2022-2023学年河南省驻马店市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

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2022-2023学年河南省驻马店市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模）
第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．下列各数的是（          ）
A． B． C． D．0
2．下列各个图形中，三个视图都一样的图形是（          ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球
3．下列是确定的为（          ）
A．投掷一枚硬币正面朝上
B．打开手机显示的时间恰好为8点整
C．明天早晨太阳从西边升起
D．从一整副扑克牌中随意抽取一张扑克牌恰好是红桃2
4．如图，，△ABC为等边三角形，若，则∠2的度数为（          ）

A．105° B．120° C．75° D．45°
5．世界卫生组织于2022年2月15日发布的每周流行病学报告中指出，新冠奥密克戎亚变体BA．2毒株更易传播，相较奥密克戎原始毒株BA．1的传染性增加了30%，截至2月14日，该亚变体毒株已在10个国家和地区成为主要流行毒株，新冠肆虐至今已在全球累计超过4.1亿例，日增确诊人数约为205万例．日增确诊人数用科学记数法表示为（          ）
A．万人 B．万人 C．人 D．亿人
6．下列运算正确的是（          ）
A． B．
C． D．
7．一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么没有放回连续取出两个小球都是白色的概率为（          ）
A． B． C． D．
8．定义运算：，例如：，则方程的根的情况是（          ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有无数个实数根 D．有两个没有相等的实数根
9．如图，直线与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的面积的时，点C的横坐标为（          ）


A． B．或
C．或 D．或
10．已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（          ）

A．18 B． C． D．
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
11．请你写出一个大于0而小于1的无理数___．
12．请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________．
13．若关于x的没有等式组无解，那么a的取值范围是_____________．
14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在小正方形的顶点上，且弦BG上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为_____________．

15．小明用一张正方形纸片玩折纸游戏，正方形ABCD中，，步，在BC边上找一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点处，（如图1，图2）再将纸片折叠使得A与重合，折痕与AE，的交点分别记为G，H，折痕与AD边或CD边的交点记为F，（如图3，图4）当F在AD上时，线段FG的取值范围是_____________．

评卷人
得分



三、解 答 题
16．（1）计算；
（2）化简：
17．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了综合测试．测试结果分为四个等级：A级为，B级为良好，C级为及格，D级为没有及格．将测试结果绘制了如图两幅没有完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计的人数为____；
（4）某班有4名的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
18．如图，中，，，点，点，反比例函数的图象点A．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移个单位后反比例函数，图象上的点，求，的值．
19．如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）

20．郑州的发展离没有开火车技术的进步，郑州北站是全亚洲的货运铁路编组站，最先的火车靠燃烧化学燃料推动蒸汽机为火车提供前进的动力，这时火车被称为蒸汽机车，下图是为蒸汽机车提供动力的车轮组，将其简化后得到图1，MN为活塞连杆，会从发动机FGDE中伸出缩回做往复运动，为长度固定的刚性连杆，随着MN的往复运动，带动车轮上的点B做圆周运动，车轮随之转动，长度固定的刚性连杆AC带动车轮，转动，为蒸汽机车提供动力．
如图1所示，，、、共线，，B为AC中点，为的中点．



(1)请就图1的情况说明三个车轮的半径，
(2)当车轮旋转至图2时，点A与点N重合，当车轮旋转至图3时，落在BN上，恰好为的切线，并且此时，若此时AN的长度为1，请求出图3中△A的面积．
21．为了切实保护自然生态环境，某地政府实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行，两种鱼的进价和售价如下表所示：

进价（元）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量没有超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
(1)求a，b的值；
(2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都完，其中鲢鱼没有少于80斤且没有超过120斤，设每天鲢鱼x斤（过程中损耗没有计）．
①端午节这天，老李打算让利，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天这两种鱼总获利W（元）的最小值没有少于320元，求m的值．
②老李又想出新的让利，端午节当天老李决定鲢鱼80斤，草鱼220斤，且两种鱼都没有再降价，按表中售价，但花费共计200元购买赠品并全部奉送给前来买鱼的消费者，此种与①中m取值时的相比哪种老李的利润率更高？
22．如图，抛物线与直线交于点和点C．


(1)求a和b的值；
(2)求点C的坐标，并图象写出没有等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
23．下面时某数学兴趣小组探究用没有同方法找出一条线段的中点的片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1：


