2022-2023学年江苏省镇江市扬中重点高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中重点高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，且，都是第二象限角，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，是平面内的一组基底，，则(    )

A. A、、三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线

5.  函数的最小正周期为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，已知，则的形状是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形

7.  京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径米，最高点距离地面米，匀速运行一圈的时间是分钟由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

8.  如图，在中，，垂足为，：：：：，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.  下列化简正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标若在坐标系中，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 与的夹角为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是______ ．

14.  已知，则 ______ ．

15.  如图，点，是线段的三等分点，以为基底表示 ______ ．

16.  已知平面向量满足，且与的夹角为，与的夹角为，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在复平面内，复数其中为虚数单位，．
若复数为纯虚数，求的值；
若复数，求的值．

18.  本小题分
已知角满足，求下列各式的值：
Ⅰ；
Ⅱ．

19.  本小题分
已知单位向量，的夹角为，向量，向量．
若，求的值；
若，求
 

20.  本小题分
已知向量，设函数
求的单调区间；
若函数，，其中，当函数大于等于恒成立时，求的取值范围．

21.  本小题分
北京年冬奥会将于年月日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．
求氢能源环保电动步道的长；
若_____；求花卉种植区域总面积．
从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

22.  本小题分
如图，在中，已知，，，为边上的中点，点在线段上，且．
求；
设与相交于点，求下列与的夹角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
直接写出复数对应的点的坐标，则答案可求．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
求出对应向量的坐标，再代入数量积计算公式即可．
本题主要考查向量的数量积，考查运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知可得，，
则，
，
所以．
故选：．
利用已知以及正余弦的平方关系，角的范围分别求出，的值，再利用余弦的差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的公式的应用，涉及到正余弦的同角平方关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，是平面内的一组基底，，
则与不共线，与不共线，则，，不共线，，，；，，不共线，ABC错误；
，，
则，，
所以，，共线，C正确．
故选：．
由已知结合向量共线与点共线的转化检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量共线与点共线的转化，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：


最小正周期为．
故选：．
求三角函数的最小正周期，首先要把函数化成正弦型函数的标准形式，即化成的形式，然后利用求出周期．
本题是求三角函数周期的基本题型，解答本题的关键是化成正弦型函数的标准形式．
 

6.【答案】 

【解析】解：将，代入已知等式得：
，
整理得：，
当，即时，为直角三角形；
当时，得到，为等腰三角形，
则为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
利用余弦定理表示出与，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．
此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
解法一，求出转动的角速度，利用直角三角形的边角关系求出、的值，计算最佳观赏时间的圆心角，即可得在运行的一圈里最佳观赏时长．
解法二，求出转动的角速度，写出点从最下端开始运动，运行中到地面距离的解析式
，计算时的取值范围，求出最佳观赏时长．

【解答】

解：如图所示，摩天轮所在圆的圆心为，点处与地面的距离恰好为米，，交延长线于点．

解法一：转动的角速度为，
计算，
所以，
所以，
所以最佳观赏时间的圆心角为，
在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．
解法二：转动的角速度为，
所以点到从最下端开始运动，运行中到地面距离为
，
令，得，
解得，
即，
所以最佳观赏时长为分钟．
故选B．

8.【答案】 

【解析】解：：：：：，，
，，
则，
又，
则；
故选：．
由题意和直角三角形中正切函数求出、，利用两角和的正切函数求出的值，由的范围和特殊角的正切值求出；
本题考查余弦定理、勾股定理，两角和的正切函数公式等应用，注意角的范围，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，则，不正确；
B.，则与不能比较大小；
C.，则，正确；
D.，则，因此不正确．
故选：．
利用向量的有关知识即可得出．
本题考查了向量的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故A不对；
，故B不对；
，故C正确；
，故D正确，
故选：．
由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．
本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，且，
，即，．
故选：．
由已知直接利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数模的求法，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，，，
且，，
所以，选项A错误；
，所以，选项B正确；
因为，所以，选项C正确；
因为，，
，
所以与的夹角为，选项D正确．
故选：．
利用新定义的坐标概念进行计算可判断每个选项的正确性．
本题考查了新定义的坐标概念，也考查了向量的数量积与坐标运算问题，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：满足的复数所对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
的几何意义为圆上的点到定点的距离，如图：

则的最小值是．
故答案为：．
由题意画出图形，再由复数模的几何意义求解．
本题考查复数模的求法，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
由已知结合诱导公式及二倍角公式即可求解．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为、是线段的三等分点，所以，
故


．
故答案为：．
由、为三等分点，找到与的关系，进行代换即可求得．
本题考查平面向量的线性运算，属简单题．
 

16.【答案】 

【解析】解：
三个向量首尾相接后，构成一个三角形
且与的夹角为，与的夹角为，，
故所得三角形如下图示：
其中，，

故答案为：
由已知，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为，与的夹角为，，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理，可求出向量对应边的长度．
求向量的模有如下方法：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．将表示向量的有向线段纳入三角形，解三角形求出对应边长，从而得到向量的模．
 

17.【答案】解：复数为纯虚数，
，可得．
复数，
，可得． 

【解析】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合，即可求解．
 

18.【答案】解：，解得．
．
Ⅱ． 

【解析】利用和差公式可得：，解得．
利用倍角公式、同角三角函数基本关系式可得：．
Ⅱ利用倍角公式、同角三角函数基本关系式可得：．
本题考查了和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：单位向量，的夹角为， 与  不共线．
向量，向量，
若，则，．
若，．
 ，
求得，，． 

【解析】由题意利用两个向量共线的性质，求出的值．
由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值，可得，从而求出
本题主要考查求向量的模，两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
．
由，得，．
的单调递减区间为，；
由，得，．
的单调递增区间为，．
，，
当函数大于等于恒成立时，即恒成立，
也就是当时，恒成立，
当时，的最小值为，则．
的取值范围是． 

【解析】由已知利用平面向量的坐标运算及二倍角公式求得，再由复合函数的单调性求的单调区间；
问题转化为当时，恒成立，求出在上的最小值，即可求得的范围．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的恒等变换应用，是中档题．
 

21.【答案】解：，，
，，由余弦定理得，
，．
选：，在中，由正弦定理得，．
，由知代入上式可得，解得，
，
，
，，故，
花卉种植区域总面积为．
选：，在中，由余弦定理得，解得或舍去，
，，
，，故，
花卉种植区域总面积为． 

【解析】，利用余弦定可求的长；
选：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
本题考查正余弦定理的应用，以及三角恒等变换，属中档题．
 

22.【答案】解：设，，
，，，
则，，，
，
，
，
则；
，则，
，
，
，
． 

【解析】设，，由已知求得，再由，结合向量模的计算公式求得；
，则，再由数量积求夹角公式可得的余弦值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．