2022-2023学年河南省洛阳市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共56页。试卷主要包含了一个数的相反数，则这个数是，下列运算正确的是，某中学举行“读书节”，对七年级等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省洛阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）

第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分



一、单 选 题
1．一个数的相反数，则这个数是(          )
A． B．或
C． D．
2．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为(        )
A． B． C． D．
3．如图是由一些完全相反的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的外形图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（       ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（﹣3x）2＝6x2
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．﹣6（m﹣1）＝﹣6m﹣6
5．如图，直线，，交直线于点，，则的度数是　　

A． B． C． D．
6．某中学举行“读书节”，对七年级（1）班48位先生所阅读书籍数量情况进行统计，统计结果如上表所示，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
阅读书籍数量（单位：本）
1
2
3
3以上
人数（单位：人）
15
18
10
5

A．1，2 B．2，2 C．3，2 D．2，1
7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（       ）
A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0
8．如图，中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，则暗影部分的周长为（       ）

A． B． C． D．
9．如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线为反比例函数的图象，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于点，以为边作正方形；过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分



二、填 空 题
11．不等式2x﹣3＜4x的最小整数解是____．
12．已知点，点B(2，n)在直线y＝3x+b上，则m与n的大小关系是m___n（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相反，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
14．如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．

15．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为_______．

评卷人
得分



三、解 答 题
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．2020年10月，国家卫健委疾控局发布《儿童青少年防控近视系列手册》，其中分别针对学龄前儿童、小先生、初中生和高中生，量身定制了不同版本的个性化“防控近视手册”．学校为了解先生关于近视防控知识的掌握情况，在七八年级中分别随机抽取了20名先生进行问卷调查，得分用x表示，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：0≤x＜20，B：20≤x＜40，C：40≤x＜60，D：60≤x＜80，E：80≤x≤100．对问卷得分进行整理分析给出了上面部分信息：

两组问卷得分的平均数，中位数，众数，满分率如表：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
满分率
七年级
60
m
60
5%
八年级
60
65
80
10%

其中：七年级分数在C，D组的数据为：60，40，40，60，60，70，60，50．
根据以上信息回答成绩：
(1)扇形统计图中A的圆心角度数α＝　 　度，信息表中m＝　 　分，请补全频数分布直方图；
(2)经过以上数据分析，你认为哪个年级的近视防控知识掌握，请阐明理由；
(3)已知七年级有1800人、八年级有2000人，若分数大于等于60分即为合格，请估计七八年级成绩合格的人数共有多少人？
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，曲线．

(1)求点D的坐标；
(2)当曲线G的对角线的交点时，求k的值；
(3)若曲线G刚好将边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______．
19．如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮处B出发先沿程度方向向左行走36米到达点C，再一段坡度为，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿程度方向向左行走50米到达点E．在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮处A的仰角为24°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度．（结果到1米，参考数据：，，，，，）

20．如图，已知AB是的弦，C为上一点，AD是的切线．

(1)求证：；
(2)若于点B，，，求的半径．
21．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅

160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相反．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套），其余餐桌、餐椅以零售方式，请问怎样进货，才能获得利润？利润是多少？
22．已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只要一个交点

23．在和中，，，，点E在内部，直线AD与BE交于点F．

(1)如图（1），当点D、F重合时，则AF，BF，CF之间的数量关系为______；
(2)如图（2），当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立；
(3)如图（3），在和中，，，（k是常数），则线段AF，BF，CF之间满足什么数量关系，请阐明理由．

答案：
1．A

【分析】
根据相反数的概念直接判断即可得出结果．
【详解】
一个数的相反数是-2，则这个数是：．
故选：A．

本题考查了相反数的概念，属于基础题，掌握相反数的概念即可．
2．B

【分析】
是值小于1的负数，普通方式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此可得．
【详解】
0.00000065=6.5×10−7
故选：B

本题考查的是值小于1的负数如何用科学记数法表示，普通方式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．C

【分析】
根据从左面看到的外形图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的外形图可得有2行，3列，从而得到上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，即可求解．
【详解】
解：根据从左面看到的外形图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的外形图可得有2行，3列，
所以上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是1+4=5块．
故选：C

本题次要考查了几何体的三视图，纯熟掌握三视图是观测者从三个不同地位观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从左面看：从物体左面向左面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向上面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．
4．A