①以B为端点作射线BM，
②在线段AB同侧作，AN，AM交于点C
③在线段AB另一侧作，AQ，BP交于点D
④连接CD交AB于点E，点E即为AB的中点．
小军：我认为小明的方法很有创意，但思路与中垂线的作法相仿，我可以给出完全没有同的另外一种思路．
如图2：
①以B为端点作线段BC，延长BC到D使
②连接AD
③过C作交AB于E，点E即为AB的中点
任务：
(1)小明得到，的依据是（          ）．
A.角平分线的定义；
B．平行线分线段成比例；
C．等角对等边；
D．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等
(2)小军作图得到的点E是线段AB的中点吗？请判断并说明理由
(3)如图3，已知，，F，G分别为线段AB，线段AC上的动点，，直接写出AG的值．

答案：
1．C

【分析】
由于正数大于0，0大于负数，比较即可得．
【详解】
解：∵=-2022<0<，
∴的数是，
故选C．

本题考查了有理数的大小比较，依据是正数大于0，0大于负数，两个负数值大的反而小．解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则．
2．D

【分析】
运用三视图的定义解答，三视图是从物体的正面，左面，上面以平行视线观察物体所得的图形．
【详解】
A. 三棱柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是三角形，三个视图没有都一样；
B. 圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，三个视图没有都一样；
C. 圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，三个视图没有都一样；
D. 球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，三个视图都一样．
故选：D．

本题考查了三视图，解决问题的关键是熟练掌握三视图的定义，描绘从三个没有同方向观察物体得到的图形．
3．C

【分析】
根据确定的定义逐项判断即可，必然发生的为确定．
【详解】
A．投掷硬币正面有可能朝上也有可能朝下，是随机，故A项没有正确；
B．打开手机显示的时间没有一定是8点整，任何时刻都有可能，故B项没有正确；
C．太阳从西边升起是固定的自然规律，每天一定的发生，是确定，故C项正确；
D．抽出的扑克有54种可能，没有一定是红桃2，故D项没有正确；
故选：C．

本题考查了确定的定义，紧扣定义逐项比对即可作答，属于基础题．
4．A

【分析】
由△ABC为等边三角形，可知内角为60°，且∠1＝45°，可得到∠ACB与∠1度数之和，根据平行线的性质，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠ACB＋∠1＝60°+45°＝105°，
又∵，
∴∠2＝105°．
故选：A．

本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键．
5．A

【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
【详解】
205万人=万人，故A正确．
故选：A．

本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
6．C

【分析】
根据各自遵循的运算法则计算判断即可．
【详解】
∵ ，
∴A没有符合题意；
∵，
∴B没有符合题意；
∵，
∴C符合题意；
∵，
∴D没有符合题意；
故选：C．

本题考查了同底数幂的乘法，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握各种运算法则是解题的关键．
7．A

【分析】
采用列表法列举即可求解．
【详解】
根据题意列表如下：

由表可知总的可能情况有30种，连续两次都是白球的情况有6种，
即没有放回连续两次都是白球的概率为6÷30=，
故选：A．

本题考查了用列举法求解概率的知识，注意没有放回试验意味着同一个球只能抽中，即在列表法中对角线的那一栏必须空置．
8．B

【分析】
根据定义化简方程，再由根的判别式判断即可；
【详解】
解：由题意得：，
，
∵方程的=02-4×1×0=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选： B．

本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握=0时一元二次方程有两个相等的实数根是解题关键．
9．B

【分析】
由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)，得OA=2，OB=1，，由矩形ODCG面积为，可知OD∙CD=，设OD=m，可得，求解即可得到C点的横坐标．
【详解】
解：由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)
∴OA=2，OB=1
∴
由题意四边形ODCG是矩形，且面积为 ，
∴OD∙CD= ，
设OD=m，则 ，
∴，
∴，
解得m= ，
∴C点的横坐标为或，
故选B．

