2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高一上学期期中校际联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高一上学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出使函数式有意义的自变量范围即可．

【详解】由已知，解得且，

故选：D.

2．已知关于的不等式的解集是则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．

【详解】由题意和1是方程的两根，所以，，，

∴．

故选：B．

3．已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（    ）

A． B． C．A D．B

【答案】D

【分析】由得，从而可得答案.

【详解】由得，

所以．

故选：D

4．已知函数，则“”是“在内单调递减”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】化简，利用函数的对称轴和单调性求出答案.

【详解】由题意，，此二次函数的对称轴为，

当时，在内单调递减成立，

若在内单调递减，可得，

∴“”是“在内单调递减”的充分不必要条件.

故选：A.

5．若是奇函数，且在内是单调函数，又，则关于的不等式的解集是（    ）

A．或 B．或    

C．或 D．或

【答案】C

【分析】由奇偶性和单调性可确定和所对应的的取值范围；结合的符号可讨论得到结论．

【详解】解：为上的奇函数，，，

又在内是增函数，在内是增函数，

当,,时，；当,,时，，

综上所述：的解集为或．

故选：C．

6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要（    ）

A．小时 B．3小时 C．3.2小时 D．4小时

【答案】B

【分析】先通过“前3个小时消除了的污染物”求得，再根据，求得，即可得解.

【详解】解：由题意可得，解得，

令，

可得，解得，

所以污染物消除至最初的还要3小时.

故选：B.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】指数式改为对数式，有换底公式及对数运算法则变形．

【详解】，则，，即，

，

故选：A．

8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定函数是增函数，由解析式得，这样利用单调性不等式化为，从而转化为在上恒成立，由二次函数知识分类讨论可得．

【详解】，因此在定义域上是增函数，

，

不等式即为，所以，

所以在上恒成立，

若，即，显然成立，

若，即时，由于，因此，，从而也满足题意，

综上，，

故选：B．

【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，对函数不等式解题方法一般是利用函数的单调性进行转化，因此本题关键点有两个：一是确定函数的单调性，二是对函数式进行变形：，这由函数解析式分析才能得出．

二、多选题

9．下列函数既是偶函数，又在内单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由奇偶性判断是否是偶函数，再确定单调性得结论．

【详解】易知四个选项中，A选项是奇函数，BCD三个选项都是偶函数，

在是递增，B正确；因此在上递减，D错误；时，在上递增，C正确．

故选：BC．

10．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据不等式的性质逐项分析即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：因为，所以成立，故A正确；

对于选项B：因为，根据不等式的性质成立，故B正确；

对于选项C：当时，则，故C错误；

对于选项D：因为，根据不等式的性质，根据同向相加性可知：故D正确；

故选：ABD

11．已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为1 D．的最小值为

【答案】AC

【分析】由，代入用基本不等式求得最小值，得结论判断A，此处条件代入已知得可判断B，判断AB过程中两个结论代入后利用二次函数性质求得最值判断CD．

【详解】∵正实数满足，

∴，当且仅当，即时等号成立，A正确；

时，，B错；

，，即时，的最大值1，C正确D错误．

故选：AC．

12．已知函数，则下述结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．的图象关于对称

C．在内是单调增函数

D．关于的不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】根据函数的奇偶性和单调性定义可判断A；由可知函数的对称性，可判断B；根据，以及函数的对称性可判断C；根据不等式可变形得，然后根据函数的单调性可判断D.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：因为，所以，故可知：，故函数不是奇函数，故A错误；

对于选项B：因为，所以，故可知： ，所以根据函数的对称性可知对称点为，故B正确；

对于选项C：当时，，故在上单调递增，有根据函数的对称性可知在内是单调增函数，故C正确；

对于选项D：

设，因为的图象关于对称，故关于原点对称，即为奇函数

所以

因为在内是单调增函数，所以在内也是单调增函数

所以，解得，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知函数同时满足下面两个条件：①定义在上的偶函数；②值域为.请写出一个符合条件的的解析式___________.

【答案】形如或均可

【分析】开放性试题，抓住函数性质特征构造即可.

【详解】由函数为偶函数，考虑或等，但必须使值域为，

可以形如或等.

故答案为：形如或均可.

14．命题“若，则”是___________命题.（填“真”或“假”）

【答案】真

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】解：由题意得：

因为时，则

又，故根据基本不等式可知

故命题为真命题.