【分析】
根据同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式，去括号法则解答即可．
【详解】
解：A、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；
B、（﹣3x）2＝9x2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、﹣6（m﹣1）＝﹣6m+6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．

本题考查了同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式，去括号法则，是基础题，根据对应法则进行计算即可．
5．D

【分析】
根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
【详解】
如图，


∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥BC，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°，
故选D．

本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．B

【分析】
根据众数和中位数的定义，表格和选项选出正确答案即可．
【详解】
解：由表中数据可知，一共48个数据，这组数据按照从小到大的顺序陈列处在第24，25位的都是2，则中位数为：2，
且2出现的次数最多，则众数为：2．
故选：B．

本题考查众数及中位数的概念，属于基础题，纯熟掌握众数及中位数概念是解题的关键．
7．D

【分析】
根据“方程mx2﹣4x+2＝0是一元二次方程”，得到m≠0，“该方程有两个实数根”，得到△≥0，得到关于m的一元不等式，解之即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴m≠0
且Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0且m≠0，
解得：m≤2且m≠0，
故选：D．

本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与Δ=的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根；熟知一元二次方程的根与Δ=的关系是解题的关键．
8．D

【分析】
根据题意和图形，利用勾股定理可以得到、、、的长，利用弧长公式求出的长，再求出和的长即可处理成绩．
【详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
，
的长，
∴暗影部分的周长为．
故选：D．


本题考查弧长的计算、勾股定理、含30度角的直角三角形、角平分线的定义、一元二次方程等知识．利用数形的思想解答是处理本题的关键．
9．B

【分析】
先根据平移的性质、反比例函数的解析式可得点的坐标，从而可得平移的长度，再根据“线段扫过的面积为9”可求出点的坐标，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为，
将代入函数得：，即，
将沿轴向右平移个单位长度得到，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
线段扫过的图形为平行四边形，且它的面积为9，
，即，
解得，
则点的坐标为，
故选：B．

本题考查了反比例函数的几何综合、平移的性质、平行四边形的面积公式等知识点，纯熟掌握平移的性质是解题关键．
10．B

【分析】
由已知，直线l是、三象限的角平分线，A1（1，0），根据勾股定理求出每个正方形的边长，可分别求出正方形、正方形、正方形的面积，从中发现规律．
【详解】
解：∵直线l为函数y=x的图象，
∴
∴．
∴正方形的面积为1；
由勾股定理得，
∴
∴正方形的面积为：
同理可得，
∴正方形的面积为：；…
∵第1个正方形的面积为1=，第2个正方形的面积为，第3个正方形的面积为，…，
∴第n个正方形的面积为：．
故选：B

本题考查了勾股定理、正方形的性质、反比例函数的图象和性质、探求规律等知识点，运用反比例函数的性质是解题的基础，运用勾股定理求每个正方形的边长是关键．
11．

【详解】
解：，
，
，
最小整数解是，
故答案为．

本题考查了一元不等式的整数解，解题的关键是求出不等式的解集．
12．＜

【分析】
先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】
解：∵直线中，k=3＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵＜2，
∴m＜n．
故＜．

本题考查的是函数图象上点的坐标特点，熟知函数的增减性是解答此题的关键．
13．3

【分析】
分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时一切等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数能否符合题意．
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：

由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：

由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故3．

本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．

【分析】
根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【详解】
解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴，
∴AD+BE=AB-DE==，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE==，
在△BEF中，，
即，
解得：x=或（舍），
∴EF=，
故．

本题考查了类似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据类似三角形的性质得到AB的长．
15．

【分析】
连接，证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】
连接，

四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当，的值最小，
，
，
最小值．
故．

此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．
16．（1）；（2），

【分析】
(1)先根据角的三角函数值，值，零指数幂进行计算，再求出即可；
(2)先化简分式，然后把x的值代入化简后的算式即可．
【详解】
（1）原式
（2）解：原式





当时，原式．

本题考查了分式的混合运算和求值，角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是关键．
17．(1)72°，60，统计图见解析
(2)见解析
(3)1990人