本题考查了函数点的坐标特征、矩形的性质，三角形的面积及解一元二次方程，解题的关键是利用面积的关系得到OD∙CD=，从而求解．
10．B

【分析】
由作图知，MN是AB的垂直平分线，PQ是AE的垂直平分线，利用勾股定理求得AE，证明△IAF∽△DAE，求得AF=，证明△HGF≌△DAE，求得HF= DE=3，进一步计算即可求解．
【详解】
解：过点G作GH⊥AD于点H，
∵正方形ABCD中，
∴四边形ABGH是矩形，
∴AB=GH=6，AH=BG，
由作图知，MN是AB的垂直平分线，PQ是AE的垂直平分线，　
∵正方形ABCD中，AB=6，∴DE=3，
由勾股定理得AE=，
∴AI=IE=，
∵∠AIF=∠D=90°，∠IAF=∠DAE，
∴△IAF∽△DAE，
∴，即，
∴AF=，
∵∠HGF+∠AFI=90°，∠IAF+∠AFI=90°，
∴∠HGF=∠DAE，
∴△HGF≌△DAE，
∴HF= DE=3，
∴AH=BG=AF-HF=，
∴四边形AFGB的面积为．
故选：B．


本题考查了基本作图：线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用．
11．（答案没有）

【详解】
一个大于0而小于1的无理数有﹣1，﹣1，等，答案没有．
12．y＝x2＋1

【分析】
根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【详解】
解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1）．
∴函数解析式可为y=x2+ 1．
故y=x2+ 1（答案没有）．

本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案没有，所写抛物线的a值必须大于0．
13．a≤3

【分析】
求出没有等式的解集，根据小小无解找，确定a的范围．
【详解】
∵2-3x＜-7的解集是x＞3，没有等式组无解，
∴a≤3，
故a≤3．

本题考查了没有等式组的无解，熟练掌握小小无解找是解题的关键．
14．

【分析】
连接BE、CF交于点O，连接OG，由圆周角定理可得BE，CF是圆的直径，O为圆的圆心，由勾股定理可得圆的半径为，由∠CBM=45°可得扇形圆心角为90°，再由阴影面积=扇形COG面积-△COG面积计算求值即可；
【详解】
解：如图，连接BE、CF交于点O，连接OG，设BG、CE交于格点M，
B、C、E、F均在小正方形的顶点上，则ECBF是矩形，
∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，
∴BE，CF是圆的直径，O为圆的圆心，
BC= 3，BF=4，则FC==5，圆的半径为，
∵BC=CM=3，∠BCM=90°，
∴∠CBM=45°，即∠CBG=45°，
∴∠COG=90°，
∴阴影面积=扇形COG面积-△COG面积=-OC•OG
=，
故；


本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算等知识；正确作出辅助线是解题关键．
15．3≤FG≤6##6≥FG≥3

【分析】
考虑两种情况：①E与C重合时，求出FG的值，②F与D重合，求出此时FG的值，因为F在①处与D距离，在②处与D距离最小，随F与D的距离的减小，FG没有断增大，得到FG的取值范围．
【详解】
解：由折叠的图形的对称性知，AF＝，AG＝G，
∴ GF垂直平分A，
∵AB＝A＝6，
∴ AH＝H＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝6，
先考虑两种情况：
①E与C重合，则此时与D重合，再使A与重合，如图5，
∴F为AD的中点，
∵A的垂直平分线交AE于点G，由正方形的对称性知，G为AC的中点，
∴GF为△ACD的中位线，
∴GF＝CD＝3，
②F与D重合，如图6，
在Rt△AHF中，AD＝6，AH＝3，
∴sin∠AFH＝，
∴ ∠AFH＝30°，
∴∠AF＝2∠AFH＝2×30°＝60°，
∴△AF是等边三角形，
∴∠FAH＝60°，
∴∠HAE＝∠BA＝（90°－∠FAH）＝15°，
∴∠FAE＝∠FAH＋∠HAE＝75°，
∴∠AGF＝180°－∠AFH－∠FAE＝75°＝∠FAE，
∴△AFG是等腰三角形，
∴FG＝AF＝6，
∵F在①处与D距离，在②处与D距离最小，随F与D的距离的减小，FG没有断增大,
∴3≤FG≤6．
故3≤FG≤6．
             

此题考查了轴对称变换、正方形的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质、角的三角函数、垂直平分线的性质等知识，分情况作出图形是解题的关键．
16．（1）；（2）

【分析】
(1)根据负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂的运算法则计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则化简即可．
【详解】
解：（1）

