2022-2023学年宁夏银川市兴庆区高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年宁夏银川市兴庆区高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集的运算可求得答案．

【详解】解：集合，，

.

故选：C．

2．全称量词命题“ “ 的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可

【详解】解：命题“ “ 的否定为“”，

故选：B

3．下列各组函数表示相同函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【分析】根据相等函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】解：对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；

对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.

故选：C

4．已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ）

A．3 B． C．9 D．

【答案】A

【分析】根据题意设幂函数，求出的值，写出函数解析式，再计算的值．

【详解】解：设幂函数的图象经过点，

则，

，

，

．

故选：A．

5．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，并判断当时函数的单调性即可.

【详解】是奇函数图像关于对称，排除B、D；

在上单调递增，所以排除C，故A正确.

故选: A

6．已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（    ）

A．9 B．24 C．4 D．6

【答案】C

【分析】由题意可得，利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为函数图象恒过定点

又点A的坐标满足关于的方程，

所以，即

所以

，当且仅当即时取等号；

所以的最小值为4．

故选：C．

7．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.

【详解】由对任意，都有成立可得，

在上单调递减，

所以 ，解得，

故选:C.

8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由当时，的关于原点对称的函数与有交点求解.

【详解】解：由题意得：点是曲线的“优美点”，

则点也在曲线上，

当时，关于原点对称的函数与有交点，

当时，，其关于原点对称的函数为，

由与联立得，

在时有解；

而，

当且仅当，即时，等号成立，

则实数的取值范围为

故选：B

二、多选题

9．（多选）满足的集合可能是

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据分析，集合中一定含有元素5，可能含有1、3，根据情况选出答案即可

【详解】由知，，且中至少有1个元素5，故选ABD.

【点睛】本题考查根据集合的并集结果求出某一集合的方法，抓住集合的互异性快速锁定元素5集合中必须含有元素是解题关键

10．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由作差法可逐项判断.

【详解】对A，，无法确定的正负，故A项错误；

对B，，无法确定的正负，故B项错误；

对C，，所以C项正确；

对D，，所以D项正确.

故选：CD

11．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）．

A．“”是“”的既不充分又不必要条件

B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件

C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“”

D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件

【答案】AC

【分析】从“”与“”互相不能推出，得到A正确；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；

由一元二次方程根的判别式可知，C正确；

D选项可举出反例.

【详解】

故选：AC

12．若正实数 满足 ，则下列选项中正确的是（    ）

A． 有最大值 B．有最小值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可判断A,C;举反例判断B;由基本不等式可得，即可判断D.

【详解】∵正实数 满足 ，

则 ，当且仅当时取等号，此时取得最大值,A正确；

∵当时,,B错误；

  ，当且仅当时取等号，C正确；

由得，即，当且仅当时取等号，

可得，即最小值 ，D错误,

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据函数的定义域得到，解得答案.

【详解】由题意可得，解得或.

故答案为：

14．若不等式的解集为，则a+b=___________.

【答案】5

【分析】根据题意可得-2，3是方程ax2+x+b=0的两个根,利用根与系数的关系计算即可.

【详解】由题意可得-2，3是方程ax2+x+b=0的两个根，

则，解得，故a+b=5.

故答案为：5

15．奇函数在区间上单调递减，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性与单调性判断在上单调递减，将不等式转化为指数式不等式，根据指数函数单调性即可求得不等式的解集.

【详解】解：奇函数在区间上单调递减，则，所以在区间上单调递减，于是可得在上单调递减

由不等式，得，又函数在上单调递增

所以，即不等式得解集为.

故答案为：.

16．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先确定，再 讨论的取值，得的最大值，即可得实数的取值范围.

【详解】解：若对任意的，总存在使得成立，则，

当时，，

当时，，满足，符合题意；

当时，在上单调递减，故，解得；

当时，在上单调递增，故，解得；

综上，的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)18

【分析】（1）根据指数幂运算法则化简求值即可；

（2）利用对数函数运算性质和换底公式进行化简运算即可.

【详解】（1）解：原式；

（2）解：原式.

18．已知集合，.

(1)若，求；

(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分式不等式得解法求出集合，根据并集得定义进行求解即可；

（2）根据是的充分条件，则，建立关系式，解之即可．

【详解】（1）解：

当时，，故；

（2）解：若是的充分条件，则，

①当时，即，即，符合题意

②当时，即，

若，则，

综上，若是的充分条件，则实数的取值范围为.

19．已知定义域为的函数是奇函数.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）判断函数的单调性，并用定义加以证明.

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）单调递增，证明见解析.

【解析】（Ⅰ）利用定义域为的奇函数求得，再代入验证符合题意，即得结果；

（Ⅱ）设，且，证明，即得结果.

【详解】解：（Ⅰ）由题意，函数是奇函数，定义域为，

∴，即

解得，此时，，

满足，故符合题意.

所以；

（Ⅱ）函数单调递增，证明如下：

，设，且，

∵，∴

∴，即，

故在上单调递增.

【点睛】方法点睛：

定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算；

3.定号：确定的正负；

4.得出结论：根据不等号方向，同增异减得出结论.

20．二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)求在上的最小值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；

（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．

【详解】（1）解：设，因为，所以，

即，

根据，即，

解得，，所以；

（2）解：函数，其对称轴为，

当即时，区间为减区间，

最小值为；

当，即时，取得最小值1；

当，即时，区间为增区间，

取得最小值．

综上可得时，最小值为；

时，最小值为1；

时，最小值为．

21．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

22．已知函数

（1）若函数为偶函数，求的值；

（2）若，直接写出函数的单调递增区间；

（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)； (2) 和；（3）

【分析】（1）根据 为偶函数，利用定义得 恒成立，然后化简可得；

（2）按将的绝对值符号去掉，利用二次函数的对称轴和区间的关系，写出单调增区间即可；

（3）先整理 的表达式，有绝对值的放到左边，然后按，，分类讨论，整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出各部分的最值，从而求出的范围，最后求它们的交集．

【详解】（1）已知函数为偶函数,由定义得在上恒成立，

即恒成立， 所以在上恒成立,

平方化简得在上恒成立,得；

 (2)若,则,则单调递增区间为和；

（3）由不等式，化简得（*）在上恒成立,

由于，

①当时，不等式（*）化简为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即对任意的x∈[0，a]恒成立，∵函数g（x）＝x2+4x+1﹣2a在区间[0，a]上单调递增，

∴g（x）=g（0）≥0，解得，∴；

②当时，不等式（*）化为4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即对任意的x∈（a，1+a]恒成立，

由①中知：函数h（x）＝在区间（a，1+a]上单调递减，

∴h（x）=h（1+a）≥0，即a2+4a﹣2≥0，解得（舍）或．

∴结合①的结论可得；

③当时，不等式（*）化为4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，

即x2+2a﹣3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，∵函数φ（x）＝x2+2a﹣3在区间（a+1，+∞）上单调递增，

∴φ（x）=φ（a+1）≥0，即a2+4a﹣2≥0，解得（舍）或，

综上：a的取值范围是

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用，属于中档题．