2022-2023学年宁夏银川市第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年宁夏银川市第二中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】，

故选：D

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】要使函数有意义，

则有，解得：且，

所以函数的解集为，

故选：B.

3．已知，，其中，，，均为实数，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质判断出正确选项.

【详解】A选项，，A选项错误.

B选项，，B选项错误.

C选项，，C选项错误.

D选项，，D选项正确.

故选：D

4．已知，，，则它们的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】解：

，在上单调递减，

，

，，

，

故选：A.

5．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.

【详解】的对称轴为，当时，，时，

故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.

故选：B

6．当时，（且），则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得当时，的图象位于图象的下方，可得

解不等式组即可求解.

【详解】由题意可得当时，的图象位于图象的下方，

所以在单调递增，所以为减函数，

所以 ，即，所以，

可得：，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键分析出的图象位于图象的下方，等价于为减函数，且.

7．定义在R上的奇函数，，当时，函数单调递增，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性和单调性以及零点，根据即可得出解集.

【详解】因为是R上的奇函数，所以，

又有，所以，

当时，函数单调递增，所以函数的大致图像如下：

而时，，时，，

则的解集为，

故选：A

8．已知函数，记在区间上的最小值为，，则下列说法中不正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．有最大值 D．有最小值

【答案】A

【分析】令，转化为关于的二次函数，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性，可得最小值，于是分析的单调性及取值情况即可判断.

【详解】解：令，因为，则，则

则当时，函数在上单调递增，所以；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；

当时，函数在上单调递减，所以；

则

所以当时，单调递减，

当时，单调递减，

当时，单调递减，

所以在上单调递减，且的值域为.

故选：A.

二、多选题

9．下面命题中不正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设，，则“且”是“”的充要条件

【答案】ABD

【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误．

【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；

对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；

对于C，“且”“”，但“”推不出“且”，

所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错；

对于D，且，则“”是“”的充要条件，故D对；

故选：ABD．

10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对底数分情况讨论即可得答案.

【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．

当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．

故选：BC

【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.

11．下列说法中不正确的有（    ）.

A．设，是两个集合，若，则

B．函数与为同一个函数

C．函数的最小值为2

D．设是定义在上的函数，则函数是奇函数

【答案】BC

【解析】根据集合间的运算及关系可确定A是否正确；根据函数的解析式是否相同便可判断B选项是否正确；根据基本不等式判断C是否正确；利用函数的奇偶性概念确定D是否正确．

【详解】对于A选项，若，则，A正确；

对于B选项，，，解析式不同，B错误；

对于C选项，，但是，等号不能成立，C错误；

对于D选项，令，则，，且，D正确；

故选：BC.

12．如果存在函数（，为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”，下列结论正确的是（    ）

A．函数存在“线性覆盖函数”

B．对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个

C．为函数的一个“线性覆盖函数”

D．若为函数的一个“线性覆盖函数”，则

【答案】BC

【分析】根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.

【详解】对于A：若时，，又，所以，所以不是函数的一个“线性覆盖函数”，

当，若，则，，所以，所以不是函数的一个“线性覆盖函数”，

当，时，取，则，，所以，所以不是函数的一个“线性覆盖函数”，A错误；

对于B：如，则就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，故选项B正确；

对于C：设，因为，，所以，

因为，当且仅当时取等号，所以，

故为函数的一个“线性覆盖函数”，选项C正确；

对于D， 为函数的一个“线性覆盖函数”，所以在上恒成立，即恒成立，所以恒成立，即，所以，故D错误，

故选：BC.

三、填空题

13．若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．

【答案】

【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.

【详解】令，则，，

所以函数图象恒过定点为.

故答案为：

14．已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据反函数的性质可知，再利用对数函数的单调性解不等式．

【详解】解：函数与函数的图象关于直线对称，

，

．

又在上单调递增

．

∴不等式的解集为．

故答案为：．

15．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.

【详解】解：因为幂函数在上单调递减，

所以，解得.

故答案为：.

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为_________.

【答案】##

【分析】把函数解析式变形，求出的值域，然后分类求解得答案．

【详解】是R上的增函数，

，，，

当,时，；

当,时，；

∴函数的值域为,．

故答案为：{－1,0}.

四、解答题

17．计算.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）使用指数幂的运算知识运算求解即可；

（2）使用对数运算知识运算求解即可.

【详解】（1）原式

（2）原式

18．已知函数是上的偶函数，且当时，.

(1)求函数的解析式；

(2)求方程的根.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，则，再利用函数为偶函数求解.

（2）分，，利用指数方程的解法求解.

【详解】（1）设，则，

所以，

因为函数为偶函数，

所以，

所以函数的解析式为.

（2）当时，，

 ；

当时，.

，

所以方程的解集为.

19．已知函数为奇函数.

(1)用函数单调性的定义证明：在区间上是单调递增；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)证明见解析.

(2)或

【分析】（1）由奇函数的定义得a的值，结合单调性的定义：任取→作差→变形→断号→写结论可证得结果.

（2）由题意知：，再由的单调性求得，进而转化为求关于m的一元二次不等式.

【详解】（1）∵为奇函数，定义域为

∴

∴ 即：

∴

∴

证明：设，，

则

∵

∴，

∴，即：

∴在区间上单调递增.

（2）∵对任意的，不等式恒成立，

∴

∵由（1）知：在区间上单调递增

∴在区间上单调递增

∴

∴，即：

解得：或.

20．近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.

(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.

【答案】(1)；

(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.

【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；

（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.

【详解】（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，

当时，

当时，

，

所以.

（2）当时，，

此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，

所以当时，（万元）；

当时，，

因为，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，（万元），

综上可得，当时，取得最大值为（万元），

即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.

21．已知函数，其中，均为实数.

(1)若，且的定义域为，求的取值范围；

(2)若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的定义域为，可知，即可求解；

（2）首先拆分成内外层函数，再根据复合函数的单调性，列式求解.

【详解】（1）当时，的定义域为,

则，解得：；

（2）当时，，

函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，

当时，在上单调递减，并且，满足条件，

当时，需满足下列条件

则，解得：,

综上可知存在实数，的取值范围是.

22．已知函数.

(1)对于函数，当时，，求实数的取值范围；

(2)当时的值恒为负，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，利用定义法判断可知函数为奇函数，根据指数函数的单调性得出在为增函数，再利用单调性和奇偶性解不等式，即可求得的取值范围；

（2）由（1）可知当时，也是增函数，结合题意可知，解不等式并结合，，即可求出的取值范围.

【详解】（1）解：∵，可知的定义域为，

，∴为奇函数，

当时，、为增函数，，∴为增函数，

当时，、为减函数，，∴为增函数，

综上可知在为增函数，

由于当时，，

则，

∴，解得：，

所以实数的取值范围为.

（2）解：已知当时的值恒为负，

由（1）可知在为增函数，则当时，也是增函数，

则，

又，，则，

解得：或，

所以的取值范围为.