【分析】
（1）求出A组所占全体的百分比即可求出相应的圆心角的度数，确定α的值，根据中位数的意义，求出七年级20名先生成绩的中位数，确定m的值，求出八年级先生成绩在D组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）经过比较七、八年级的中位数、众数、满分率得出结论；
（3）求出七、八年级分数大于等于60分的人数所占的百分比，进而求出七、八年级分数大于等于60分的人数．
(1)
解：由于七年级分数在C，D组的数据为：60，40，40，60，60，70，60，50且C组：40≤x＜60，D组：60≤x＜80，
∴C组的频数为3，D组的频数为5，
∴C、D组的所占的百分比为8÷20×=40%，
∴A组所占的百分比为1-40%-10%-30%=20%，
∴A组所对应的圆心角α=360°×20%=72°，
将七年级20名先生的分数从小到大陈列，处在第10，11位的两个数都是60分，因此中位数是60分，即m=60，
八年级D组频数为20-1-4-5-7=3（人），补全频数分布直方图如下：

故72°，60；
(2)
八年级成绩较好，
理由：八年级先生成绩的中位数、众数、满分率均比七年级的高；
(3)
1800×（+30%）+2000×
=990+1000
=1990（人），
答：七八年级成绩合格的人数共有1990人．

本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、众数以及扇形统计图，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握频率=频数÷总数以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
18．(1)点D的坐标为．
(2)．
(3)．

【分析】
（1）由于A(1，2)，B(4，2)，C(7，5)，AB//CD可求点D的坐标；
（2）由( 1 )得，用中点公式可求k；
（3） 数形，从▱ABCD的上下挪动曲线，线上方有7个整点，当y=kx点E时，可求k，下方有8个整点，F时，可求k，曲线上方有8个整点，下方有6个整点，可得到k的取值范围．
(1)
∵，，
∴．
又∵，，
∴点D的坐标为．
(2)
∵点，
∴的坐标为，，
∴．
(3)
从的上下挪动曲线，如图1所示，

当点时，，曲线上方有7个整点，下方有8个整点．
如图2所示，

当点时，，曲线上方有8个整点，下方有6个整点．
∴综上所述，当时，曲线刚好将边上及其内部的“整点”分成数量相等的两部分．

本题次要考查反比例函数，平面直角坐标系性质，关键是纯熟运用二者的性质来求解成绩．
19．AB的高度约为120米

【分析】
过C作CM⊥OD于M，过F作FN⊥AB于N，由坡度的定义求出CM、MD的长，得FN的长，再解直角三角形求出EF、AN的长，即可处理成绩．
【详解】
过C作于M，过F作于N，如图所示：

则，，米，，，
∴，
∵斜坡CD的坡度为，米，
∴在中，设，，
，
即，
解得：，
∴（米），（米），
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴米，
∴（米），
在中，，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：AB的高度约为120米．

本题考查的是解直角三角形的运用-仰角俯角、坡度坡角成绩，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)半径为

【分析】
（1）连接AO并延伸交⊙O于点E，连接BE，由AE为直径，可得∠EAB+∠E＝90°．由AD是⊙O的切线，可得∠EAB+∠BAD＝90°，可推出∠E＝∠BAD即可；
（2）由BD⊥AB，可得∠ABD＝90°，可证D，B，E三点共线，由勾股定理求出AB，再证△ADE∽△BDA，利用对应边长成比例可求AE．
(1)
证明：如图，连接AO并延伸交⊙O于点E，连接BE，

∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠E＝90°．
∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
∴∠E＝∠BAD，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠BAD；
(2)
解：∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
由（1）可知∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝180°，
∴D，B，E三点共线，
∵AD＝9，BD＝7，
∴AB＝，
∵∠E＝∠C＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
∴，
∴．
∴⊙O半径为．

本题考查直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形类似判定与性质，难度普通，纯熟掌握上述基本知识点是解题关键．
21．（1）a=260；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得利润，利润是9200元．

【分析】
（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；
（2）设购进餐桌x张，利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的函数，然后根据函数的性质即可处理成绩．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，
解得：a=260，
经检验：a=260是所列方程的解，
∴a=260；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．
∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取值，值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得利润，利润是9200元．

本题考查了分式方程的运用、一元不等式和函数的运用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活运用函数的性质．
22．（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x−1；（3）−3≤m≤3且m≠1．

【分析】
（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，求得m＝1或−3，（1）根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，
∴顶点A的坐标为（m，2m−1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x−1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且外形不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，
解得m＝1或−3，
所以当m＝1或−3时，抛物线点C（0，2），
如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只要一个交点（即线段CB的端点），

当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形是解题的关键．
23．(1)
(2)证明见解析
(3)，理由见解析

