2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．若角的终边上有一点，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用三角函数定义建立等量关系，结合公式求解．

【详解】设，

由题意，

因为，

所以，

所以．

故选：B.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的图象，可得答案.

【详解】在同一直角坐标系中画出的图象如下：

所以．

故选：A．

3．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，且点在第一象限，横坐标是，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设射线对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得、，再利用诱导公式求得点的横坐标为的值．

【详解】解：点，在单位圆上，且点在第一象限，设射线对应的角为，横坐标是，故点的纵坐标为，

将点绕原点顺时针旋转到点，则射线对应的终边对应的角为，

则点的横坐标为.

故选：C．

4．若一个角的终边上有一点且，则的值为(　　)

A． B． C．－4或 D．

【答案】C

【详解】试题分析：由已知，得，解得或，故选C．

【解析】利用定义求三角函数的值．

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用诱导公式得到，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】因为，

，

所以，

故选：.

6．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5

【答案】B

【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.

【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；

所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .

故选：B

7．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可

【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：

故选：B

【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题

8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（    ）．

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.

【详解】,

由，

，

即，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：B

二、多选题

9．已知，若是的充分条件，则实数的值可能是（    ）

A．8 B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求出，令，转化为，

根据集合的包含关系和充分条件的定义可得答案.

【详解】，

令，

若，

则或，解得或，

结合选项，若是的充分条件，则实数的值可能是.

故选：CD.

10．下列结论正确的是（   ）

A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边过点，则

【答案】BD

【分析】将化为，即可判断是第二象限角，判断A；根据弧长以及扇形面积公式可判断B；举反例判断C；根据三角函数的定义可判断D.

【详解】因为，故是第二象限角，A错误；

圆心角为的扇形的弧长为，则扇形的半径为，

故扇形面积为，B正确；

若角为锐角，不妨取，则角为锐角，C错误；

角的终边过点，则,则，D正确，

故选：

11．已知，则（    ）

A．当时，上式的值为 B．当时，上式的值为

C．当时，上式的值为 D．当时，上式的值为

【答案】ABD

【解析】先利用诱导公式对已知条件化简，再分别检验四个选项的正误，即可得正确选项.

【详解】

，

当时，原式，故选项A正确；

当时，原式，，故选项B正确；

当时，原式，故选项C不正确；

当时，原式，故选项D正确，

故选：ABD

12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数在区间上存在2个零点

D．若在区间上的根为，则

【答案】ABD

【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.

【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确；

根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；

由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】因为在单调递增，且有零点，

所以，解得，

故答案为：

14．已知函数，且，则_________．

【答案】

【分析】利用，再根据，即可得到答案；

【详解】，

，，

，

故答案为：.

【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

15．使等式成立的角的集合为______.

【答案】

【分析】先由题意得到，进而得到或，从而可求出结果.

【详解】因为

，

所以解得或，

则或，

所以角的集合为或.

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，熟记公式即可，属于常考题型.

16．已知函数，若存在实数t，使的值域为，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据，解得，，讨论和两种情况，计算最值得到答案.

【详解】根据题意知，解得，，解得；

当时，在上的最大值为，

在上的最大值为，不成立；

当时，取，故在上的值域为，

在上的满足，，

，故满足条件；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据值域求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.

四、解答题

17．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角．

(1)最大的负角；

(2)最小的正角；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为，，再根据，即可的解；

（2）根据，即可的解；

（3）根据，即可的解.

【详解】（1）解：与530°角终边相同的角为，，

由且，可得，故所求的最大负角；

（2）解：由且，可得，故所求的最小正角；

（3）解：由且，可得，故所求的角．

18．设函数的定义域为集合的定义域为集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；

（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.

【详解】（1）由，解得或，

所以．

．

当时，由，即，解得，

所以．所以．

（2）由（1）知，．

由，即，解得，

所以．

因为“”是“”的必要条件，

所以．所以，解得．

所以实数的取值范围是．

19．已知f (α)＝.

（1）化简f(α)；

（2）若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

（3）若α＝－，求f(α)的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）利用诱导公式化简即可.

（2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解.

（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.

【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得

.

（2）由，即，

又由，

因为，可得，所以.

（3）由，

可得

.

20．已知函数.

(Ⅰ)证明：当变化，函数的图象恒经过定点；

 (Ⅱ)当时，设，且，求（用表示）；

 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；(Ⅲ) .

【分析】(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标，代入函数解析式即得定点坐标；(Ⅱ)先求出，再利用对数的运算运算法则求；(Ⅲ)化为在区间上有解，令，求得解.

【详解】(Ⅰ)当时，不论取何值，都有

故函数的图象恒经过定点；

(Ⅱ)当时，，

，

.

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，不等式化为

即在区间上有解；

令，则，

，，

，

又是正整数，故的最大值为.

【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题，考查对数的运算法则和对数函数的单调性，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21．已知二次函数的图象经过原点，对称轴为，方程有两相等实根.

（1）求的解析式；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）用待定系数法设出函数解析式，由已知条件得出方程即可求出系数；

（2）令，分离参数，即可求出对应函数的最大值，得出所求；

（3）题目可转化为只有一个正实根，讨论和两种情况可求出.

【详解】（1）设（），

的图象经过原点，，

对称轴为，①，

有两相等实根，②，

由①②可得，

；

（2）由题可得对任意恒成立，

令，则，则对任意恒成立，

可得当时，取得最大值为2，则，

即实数的取值范围为；

（3）与有且只有一个公共点，

则只有一个根，

即只有一个实数根，

令，则，

则有只有一个正实根，

若，则，不符合题意，舍去；

若，则方程的两根异号或方程有两相等正根，

或，

解得或，

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，函数图象有且只有一个公共点转化为方程只有一正根，分类讨论以及转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力.

22．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.

（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；

（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）

【分析】（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；

（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；

（3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论恒成立，再令，求解，即可.

【详解】（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：，

化简得：，

解得：

所以是上的“2阶局部奇函数”.

（2）由是上的“1阶局部奇函数”，

且要满足，所以.

因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程

在有解，即，化简得：，

所以，    

又，所以.

（3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.

即，化简得：，

当时，解得，所以满足题意；

当时，，即：对任意的实数恒成立，

即对任意的实数恒成立，

令，是关于t的一次函数且为上的增函数

则，即：，解得：且

综上，整数k取值的集合.

【点睛】（1）考查对新定义概念的理解与辨析，考查转化与化归思想，中等难度；（2）考查方程有解问题求参数的范围，有一定难度；（3）考查函数与方程思想，函数恒成立问题，综合性较强，属于难题