．
（2）原式


．

本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂的运算法则是解题的关键．
17．（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，

【分析】
（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
（2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
（4）根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】
（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；

（3）该校八年级学生中成绩为的有：
（4）画树状图得

∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为＝

熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
18．（1）；（2），

【分析】
（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．
【详解】
（1）如图，作轴，则

，，




点，点

，
∴OD=OC+CD=6，

代入中，

．
（2）在上，


设直线OA解析式为
，

直线向上平移个单位后的解析式为：


图象（1，12）

解得：
，．

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握函数与反比例函数的相关性质和数形思想．
19．建筑物BC的高约为24.2米

【分析】
先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．
【详解】
解：由题意得：，，，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴建筑物BC的高约为24.2米，
答：建筑物BC的高约为24.2米．

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】
(1)根据平行四边形的判定和性质证明即可．
(2)根据已知AB=，运用（1）的证明，切线的性质，得到Rt△和 Rt△ANO1，分别实施勾股定理求解即可．
(1)
解：∵，、、共线，，
∴四边形AC为平行四边形，


∴，．
∵B为AC中点，为的中点，，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∴，
∴．
(2)
解：由题意知，车轮旋转至图－2时，点A与点N重合
∴＝AB，
∴在图－3中，∠BAN＝∠BNA，
∵AB∥MN
∴∠BAN＝∠ANM，
∵∠ANM＝75°
∴∠BAN＝∠ANM＝∠BNA＝75°，
∴∠ABN＝30°，
∵图－3中为☉的切线


∴∠BN＝90°
∵由①知四边形为平行四边形
∴，
∴∠＝90°，
设＝x，
在Rt△中
AB＝2x，，
在Rt△ANO1中，
，
解得：，
∴．

本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，平行四边形的判定性质，勾股定理是解题的化简．
21．(1)
(2)①0.25；②新利润率更高

【分析】
（1）按购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元列方程组解答：
（2）①由题意得，其中，根据当时，，没有合题意；根据，随的增大而增大，得到当时，的值最小，得到，求得，得到的值为0.25；②根据两种方式均为鲢鱼80斤，草鱼220斤，得到成本为3.5×80＋6×220＝1600元，原让利获利320元，得到利润率为，新让利获利（5－3.5）×80＋（8－6）×200＋（7－6）×20－200＝340元，得到利润率为，根据，得到新的利润率更高．
(1)
根据题意得：，解得，
(2)
①由题意得，其中．
∵当时，．没有合题意．
∴．
∴随的增大而增大．
∴当时，的值最小，
由题意得．
解得：．
∴的值为0.25．
②∵两种方式均为鲢鱼80斤，草鱼220斤
∴成本为3.5×80＋6×220＝1600元
原让利获利320元，利润率为
新让利获利（5－3.5）×80＋（8－6）×200＋（7－6）×20－200＝340元
利润率为
∵
故新的利润率更高．

本题考查了二元方程组应用和函数应用，解决问题的关键是熟练掌握：总价=单价数量，利润=每斤利润斤数，每斤利润=每斤售价-每斤进价，利润率=利润成本．
22．(1)a的值为4，b的值为4
(2)（1，3）；
(3)0≤xM≤4且xM≠1

【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
(1)
解：∵抛物线的图象过点A（4，0）
∴解得：
∵直线的图象过点A（4，0）
∴解得：
答：a的值为4，b的值为4
(2)
解：由（1）得，抛物线解析式为，函数解析式为
∴解得：或（舍去）
∴点C坐标为（1，3）
由图象得没有等式的解集为：
(3)
解：∵抛物线的对称轴是x=2，
∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，3）对称，
此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴，
当点M在线段AB上，且M没有在C点时，
∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴，且
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述， ，且

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数的性质、没有等式的性质等，其中（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键．
23．(1)C
(2)是，见解析
(3)9