故答案为：真

15．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是___________.

【答案】

【分析】由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．

【详解】，易知集合中任意两个元素的和最小值是1+2=3，最大值是，且对任意，，都存在，使得，

所以，由得．

故答案为：1013.

四、解答题

16．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据根式的性质与指数幂运算法则即可计算；

（2）由对数的换底公式与对数运算法则运算即可.

【详解】（1）解：.

（2）解：.

17．记不等式的解集为集合A，关于的不等式的解集为集合

(1)当时，求和；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求得集合，再去求和即可解决；

（2）先化简集合，再依据题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由，可得，

当时，不等式

可化为，解之得

则

（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得A，

不等式，可化为

解之得，则

又，A，则（不能同时取等号），解之得

则实数的取值范围为

18．已知函数满足

(1)求的解析式；

(2)从下面两个条件中选一个，求实数的取值范围.

①若“”为假命题；②若“”为真命题.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用换元法，可得答案；

（2）将问题转化为二次不等式恒成立或有解问题，分情况讨论，可得答案.

【详解】（1）令，则，即，

故.

（2）若选：①，

由“”为假命题，则“”为真命题，

不等式，整理可得，

则问题等价于在上恒成立，

当时，不等式整理为，显然成立；

当时，可得，由，整理可得，解得，即可得；

综上所述，.

若选：②，

不等式，整理可得，

则问题等价于在上有解，

当时，不等式整理为，显然不成立；

当，即时，可得或，则，整理可得，解得或，即可得；

当，即时，令，该函数为开口向下的二次函数，则命题显然成立；

综上所述，.

19．已知函数，其中

(1)若是定义在上的奇函数.①求的值；②判断内的单调性，并用定义证明；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)①；

②单调递增，证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）①利用奇函数的性质得到，然后解方程求；

②利用单调性的定义证明即可；

（2）将证明不等式成立转化为证明成立，结合一次函数的单调性得到，然后分，和三种情况讨论的大小，得到，即可证明成立.

【详解】（1）①因为为R上的奇函数，所以，解得；

②在上单调递增，

设，则，

因为，所以，，，

所以在上单调递增.

（2）当，不等式可整理为，

证明成立即证明成立，

因为，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，则，

当时，；

当时，，当且仅当时等号成立；

当时，；

所以，即，即.

【点睛】（1）已知函数奇偶性求参数的方法①奇函数令求解，偶函数令求解；②奇函数定义域包含零时，可以令求解；

（2）这里主要是利用主参换位的方法，先将不等式看成关于的不等式，然和结合单调性得到，最后再去证明成立即可证明原不等式成立.

20．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？

(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收人月总成本)

【答案】(1)20元

(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元

【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价.

（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.

【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶，

所以提价少月销售总利润为万元．

因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润，

所以，即，

所以，所以售价最多为(元)，

故该饮料每瓶售价最多为20元．

（2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为，

整理得

因为，所以，

所以，

当且仅当时取到等号，

故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．

21．已知函数

(1)若的值；

(2)设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)18；

(2).

【分析】（1）利用因式分解，凑配法代入计算；

（2）对任意恒成立，即为时，，令，则，，分类讨论确定的最大值和最小值，则得的范围．

【详解】（1）由已知，

所以；

（2）对任意恒成立，即为时，，

，

令，设，则，，

所以，即，

所以在上是增函数，因此，

，，

①时，递增，，，所以；

②时，递减，，，

所以；

③时，在上递减，在上递增，，，

，，所以；

④时，在上递减，在上递增，，，

，，所以．

综上，的范围是.

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用换元法把函数转化为二次函数，难点有两个一是换元时注意新元的取值范围，二是根据二次函数的对称轴分类讨论求函数的最大值和最小值．

五、双空题

22．已知函数，若关于的方程有三个互不相等的实数根，则①实数的取值范围为___________；②的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】将问题转化为与有三个不同的交点，作出图象，采用数形结合的方式可确定的取值范围；根据的范围和可求得的取值范围.

【详解】有三个互不相等的实数根等价于与有三个不同的交点，

作出图象如下图所示，

由图象可知：当时，与有三个不同的交点，

即实数的取值范围为；

令，解得：，；

又关于对称，，.

故答案为：；.