图象读出这些信息即可.

【详解】（Ⅰ）函数图象如图所示；

（II）由图象可得函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），

单调递减区间为[﹣1，0]，

单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.

【点睛】本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，辨清函数概念和性质是解决本题的关键.

20.已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若时，函数的最小值为-7，求的值和函数的最大值.

【答案】（1）(－∞，1)（2）

【解析】

试题分析：（1）解本小题的关键是利用,把原函数转化为关于t的二次函数，的值域问题.（2）在（1）的基础上可确定在上是减函数,然后根据f(x)的最小值为-7,建立关于a的方程求出a值，从而得到函数f(x)的最大值.

设

（1）对称轴 在上是减函数

所以值域为----------------------------------------- 6

（2）∵由

所以在上是减函数

或（不合题意舍去）------------------------11

当时有最大值，

即-----------------------------------------------13

考点：本小题考查了复合函数的值域问题，同时考查了换元法.

点评：解决此类复合函数问题，最好采用换元法转化为常见函数来解决.易错点是容易忽视新变量的范围.

21.已知幂函数在上是增函数，又.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，的值域为，试求与的值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1）是幂函数，且在上是增函数，列出方程，求解的值，即可求解函数的解析式；（2）由可解得，或，得的定义域是，再利用函数的单调性和值域，列出方程，即可求解与的值．

试题解析：是幂函数，且在上是增函数，

∴，解得，∴，

（2）由可解得，或，∴的定义域是，

又，可得，

设， ，且，于是，，，

∴，

∴，由，有，

即在时减函数，又的值域是，

∴，得，可化为，

解得，∵，∴，综上，，．

考点：函数的解析式；函数的单调性的应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的解析式的求解，函数的单调性的判定及其应用，函数的定义域和函数的值域等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确理解题意，根据题设条件列出等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

22.某专营店经销某商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件，当价格高于10元时，每提高1元，销量减少3件，若该专营店每日费用支出为500元，用x表示该商品定价，y表示该专营店一天的净收入（除去每日的费用支出后的收入）．

（1）把y表示成x的函数；

（2）试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．

【答案】（1）见解析（2）定价为22元时，最大值908元.

【解析】

【分析】

（1）根据条件建立分段函数关系即可；

（2）结合一元二次函数的最值性质即可求出函数的最值．

【详解】（1）当0≤x≤10，y＝100x﹣500，

当x＞10，销量为100﹣3（x﹣10）＝﹣3x+130，此时y＝（﹣3x+130）x﹣500＝﹣3x2+130x﹣500，

故y．

（2）当0≤x≤10，y＝100x﹣500≤500，

当x＞10，y＝﹣3x2+130x﹣500＝﹣3（x）2+（）2﹣500，

∵x∈N，

∴当x＝22时，函数取得最大值，此时y＝﹣3×222+130×22﹣500＝908，

综上当商品定价为22元时，一天的净收入最高，净收入的最大值为908．

【点睛】本题主要考查函数应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的性质求最值是解决本题的关键．