【分析】
（1）先证得△ACD≌△BCE（SAS），得BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，再证△CDE为等腰直角三角形，得DE＝EF＝CF，即可得出结果；
（2）过点C作CG⊥CF交BF于点G，证△BCG≌△ACF（ASA），得GC＝FC，BG＝AF，则△GCF为等腰直角三角形，GF＝CF，即可得出结论；
（3）先证△BCE∽△ACD，得∠CAD＝∠CBE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，再证△BGC∽△AFC，得BG＝kAF，GC＝kFC，然后由勾股定理求出GF＝，即可得出结论．
(1)
解：∵∠ACD＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
∵点D、F重合，
∴BE＝AD＝AF，
∵∠DCE＝90°，EC＝DC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝EF＝CF，
∴BF＝BD＝BE＋ED＝AF＋CF，
∴线段AF、BF、CF之间的数量关系为：BF＝AF＋CF；
(2)
过点C作，交BF于点G，如图所示，

∴，
∴即，
由（1）得，
∴，
在和中，
∵
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
(3)
，
理由如下：过点C作，交BF于点G，如图所示，

由（2）得，∴而，（k是常数）
∴，
∴，
∴，
由（2），
∴
∴，
∴，
在中，
∵，
∴

本题是三角形综合题，考查了类似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，纯熟掌握全等三角形的判定与性质和类似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
























2022-2023学年河南省洛阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 若一元二次方程的常数项是，则等于（ ）
A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9
2. 下列所给图形既是对称图形，又是轴对称图形的是
A. 正三角形 B. 角 C. 正方形 D. 正五边形
3. 一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的外形、大小、质地完全相反，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相反的概率是(　　)
A. B. C. D.
4. 用配方法解方程，配方后可得
A. B. C. D.
5. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果OP=4,PA=2，那么等于

A. 90° B. 100° C. 60° D. 110°
8. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯支出为2620元，帮扶到2016年人均纯支出为3850元，设该贫困户每年纯支出的平均增长率为x，则上面列出的方程中正确的是( )
A. 2620(1﹣x)2＝3850 B. 2620(1+x)＝3850
C. 2620(1+2x)＝3850 D. 2620(1+x)2＝3850
9. 如图显示了用计算机模仿随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

上面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的添加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的波动性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模仿此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（　　）
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且点（2，0）下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(-，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1m(am+b)其中(m≠)其中说确的是

A. ①②④⑤ B. ③④ C. ①③ D. ①②⑤
二、填 空 题（本大题共5小题，每题3分共15分）
11. 若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+1的值为______．
12. 抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是______．
13. 盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒子中随机地取出1个球，则取出的两个球都是黄球的概率是______．
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的地位，连接C′B，则C′B= ______

15. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中暗影部分）的面积为_________cm2．

三、计算题（本大题共8小题，共75 分）
16. 解下列方程．
(1).(x+3)2=2(x+3)
(2).3x(x-1)=2-2x
17. 如图，在平面直角坐标系网格中，△ABC的顶点都在格点上，点C坐标(0，﹣1)．
(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)把△ABC绕点C逆时针旋转90°，得△A2B2C，画出△A2B2C，并写出点A2坐标；
(3)直接写出△A2B2C面积．

18. 在一个口袋中有4个完全相反的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球．
（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸取小球出现的一切可能结果，并回答摸取两球 出现的所以可能结果共有几种；
（2）求两次摸取的小球标号相反的概率；
（3）求两次摸取的小球标号的和等于4的概率；
（4）求两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率．
19. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延伸BA到D，使∠BDC＝30°．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求DC的长．

20. 如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延伸BP到点C，使PC=PB，连结AC．
(1) 求证：AB=AC.
(2) 若AB=4,∠ABC=30°，①求弦BP的长；②求暗影部分的面积．

21. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．如今的售价为每箱36元，每月可60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将添加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶的利润？利润是多少元？
22. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延伸OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD边长为1，在旋转过程中，求AF′长的值和此时α的度数，直接写出结果不必阐明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．


（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．能否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）当点P运动到什么地位时，四边形ABPC的面积？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积．













2022-2023学年河南省洛阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 若一元二次方程的常数项是，则等于（ ）
A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9
【正确答案】B