【分析】
（1）根据等角对等边即可证明；
（2）根据，可得，CB＝CD，可得AE＝EB，则结论得证；
（3）先证明四边形ABCD是菱形，再根据∠CBD=60°，求出对角线AB的长度，再证明△BFC∽△AGF，即有，即可得：，则AG有值可求．
(1)
C．
理由如下：
∵∠NAB=∠MBA，
∴AC=BC，
同理可证AD=BD，
故选：C；
(2)
点E是AB的中点，理由如下，
∵，
∴，
∵CB＝CD，
∴AE＝EB，
∴点E是AB的中点；
(3)
AG值为9，
理由如下：
∵AD=BD=CB=CA=12，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠CAD=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AB平分∠CBD和∠CAD，CD⊥AB，
∴∠CBA=∠CAB=30°，
∴在Rt△BEC中，BE=BC×cos∠CBA=12×cos30°=，
即AB=，
∵∠CBA+∠BCF=∠CFA=∠CFG+∠GFA，∠CFG=30°，
∴∠BCF=∠GFA，
∴有△BFC∽△AGF，
∴，
∵BF=AB-AF，BC=12，AB=，
∴，
∴整理得：，
∴当AF=时，AG有值，且为9．

本题考查了等角对等边、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形以及二次函数的极值等知识，证得△BFC∽△AGF是解答本题的关键．
2022-2023学年河南驻马店市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模）

一、选一选（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. ﹣23的相反数是（　　）
A. ﹣8 B. 8 C. ﹣6 D. 6
2. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所已研制出直径小于0.5nm的碳纳米管，已知lnm＝0.000000001m，则将0.5nm这个数据用科学记数法表示为（　　）
A. 5×10﹣10 B. 0.5×10﹣9 C. 5×10﹣8 D. 5×10﹣9
3. 如图是一个几何体三视图，则这个几何体是（ ）

A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（　　）
A. a6÷a2=a3 B. a•a4=a4 C. （a3 ）4=a7 D. （﹣2a ）﹣2=
5. 如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）没有正确的（　　）

A. B.
C. D.
6. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码





平均每天数量（件）






该店主决定本周进货时，增加了一些码衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
7. 如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑域的概率为P2，则 （ ）

A. P1＞P2 B. P1＜P2 C. P1＝P2 D. 以上都有可能
8. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
9. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）

A. 乙前4秒行驶的路程为48米
B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C. 两车到第3秒时行驶的路程相等
D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
10. 如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的值为（　　）

A. 4 B. 2 C. 7 D. 8
二、填空（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
12. 没有等式组的最小整数解是_____．
13. 如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）

A. 90° B. 95° C. 105° D. 110°
14. 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

15. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．

三、解 答 题（本大類共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m﹣1），其中m是方程x2+x﹣1=0的一个根．
17. 某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试．并规定：每分钟跳90次以下的为没有及格；每分钟跳90～99次的为及格；每分钟跳100～109次的为中等；每分钟跳110～119次的为良好；每分钟跳120次及以上的为．测试结果整理绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：

（1）参加这次跳绳测试的共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“中等”部分所对应圆心角的度数是 ；
（4）如果该校初二年级总人数是480人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级跳绳成绩为“”的人数．
18. 如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

19. 　为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．
(结果到1 cm．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.259，tan75°=3.732)
20. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
21. 某班为参加学校的大课间比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购买50根跳绳，如果A型跳绳的数量没有多于B型跳绳数量的3倍，那么A型跳绳至多能买多少条？
22. （1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为　 　；
（2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长．

23. 如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（没有与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得值；
②当S时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若没有存在，请说明理由．























2022-2023学年河南驻马店市中考数学专项提升仿真模拟试题（二模）
一、选一选（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. ﹣23的相反数是（　　）
A. ﹣8 B. 8 C. ﹣6 D. 6
【正确答案】B

【详解】∵=﹣8，﹣8的相反数是8，∴的相反数是8，
故选B．
2. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所已研制出直径小于0.5nm的碳纳米管，已知lnm＝0.000000001m，则将0.5nm这个数据用科学记数法表示为（　　）
A. 5×10﹣10 B. 0.5×10﹣9 C. 5×10﹣8 D. 5×10﹣9
【正确答案】A

【分析】0.5纳米=0.5x0.000000001米=0.0000000005米小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10，在本题中a为5,n为5前面0的个数
【详解】0.5纳米=0.5×0.0000000米故选D
=0.000000米
=5×10﹣10米
故选A
此题考查科学记数法，难度没有大
3. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．
考点：由三视图判断几何体．
4. 下列计算正确的是（　　）
A. a6÷a2=a3 B. a•a4=a4 C. （a3 ）4=a7 D. （﹣2a ）﹣2=
【正确答案】D

