2022-2023学年河南省百所名校高一上学期10月联考（月考）数学试题含解析

2022-2023学年河南省百所名校高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.

【详解】解：命题“，”的否定是：，.

故选：D

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，所以.

故选：A

3．已知函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据具体函数解析式，分母不为零，根号下大于等于零，联立不等式，解得答案.

【详解】由题意得，则，解得或．

故选：C.

4．已知奇函数的图象经过点，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据以及函数的奇偶性确定正确答案.

【详解】A选项，，A选项错误.

B选项，，B选项错误.

C选项，是偶函数，C选项错误.

D选项，为奇函数，符合题意.

故选：D

5．孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件的知识对问题进行分析，从而确定正确选项.

【详解】由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，

由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”，

所以“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的充分不必要条件．

故选：A

6．如图，是非空集合，定义为阴影部分表示的集合．若，，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，结合的定义求得正确答案.

【详解】，解得，所以，

，所以．

令，则或.

故选：D

7．已知，则的值域为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【解析】设，将函数转化为，利用二次函数的图象及性质求解.

【详解】设，则

所以，

由二次函数的图象及性质可知，在，上的值域为，，

即的值域为，．

故选：B．

【点睛】本题主要考查二次函数型值域的求法，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

8．某工厂计划在一边长为60m的正三角形空地上建造一座长方体的厂房，则厂房占地面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设厂房底面长方形的长为，求得厂房面积的表达式，利用二次函数的性质求得面积的最大值.

【详解】在正三角形中，设为的中点，连接，则，，

设厂房底面长方形的长为，宽为，

由于，所以，得，

所以厂房占地面积为，

当时，厂房占地面积取到最大值，最大值为．

故选：B

二、多选题

9．下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.

【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；

B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；

C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；

D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.

故选：AD

10．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：由，，得，，

所以，，无法确定与的大小关系．

故选：ABC

11．函数被称为狄利克雷函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】结合的定义、函数的奇偶性、函数值等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若，则，所以；

若，则，所以；

所以对于任意，都有，是偶函数，A正确．

因为，，所以，B错误．

因为，所以，又，，所以C正确．

若，则，若，则，所以，D正确．

故选：ACD

12．已知函数的定义域为，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数单调性的定义可得单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得.

【详解】设，则，即，

令，则，所以在上单调递减，

由，得，即，A正确；

因为，所以，

即，B正确；

因为，所以，C错误；

因为（当且仅当，即时，等号成立），

所以，D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．若则______．

【答案】

【分析】根据元素与集合的关系求得的值.

【详解】若，即，，不符合集合元素的互异性，

所以，解得．

故答案为：

14．已知是定义域为的奇函数，在上的图象如图所示，则的单调递增区间为______．

【答案】（也可写成）

【分析】根据奇函数的知识求得，结合图象求得的单调递增区间.

【详解】由题意得，得，

所以是定义域为的奇函数，

画出的图象如下图所示，由图可知的单调递增区间为．

故答案为：（也可写成）

15．若，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，的最大值为.

故答案为：

16．已知函数，则的解集为______．

【答案】

【分析】先判断的奇偶性，然后结合的单调性列不等式，由此求得正确答案.

【详解】由题意得的定义域为，

，

所以为偶函数．

当时，在上单调递增，

所以在上单调递减．

由，得，

解得且．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)在①，②这两个条件中选择一个条件，使得，并求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．

【答案】(1)选②，

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，根据确定，由此求得.

（2）根据“”是“”的必要不充分条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】(1)，解得，所以，

若选①，，，不满足.

若选②，，，满足.

所以．

(2)由于“”是“”的必要不充分条件，

所以，所以，等号不同时取，

解得，即的取值范围为．

18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　

（1）求函数的解析式；

（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；

（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）单调递增区间是，单调递减区间为和．

【详解】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间.

试题解析：

（1）设，则，

∵当时，，

∴，

∵函数是定义在上的奇函数，

∴（），

∴

（2）函数的图象如图所示：

（3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和．

点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法.

19．已知函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；

（2）根据单调性的定义即可判断证明.

【详解】(1)由题意，得，即,

解得：，．故．

(2)方法一：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，，

所以，即．故在上单调递增．

方法二：在上单调递增．

证明：，，且，则．

由，得，，所以．故在上单调递增．

20．已知奇函数在上单调，且正实数，满足．

(1)求的最大值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)48

【分析】（1）结合函数的奇偶性、单调性化简已知条件，求得关于的等式，利用基本不等式求得的最大值.

（2）利用基本不等式求得的最小值.

【详解】(1)由题意是奇函数，且在上单调，

所以，所以，即．

所以，得，当且仅当时，等号成立．

故的最大值为．

(2)由（1）得，

当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为48．

21．关于的不等式的解集为．

(1)若，求的值；

(2)若中恰有3个整数，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据一元二次方程的解集、根与系数关系求得的值.

（2）化简不等式，对进行分类讨论，结合中恰有3个整数来求得的取值范围.

【详解】(1)由题意得，4是方程的两个根，

所以，得．

(2)由，得．

当时，，不符合题意；

当时，，因为中恰有3个整数，所以；

当时，，因为中恰有3个整数，所以．

故的取值范围为或．

22．已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且．

(1)求的值；

(2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）结合二次函数的知识求得，结合求得的值.

（2）由分离常数，由此构造函数，根据的对称轴进行分类讨论，由在上恒成立求得的取值范围.

【详解】(1)令，得或，所以．

因为，所以．

由，得，得或，

又，所以．

(2)由（1）得，得，得．

因为对任意，总存在，使不等式成立，

所以，所以关于的不等式在上恒成立．

令，图象的对称轴为直线．

当，即时，，得，所以．

当，即时，，所以.

综上所述，的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为不等式在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.