【分析】由一元二次方程的常数项是，可得，≠0，由此即可求得m的值.
【详解】∵一元二次方程的常数项是，
∴，≠0，
∴m=3.
故选B.
本题考查了一元二次方程普通方式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要留意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在普通方式中ax2叫二次项，bx叫项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，项系数，常数项．
2. 下列所给图形既是对称图形，又是轴对称图形的是
A. 正三角形 B. 角 C. 正方形 D. 正五边形
【正确答案】C

【详解】选项A. 正三角形是轴对称图形.
选项B. 角是轴对称图形.
选项 C. 正方形既是对称图形，又是轴对称图形.
选项D. 正五边形是轴对称图形.
故选C.
3. 一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的外形、大小、质地完全相反，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相反的概率是(　　)
A B. C. D.
【正确答案】D

【详解】红球是a,b,c, 黄球是A,B,
抽取的结果有（a,b）,(a,c),(b,c),(A,B),(a,A),(b,A),(c,A),(a,B)(b,B),(c,B),不同颜色的有6种.
所以P==.
故选D.
点睛：（1）利用频率估算法：大量反复实验中，A发生的频率会波动在某个常数p附近，那么这个常数P就叫做A的概率（有些时分用计算出A发生的一切频率的平均值作为其概率）.
(2)定义法：如果在实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，调查A包含其中的m中结果，那么A发生的概率为P.
(3)列表法：当实验要设计两个要素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出一切可能的结果，通常采用列表法.其中一个要素作为行标，另一个要素作为列标.
(4)树状图法：当实验要设计三个或更多的要素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出一切可能的结果，通常采用树状图法求概率.
4. 用配方法解方程，配方后可得
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】,

.
故选A.
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选B．
6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【正确答案】D

【详解】将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2, 再向下平移2个单位得到抛物线y=-3（x-1）2-2.
故选D.
7. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果OP=4,PA=2，那么等于

A. 90° B. 100° C. 60° D. 110°
【正确答案】C

【详解】cos∠APO==，所以∠APO=30°,.所以选C.
8. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯支出为2620元，帮扶到2016年人均纯支出为3850元，设该贫困户每年纯支出的平均增长率为x，则上面列出的方程中正确的是( )
A. 2620(1﹣x)2＝3850 B. 2620(1+x)＝3850
C. 2620(1+2x)＝3850 D. 2620(1+x)2＝3850
【正确答案】D

【详解】试题解析：如果设该贫困户每年纯支出的平均增长率为x，
那么根据题意得：
列出方程为：
故选D.
9. 如图显示了用计算机模仿随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

上面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的添加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的波动性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模仿此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（　　）
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
【正确答案】B

【详解】①当频数增大时，频率逐渐波动的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率波动在了0.618，错误；②由图可知频数波动在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机实验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误,
故选B.
本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.
10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且点（2，0）下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(-，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1m(am+b)其中(m≠)其中说确的是

A. ①②④⑤ B. ③④ C. ①③ D. ①②⑤
【正确答案】A

【详解】解：①由抛物线的开口可知：a＜0，
又抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
对称轴−>0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②将（2，0）代入y=ax2+bx+c（a≠0），
∴4a+2b+c=0，
∵−，
∴a=-b，
∴-4b+2b+c=0，
∴-2b+c=0，
故②正确；
③由②可知：4a+2b+c=0，
故③错误；
④由于抛物线的对称轴为x=，
∴（−，y1）与（，y1）关于x=对称，
由于x＞时，y随着x的增大而减小，
∵＞ ，
∴y1＜y2，
故④正确；
⑤由图象可知：x=时，y可取得值，且值为a+b，
∴m≠
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m(am+b)，
故⑤正确；
故①②④⑤；
二、填 空 题（本大题共5小题，每题3分共15分）
11. 若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+1的值为______．
【正确答案】1

【分析】根据方程的系数根的判别式即可得出△=m2-4m=0，将其代入2m2-8m+1中即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（-m）2-4m=m2-4m=0，
∴2m2-8m+1=2（m2-4m）+1=1．
故1．
本题考查了根的判别式，纯熟掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
12. 抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是______．
【正确答案】（1，3）

【详解】y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3
所以顶点坐标是（1，3）.
故答案为（1，3）.
13. 盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒子中随机地取出1个球，则取出的两个球都是黄球的概率是______．
【正确答案】

【详解】个盒子里取出黄球概率是=，第二个盒子取出黄球,
取出的两个球都是黄球的概率是.
故答案为
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的地位，连接C′B，则C′B= ______