【详解】分析：直接利用同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算法则和负指数幂的性质分别化简得出答案．
详解：A、a6÷a2=a4，故此选项错误；
B、a•a4=a5，故此选项错误；
C、（a3 ）4=a12，故此选项错误；
D、（-2a ）-2=，故此选项正确；
故选D．
点睛：此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算和负指数幂的性质，正确掌握运算法则是解题关键．
5. 如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）没有正确的（　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：正方形的对角线的长是，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14．
故选：A．
考点：正方形的性质，勾股定理．　
6. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码





平均每天数量（件）






该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【正确答案】C

【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】由于众数是数据中出现次数至多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7. 如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑域的概率为P2，则 （ ）

A. P1＞P2 B. P1＜P2 C. P1＝P2 D. 以上都有可能
【正确答案】A

【分析】先根据甲和乙给出的图形，求出黑域在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图甲可知，黑域的面积相当于6块方砖，共有16块方砖，
∴黑域在整个地板中所占的比值为：，
∴在甲种地板上最终停留在黑域的概率P1=；
由图乙可知，黑域的面积相当于3块方砖，共有9块方砖，
∴黑域在整个地板中所占的比值为：，
∴在乙种地板上最终停留在黑域的概率P2=，
∵，
∴P1＞P2；
故选：A．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
8. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
【正确答案】B

【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，没有合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，没有合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，没有合题意．
故选B．

9. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）

A. 乙前4秒行驶的路程为48米
B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C. 两车到第3秒时行驶的路程相等
D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
【正确答案】C

【详解】A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为12×4=48米，正确；
B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒/，正确；
C．根据图象可得两车到第3秒时行驶的路程没有相等，故本选项错误；
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确；
故选C．
10. 如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的值为（　　）

A. 4 B. 2 C. 7 D. 8
【正确答案】D

【详解】分析：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的值即可．
详解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP，

在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3，
根据勾股定理得：PE=，
在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，
∴AE=MN=3，
则AP的值为AE+EP=5+3=8．
故选D．
点睛：此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二、填空（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
【正确答案】xy（x﹣y）

详解】原式=xy（x﹣y）．
故答案为xy（x﹣y）．
12. 没有等式组的最小整数解是_____．
【正确答案】x=0．

【详解】分析：根据解没有等式组的方法可以解答本题．
详解：
由没有等式①，得x≤2，
由没有等式②，得x＞-1
故原没有等式组解集是-1＜x≤2，
∴没有等式组的最小整数解是x=0，
故答案为x=0．
点睛：本题考查解一元没有等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元没有等式组的方法．
13. 如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）

A. 90° B. 95° C. 105° D. 110°
【正确答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题．
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
14. 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

【正确答案】

【详解】过D点作DF⊥AB于点F．

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=.
故答案为.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．

【正确答案】4或4.

【分析】①当AF＜AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH=AE=2，根据勾股定理得到A′H=，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH=AG，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，

则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC的垂直平分线，
则AM=AD=3，
过E作EH⊥MN于H，
则四边形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2，
∵A′H=，
∴A′M=，
∵MF2+A′M2=A′F2，
∴（3-AF）2+（）2=AF2，
∴AF=2，
∴EF==4；
②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，

则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC垂直平分线，
过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
则四边形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，
∴A′H=A′G=HG=3，
∴EG==，
∴DH=AG=AE+EG=3，
∴A′F==6，
∴EF==4，
综上所述，折痕EF的长为4或4，
故答案为4或4．
本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解 答 题（本大類共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m﹣1），其中m是方程x2+x﹣1=0的一个根．
【正确答案】原式=2．

【详解】试题分析：求出m2+m=1，算乘法，再合并同类项，代入求出即可．
试题解析：∵m是方程x2+x﹣1=0的一个根，∴m2+m=1．∴原式=m2+2m+1+m2﹣1=2m2+2m=2．
考点：整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解．
17. 某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试．并规定：每分钟跳90次以下的为没有及格；每分钟跳90～99次的为及格；每分钟跳100～109次的为中等；每分钟跳110～119次的为良好；每分钟跳120次及以上的为．测试结果整理绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：

