2022-2023学年河南省信阳市高中高二上学期12月月考（五）数学试题（含答案）

信阳市高中2022-2023学年高二上学期12月月考（五）

数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知等差数列中，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

2.已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（    ）

A.平行    B.垂直    C.在平面内    D.平行或在平面内

3.若直线与互相平行，则的值是（    ）

A.    B.2    C.或2    D.3或

4.已知过点有且仅有一条直线与圆：相切，则（    ）

A.    B.    C.1或2    D.或-2

5.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.下列说法正确的是（    ）

A.经过定点的直线都可以用方程表示

B.方程不能表示平行轴的直线

C.经过点，倾斜角为的直线方程为

D.经过两点，的直线方程为

7.在三棱锥中，､､两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（    ）

A.B.C.D.

8.等差数列的前项和为，且.设，则当数列的过顶和取得最大值时，的值为（    ）

A.23    B.25    C.23或24    D.23或25

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）

A.B.C.D.

10.在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的（    ）

A.若点总满足，则动点的轨迹是一条直线

B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆

C.若点到直线的距离与到点的距离之和为1，则动点的轨迹是椭圆

D.若点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹抛物线.

11.已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.的最小值为0

C.

D.当且仅当时，取最大值30

12.已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ）

A.B.的最小值为2

C.直线BE的斜率为D.为钝角

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列的前项和，则其通项公式__________.

14.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的最大的为____________.

15.两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点，使且.已知.则线段__________.

16.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知.

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.

18.已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直.

（1）求直线l的方程；

（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.

19.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点.

（1）若，求证：平面；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值.

20.已知抛物线.过动点且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A､B.

（1）若，求a的取值范围；

（2）若线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，试求的面积.

21.如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.

（1）求证：；

（2）若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.

22.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且.证明：，，成等差数列，并求该数列的公差.

信阳市高中2022-2023学年高二上学期12月月考（五）

数学试题答案

1.B    2.D    3.A    4.A    5.C    6.D    7.D    8.D    9.BCD    10.ABD    11.AB    12.AC

13.    14.2018    15.或

16.

【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，

因为，所以，，，

因为，，，所以，则，

因为，，由，所以，因此.

17.（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

18.（1）.

直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.

（2）设圆的标准方程为，

则，所以圆的标准方程为.

19.（1）证明：连接交于，连接，

因为∥所以∽，所以，

因为，所以，所以∥，

因为平面平面，所以∥平面

（2）过作于，

因为平面，平面，所以平面平面，

因为平面平面，所以平面，

因为平面，所以

过作于，连接，因为，所以平面，

因为平面，所以所以是二面角的平面角，

不妨设，则，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

所以，

所以

20.（1）直线的方程为，

将代入，得.

设，

则所以.

因为，

所以且，解得.

故a的取值范围是.

（2）设，由中点坐标公式，得，

，故.所以.

因为线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，且直线的倾斜角为，

所以是等腰直角三角形，所以.

21.（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，

又平面平面，且平面平面平面，

所以平面平面.所以

（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，

所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.

因为异面直线与所成角的正切值为，

所以，即

又平面平面，

所以平面，又平面，平面平面，

所以，所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.

以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.

因为为正三角形所以，从而

由已知E，F分别是的中点，所以

则，所以，

所以，

因为，所以可设，平面的一个法向量为，

则，取，得，

又，则.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的取值范围为.

22.（1）设，

则.

两式相减，并由得，

由题设知，于是.①

由题设得，故.

（2）由题意得，设，则

.

由（1）及题设得

.

又点P在C上，所以，

从而，.

于是.

同理，

所以.

故，即，，成等差数列.

设该数列的公差为d，则

.②

将代入①得.

所以l的方程为，

代入C的方程，并整理得.

故，代入②解得.

所以该数列的公差为或.