【正确答案】##

【详解】如图,连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′,∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延伸BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90∘,AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD−C′D=−1.
故−1.
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

15. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中暗影部分）的面积为_________cm2．

【正确答案】

【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1
则边BC扫过区域的面积为：
故答案为．
考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.
三、计算题（本大题共8小题，共75 分）
16. 解下列方程．
(1).(x+3)2=2(x+3)
(2).3x(x-1)=2-2x
【正确答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）（2）因式分解法解方程.
试题解析：
(1).(x+3)2=2(x+3)
(x+3)2-2(x+3)=0，
(x+3)(x+3-2)=0，
(x+3)(x+1)=0.
.
(2).3x(x-1)=2-2x
3x(x-1)=2(1-x),
3x(x-1)-2(x-1)=0,
(x-1)( 3x-2)=0
.
17. 如图，在平面直角坐标系网格中，△ABC的顶点都在格点上，点C坐标(0，﹣1)．
(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)把△ABC绕点C逆时针旋转90°，得△A2B2C，画出△A2B2C，并写出点A2的坐标；
(3)直接写出△A2B2C的面积．

【正确答案】（ 1 ）作图见解析，点 A 1 （ 1 ，﹣ 2 ）；（ 2 ）作图见解析，点 A 2 （﹣ 3 ，﹣ 2 ）；（3）.

【详解】试题分析：（1）原点对称，横纵坐标都变为原坐标的相反数.(2)作AC,BC垂线，并且长度和AC,BC相等，可得到A2,B2坐标.(3)利用正方形面积减去三个直角三角形面积.
试题解析：
（ 1 ）如图所示：点 A 1 的坐标为：（ 1 ，﹣ 2 ）；
（ 2 ）如图所示：点 A 2 的坐标为：（﹣ 3 ，﹣ 2 ）；
（ 3 ） △ A 2 B 2 C 2 的面积 =3 × 3 ﹣ × 1 × 3 ﹣  × 2 × 1 ﹣  × 3 ×2=  ．

18. 在一个口袋中有4个完全相反的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球．
（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸取小球出现的一切可能结果，并回答摸取两球 出现的所以可能结果共有几种；
（2）求两次摸取的小球标号相反的概率；
（3）求两次摸取的小球标号的和等于4的概率；
（4）求两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率．
【正确答案】（1）共有16种等可能的结果；（2）；（3）；（4）.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取两球出现的所以可能结果；
（2）由（1）中的树状图，求得两次摸取的小球标号相反的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由（1）中的树状图，求得两次摸取的小球标号的和等于4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（4）由（1）中的树状图，求得两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）画树状图得：

则共有16种等可能的结果．
（2）∵两次摸取的小球标号相反的有4种情况，
∴两次摸取的小球标号相反的概率为：．
（3）∵两次摸取的小球标号的和等于4的有3种情况，
∴两次摸取的小球标号的和等于4的概率为：．
（4）∵两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的有10种情况，
∴两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．留意列表法或画树状图法可以不遗漏的列出一切可能的结果，列表法合适于两步完成的，树状图法合适两步或两步以上完成的；留意概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延伸BA到D，使∠BDC＝30°．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求DC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD=90°；
（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．
试题解析：（1）连接OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点；
（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB==1，
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC=OC=.

考点：切线的判定．
20. 如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延伸BP到点C，使PC=PB，连结AC．
(1) 求证：AB=AC.
(2) 若AB=4,∠ABC=30°，①求弦BP的长；②求暗影部分的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）①2；②

【详解】（1）连接AP,则AP 由于PC＝PB，所以AB＝AC.

（2） ,得BP＝2

21. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．如今的售价为每箱36元，每月可60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将添加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．

【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价﹣成本）×量列出函数关系式，求出值．
【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x，由36﹣x≥24得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润为W，
则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得值，值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．
22. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延伸OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的值和此时α的度数，直接写出结果不必阐明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）30°或150°，的长值为，此时

【分析】（1）延伸ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
【详解】解：（1）如图1，延伸ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，
即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长，

∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，留意角的三角函数值的运用．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．


（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．能否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）当点P运动到什么地位时，四边形ABPC面积？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积．
【正确答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的值为．

【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积时，△BPC的面积；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），


设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB•OC+QP•BF+QP•OF．
=×4×3+ (−x2+3x)×3．
=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的值为．