2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复平面内表示复数（）的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.

【详解】表示的点为，

因为，所以点位于第四象限，

故选：D.

2．已知向量，且，则实数等于（    ）

A．2 B． C．8 D．±

【答案】D

【分析】根据，由求解.

【详解】解：因为向量，

所以，

因为，

所以，

解得，即，

故选：D

3．“为第一象限角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.

【详解】若为第一象限角则必有；

反之，若，则为第一或第三象限角.

故选：A.

4．在中，若，，则形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.

【详解】因为,

所以,

因为

所以，

所以，可得或，

又因为，,

所以

所以，，，

所以为等边三角形.

故选：C.

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.

【详解】因为，所以，则，

所以，

所以，

 故选：B.

6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，

再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.

故选：A.

7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】C

【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数据即可.

【详解】如图所示：连接，

因为中间阴影部分是正方形且边长为2，

且图中各个三角形为等腰直角三角形，

所以可得，，，

则，

.

故选：C.

8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.

【详解】当时，即时，函数有最小值，

令时，有，，，，

因为函数在内恰有两个最小值点，，

所以有：，

故选：B

二、多选题

9．已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【答案】ACD

【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解

【详解】解：因为中，，且三角形有两解，

所以，

由正弦定理得，

所以，解得，

因为，所以，

所以，

故选：ACD

10．若复数，则（    ）

A．|z|=2 B．|z|=4

C．z的共轭复数=+i D．

【答案】AC

【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】依题意，故A选项正确，B选项错误.

，C选项正确.

，D选项错误.

故选：AC

11．下列关于平面向量的命题正确的是(    )

A．若∥，∥，则∥

B．两个非零向量垂直的充要条件是：

C．若向量，则四点必在一条直线上

D．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使

【答案】BD

【分析】根据向量共线的概念判断A，根据向量垂直的性质判断B，根据向量相等和向量概念判断C，根据向量共线定理判断D．

【详解】对于，当时，不一定成立，A错误；

对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B正确；

对于C，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，错误；

对于D，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使D正确．

故选：BD．

12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（    ）

A．对任意的都不是偶函数

B．存在使是奇函数

C．存在使

D．若的图像关于对称，则

【答案】AD

【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】因为，其中，，

对于A，要使为偶函数，则，且，则无解，

即对任意的a，都不是偶函数，故正确；

对于B，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a，使是奇函数，故错误；

对于C，因为，故错误；

对于D，若的图像关于对称，则，，

解得，且，所以，即，故正确.

故选：AD

三、填空题

13．______．

【答案】

【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，

又，

所以，所以，

因为，所以；

故答案为：

14．已知函数，若，则=__________________

【答案】2023

【分析】由条件可得，即可算出答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

故答案为：.

15．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.

【答案】600

【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.

【详解】，则，,，

故，，

在中，由正弦定理得，即，

解得，则.

故答案为：

16．在中，若，，则的最大值为__________．

【答案】

【详解】设

，最大值为

【解析】解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式

四、解答题

17．已知复数满足：.

(1)求复数；

(2)化简：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案；

（2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.

【详解】（1）解：设复数，

根据题意得，

，

则，

；

（2）解：由（1）得，

则

.

18．已知向量满足.

(1)求向量与向量的夹角；

(2)求向量在向量方向上的投影的模.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；

（2）根据投影向量的求解公式即可解出.

【详解】（1）由可得，，即，

而，所以，，，而，

所以，向量与向量的夹角为．

（2）向量在向量方向上的投影的模为：

19．已知.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.

（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.

【详解】（1）由已知得，所以

所以

.

（2）因为

又，

同理

所以.

20．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．

(1)求角C的大小；

(2)若点D为边BC上的一点，且AD=3，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；

(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.

【详解】（1）选①，因为，

所以，

即，

由正弦定理得，

由余弦定理，

因为，所以；

选②，因为，

所以，

所以，，

因为，所以，所以，

因为，所以；

（2）由第一问可知，作图如下：

在 中，由余弦定理，

所以，，

在中，由正弦定理，即，

解得，，

，；

综上，，三角形ADC的面积为 .

21．已知

(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；

(2)若函数，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.

（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.

【详解】（1）当 时， ，与的夹角为钝角，

于是，且与不共线，

则 ，解得，又，即，

则有，又当与共线时，，解得，

因此与不共线时，，

所以的取值范围是.

（2）依题意，当时，

 ，

令，则，

于是，而函数在上为增函数，

则当时，y有最小值，

所以的最小值为

22．已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分别为最高点与最低点．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实数m的取值范围，并求出的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T，得到，，再根据求解；

（2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由与求解；再由，，得到求解.

【详解】（1）解：，

，

，

，

设函数的周期为T，则，，

则，

所以．故，故，

所以．

（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，

即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．

设，当时，．则，，

则，，，

所以，即，

即，

所以．