（1）参加这次跳绳测试的共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“中等”部分所对应的圆心角的度数是 ；
（4）如果该校初二年级的总人数是480人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级跳绳成绩为“”的人数．
【正确答案】（1）50人；（2）见解析；（3）72°；（4）96人．

【详解】试题分析：（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出良好人数和所占比例，即可得出全班人数；
（2）利用（1）中所求，条形统计图得出的人数，进而求出答案；
（3）利用中等的人数，进而得出“中等”部分所对应的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体进而利用“”所占比例求出即可．
试题解析：解：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：
参加这次跳绳测试的共有：20÷40%=50（人）；
（2）由（1）的的人数为：50﹣3﹣7﹣10﹣20=10，
如图所示：
；
（3）“中等”部分所对应的圆心角的度数是：×360°=72°，
（4）该校初二年级跳绳成绩为“”的人数为：480×=96（人）．
答：该校初二年级跳绳成绩为“”的人数为96人．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图

18. 如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

【正确答案】（1）见解析 （2）30°

【详解】分析：（1）连结OB，如图，由CE=CB得到∠CBE=∠CEB，由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°，利用对顶角相等得∠CEB=∠AED，则∠DAE+∠CBE=90°，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA+∠CBE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连结OF，OF交AB于H，如图，由DF⊥OA，AD=OD，根据等腰三角形的判定得FA=FO，而OF=OA，所以△OAF为等边三角形，则∠AOF=60°，于是根据圆周角定理得∠ABF=∠AOF=30°．
详解：（1）证明：连结OB，如图，

∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE+∠AED=90°，
而∠CEB=∠AED，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连结OF，OF交AB于H，如图，
∵DF⊥OA，AD=OD，
∴FA=FO，
而OF=OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=∠AOF=30°．
点睛：本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和垂径定理．
19. 　为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．
(结果到1 cm．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.259，tan75°=3.732)
【正确答案】（1）75cm（2）63cm

【详解】解：（1）在Rt△ACD中，AC=45，CD=60，∴AD=，
∴车架档AD的长为75cm．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
距离EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63．
∴车座点E到车架档AB的距离是63cm．
（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．
（2）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．
20. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.

【分析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.
【详解】（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2.
将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）.
把M的坐标代入得：k=4，
∴反比例函数的解析式是；
（2）.
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴
∵AM=2，
∴OP=4.
∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
21. 某班为参加学校的大课间比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购买50根跳绳，如果A型跳绳的数量没有多于B型跳绳数量的3倍，那么A型跳绳至多能买多少条？
【正确答案】（1）一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；（2）A型跳绳至多能买37条

【分析】（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可；
（2）设购进A型跳绳m根，根据“A型跳绳的数量没有多于B型跳绳数量的3倍”确定m的取值范围．
【详解】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
，
解得：，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）设购进A型跳绳m根，
依题意得：m≤3（50﹣m），
解得：m≤37.5，
而m为正整数，
所以m值＝37．
答：A型跳绳至多能买37条．
此题主要考查了二元方程组的应用和一元没有等式的应用，根据题意得出正确的数量关系是解题关键．
22. （1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为　 　；
（2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长．

【正确答案】（1）NC∥AB；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由见解析；（3）；

【分析】（1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）NC∥AB，理由如下：
∵△ABC与△MN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM与△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AB；
（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
∵=1且∠ABC=∠AMN，
∴△ABC～△AMN
∴，
∵AB=BC，
∴∠BAC=（180°﹣∠ABC），
∵AM=MN
∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），
∵∠ABC=∠AMN，
∴∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴∠ABC=∠ACN；
（3）如图3，连接AB，AN，
∵四边形ADBC，AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC
即∠BAM=∠CAN，
∵，
∴，
∴△ABM～△ACN
∴，
∴=cos45°=，
∴，
∴BM=2，
∴CM=BC﹣BM=8，
在Rt△AMC，
AM=，
∴EF=AM=2．

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
23. 如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（没有与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得值；
②当S时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若没有存在，请说明理由．


【正确答案】（1）；（2）①，当m=5时，S取值；②满足条件的点F共有四个，坐标分别为，，，，

【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意没有要漏写．
【详解】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC= =10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB = = =，
∴ =，
∴QE=（10﹣m），
∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；
②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，
∴当m=5时，S取值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，
解得：n=6± ，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的和难点，解题时注意数形数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．