2022-2023学年河南省信阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省信阳市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集为R，集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

结合交集的定义可得：.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.

【详解】命题“，”的否定是：，.

故选：B.

3．若，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可.

【详解】由

可得或

则不等式的解集是

故选：D

4．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集

【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D．

5．已知，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.

【详解】由，可得，

又由，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，即的最大值为.

故选：D.

6．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.

【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，

所以年平均利润

当且仅当时等号成立，

即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，

故选：D

7．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ）

A． B．2 C．0 D．2022

【答案】B

【分析】由奇偶性和对称性求出函数周期，求出一个周期内函数值，进而得解.

【详解】是奇函数，，故关于对称，

，

，

故，所以

，，

，所以，

由于，所以．

故选：B．

8．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】对不等式进行因式分解，根据题意得到，解不等式，然后结合题意分类讨论即可.

【详解】∵不等式，即恰有2个整数解，

∴，解得或.

当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，

∴，即，解得；

当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，

∴，即，解得.

综上所述，实数的取值范围是-或.

故选：B.

【点睛】关键点睛：根据不等式解的情况得到不等式，运用分类讨论方法进行求解是解题的关键.

二、多选题

9．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.

【详解】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，

在上是增函数，故A正确；

对B，为奇函数，故B错误；

对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；

对D，令，为偶函数，

当，为减函数，故D错误，

故选：AC

10．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A：由可得，故选项A正确；

对于B：由可得，所以，故选项B不正确；

对于C：当时，由可得，故选项C不正确；

对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确；

故选：AD.

11．下列关于函数的说法中正确的是（    ）

A．为偶函数 B．在(0，+∞)上单调递增

C．不等式<0的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞) D．函数的值域为(-1，1]

【答案】ACD

【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可判断B；去绝对值解分式不等式可判断C、D.

【详解】由题意,为偶函数，选项A正确．

当时，为单调递减函数，选项B错误．

当时，的解集为，

由偶函数的对称性可知不等式的解集为，选项C正确，

当时，为单调递减函数，则，

因为函数为偶函数，当时，，选项D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查了利用函数奇偶性定义判断奇偶性、解分式不等式以及判断函数的单调性，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

12．若定义在R上的函数满足 ，则下列说法成立的是（    ）

A．存在无理数，

B．对任意有理数t，有

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据的表达式，分情况考虑自变量为有理数和无理数两种情况，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，取，而不成立，故A错误；

对于B，当时，成立，对任意非零有理数t，

若x是有理数，则是有理数；若x是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数t，对恒成立，故B正确；

对于C，当x为有理数时，；当x为无理数时，，当x为有理数时，；当x为无理数时，，即不管x是有理数还是无理数，均有，故C正确；

对于D，若x，y都为无理数，且也是无理数时，则，则，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．集合，则_____________．

【答案】

【分析】解分式不等式得，由并集的概念求解，

【详解】，因为，

所以．

故答案为：

14．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________.

【答案】2

【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.

【详解】由题设，，即，解得或，

当时，，此时函数在上递增，不合题意；

当时，，此时函数在上递减，符合题设.

综上，.

故答案为：2

15．已知，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】由，可得 ，则，展开后利用基本不等式求解即可.

【详解】，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

16．已知，，对任意的，存在，使得，则的取值范围是____

【答案】

【分析】求出和的值域，根据的值域包含的值域列式可求得结果.

【详解】因为在上为增函数，所以，，所以在上的值域为，

因为在上的最小值为，最大值为，所以的值域为，

又对任意的，存在，使得，则的值域包含的值域，即，则，解得，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：转化为的值域包含的值域求解是解题关键.

四、解答题

17．已知全集，集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．

当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．

试题解析：

（1）当时，，所以，

所以．

（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．

当时，，即；

当时，得即．

综上，．

18．（1）已知，求的最大值；

（2）已知、是正实数，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果；

（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解.

【详解】（1）因为，，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，函数（）的最大值为；

（2）、是正实数，且，，

则，

当且仅当且时取等号，此时取得最小值.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

19．已知函数是上的奇函数，且.

(1)求实数、的值；

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明.

【答案】(1).

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由奇函数的定义建立方程组，求解即可；

（2）根据函数的单调性的定义可判断和证明..

【详解】（1）解：因为函数是上的奇函数，且，所以.

所以，所以，所以函数是奇函数，所以.

（2）解：在上单调递增.证明如下：

由(1)知，任取，则，

则.

，，，，

又，，，

在上单调递增.

20．已知集合，．

(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简、，再由已知可得集合真包含于集合即可得到不等式组，解得即可；

（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m的不等式组求解．

【详解】（1）解：（1）由，即，

所以，

由，即，解得

所以，

∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，

∴，解得，即；

（2）解：因为命题为假命题，

所以为真命题，

设，则即，解得，所以，即．

 (1)写出y关于x的函数关系式；

(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

【答案】(1)

(2)线上直播x=150小时可使y最小为42万元

【分析】（1）通过求出系数，即可得结果；

（2）直接根据基本不等式即可得结果.

【详解】（1）由题得，当时，，则，

故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为

（2）由（1）知，

当且仅当，即时等号成立，

即线上直播150小时可使y最小为42万元.

22．设a为实数，函数．

(1)当时，判断的奇偶性；

(2)求的最小值．

【答案】(1)非奇非偶函数

(2)

【分析】（1）当时利用奇偶函数的定义判断可得答案；

（2）（ⅰ）当时，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，分、结合二次函数的单调性可得答案；

（ⅱ）当时，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，分、结合二次函数的单调性可得答案．

【详解】（1）当时，，，

由，

且，

故为非奇非偶函数；

（2）（ⅰ）当时，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，

若，则，函数的最小值为；

若，则，函数的最小值为．

所以；

（ⅱ）当时，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，

若，则，函数的最小值为；

若，则，函数的最小值为，

所以，

综上可得，.