2023-2024学年宁夏银川市第二中学高一上学期月考二数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏银川市第二中学高一上学期月考二数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，则，所以，且，所以，
因为，即，所以，且，所以，
所以.
故选：C.
2．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性定义化简不等式，再利用函数的草图即可求得该不等式的解集.
【详解】奇函数在上为增函数，且，
则，在上为增函数，
又，则有或
又草图如下：

则有或.
则原不等式解集为
故选：D
3．下列命题中正确的个数是（ ）
①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是.
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】根据角的定义判断各个结论．
【详解】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错；
钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确；
第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确；
小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错；
，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错．
正确个数是2，
故选：B．
4．若不等式的解集为，则函数的零点为（ ）
A．和B．和C．2和D．和
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和2，且，
则，解得，
故函数，
则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.
故选：D.
5．声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件列出不等式，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，所以，
即，所以，
即最大声强为.
故选：C
6．已知为角终边上一点，则（ ）
A．7B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.
【详解】为角终边上一点，故，故.
故选：B
7．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小.
【详解】，，，
且，
故.
故选：A
8．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为的定义域为，
且，
所以是定义在上的奇函数，
又与为上的增函数，则为上的增函数，
且为上的增函数，所以在上单调递增，
由可得，，
所以，即，又，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】分别解出相应的定义域和值域.
【详解】对A，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，
当时，，则，即该函数值域为，A正确；
对B，要使函数有意义，则真数，函数定义域为，又，即该函数值域为，B不正确；
对C，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为，
因为，所以函数为增函数，
当时，，此时；当时，，此时.
即该函数值域为，C不正确；
对D，要使函数有意义，则解得，该函数定义域为，
因为，显然，即，即该函数值域为，D正确.
故选：AD.
10．中文“函数.（functin）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（ ）

A．与表示同一函数
B．函数的定义域是
C．已知函数，则在区间的值域为
D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像
【答案】AC
【分析】对于A，根据同一函数的定义即可判断；对于B，求解定义域即可判断；对于C，利用二次函数的性质即可判断；对于D，根据函数的概念即可判断.
【详解】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，
所以与表示同一函数，A对；
对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；
对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，
所以在区间的值域为，C对；
对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.
故选：AC
11．函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项.
故选：BCD.
12．有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A．给定幂函数，则对任意，都有
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为
D．已知函数是奇函数，则
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的表达式，结合基本不等式即可求解A，根据抽象函数的定义域即可求解B，根据反函数的定义，由对数型函数的定义域即可判断C，根据奇函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，，
由于所以，进而可得，
从而可得，即,故A正确，
对于B，若函数的定义域为，则函数的定义域满足，
所以，故其定义域为，故B正确，
对于C，由于函数与互为反函数，所以，
则，定义域为，
由于不在定义域范围内，故C错误，
对于D，当时，，则，
由于为奇函数，所以，
故，D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．若是第二象限角，，则 .
【答案】/-0.8
【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值.
【详解】是第二象限角，，故.
故答案为：
14．若，则 .
【答案】/
【分析】利用指数和对数运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
15．已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是 .
【答案】（0,1）
【分析】结合零点的概念,可得,然后由,可求得的取值范围,进而可得到的取值范围.
【详解】由题意,令,得,
因为,所以,故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了函数的零点,利用参变分离及对数函数的性质是解题的关键,属于基础题.
16．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数性质，注意时，二次函数分类讨论求解即可.
【详解】因为函数，
当时，有，当且仅当时等号成立.
值域为R，当，有，满足题意;
当，二次函数开口向上，不满足题意;
当，的对称轴
当时，即，，要使的值域是R，
则应有，所以；
当时，即，，要使的值域是R，则应有，
所以故矛盾，舍去.
综上所述，当时，的值域是R.
故答案为：
四、解答题
17．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
18．已知，且有意义.
(1)试判断角的终边所在的象限；
(2)若角的终边与单位圆相交于点，求m及的值.
【答案】(1)第四象限；
(2)，．
【分析】（1）由题意得出，，从而可得终边所在象限；
（2）由（1）得，再结合单位圆可得值，从而得出．
【详解】（1）有意义，则，终边在轴右侧，又，则，终边在第二或第四象限，所以在第四象限；
（2）由题意，又由（1）知，所以，．
19．已知函数（且）在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；
（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，舍去；
综上可知，；
（2）由（1）得，，
当时，，
即，化简得，
构造，
和分别在上单调递增，
在上单调递增，，
故实数的取值范围是.
20．某科研机构对某病毒的变异毒株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（）个单位时间T的关系有两个函数模型（）与（，）可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个.
（参考数据：，，，）
【答案】(1)（，）更合适，
(2)11
【分析】（1）将和分别代入两种模型求解析式，再根据的值，即可判断.
（2）设至少需要x个单位时间，则令，解出不等式即可判断.
【详解】（1）若选（），
将和代入可得，解得
所以，将代入，得；
若选（，），
将和代入可得，解得
所以，将代入，得；
所以选择（，）更合适，解析式为.
（2）设至少需要x个单位时间，则令，即
两边同时取常用对数可得，
则.
，所以x的最小值为11.
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
21．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简不等式，再求解即可；
（2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可.
【详解】（1）当时，，
所以由可得，
即，所以，解得，
故不等式的解集为.
（2）因为时，有零点，
所以在上有解，
即在上有解，
令，
因为，，
所以，故，
所以.
五、证明题
22．已知是偶函数，是奇函数．
(1)求，的值；
(2)用定义证明的在上单调递增；
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【详解】（1）解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
此时，则，符合题意；
（2）设任意的且，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增.
（3）解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
X（T）
1
2
3
4
5
6
…
Y（万个）
…
10
…
50
…
250
…