2022-2023学年江苏省镇江市实验高级中学、茅以升高中高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市实验高级中学、茅以升高中高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式确定集合后，由交集定义计算．

【详解】由题意得：，，即，

故选：A.

【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．

2．已知函数满足，则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

【答案】B

【分析】令，解得，再把代入原式即可求解

【详解】令，解得，

所以，

故选：B

3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；

若幂函数在上是减函数，

则，解得或

故必要性不成立

因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件

故选：A

4．已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义即可求出答案.

【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,

,

故选:D

【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.

【详解】，

由对数函数的性质可得，

故.

故选：A

【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.

6．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则sincos的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求出直角三角形的两条直角边，即可求出答案.

【详解】设直角三角形的短边为，一个直角三角形的面积为，

小正方形的面积为20，则边长为.大正方形的面积为100，则边长为10.

直角三角形的面积为.

则直角三角形的长边为.  

故.

即.

故选：B.

7．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则，再结合对数的真数大于0，则得到，解出即可.

【详解】为减函数，

又在区间内为增函数，则，

且当时，恒成立，所以，解得，

则，

故选：B.

8．已知函数且，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围.

【详解】函数，定义域为，

满足，

∴，令，∴，∴为奇函数，

，

∵函数，在均为增函数，

∴在为增函数，

∴在为增函数，

∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得.

故选：B.

二、多选题

9．已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（    ）象限角.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】BD

【分析】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案.

【详解】与是终边相同的角，且，故，

故，

当时，，是第四象限角；

当时，，是第二象限角.

综上所述：可能是第二或四象限角.

故选：BD

10．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【解析】由正切的定义可以判断A选项，由同角三角函数的平方关系以及角的范围，可以判断B、C、D选项.

【详解】A选项：由同角三角函数的基本关系式，知，所以A错误；

B选项：，因为是第二象限角，所以，所以原式，所以B正确；

C选项：是第二象限角，所以，所以有，所以C正确；

D选项: ，但是是第二象限角，符号不确定，所以D错误；

故选：BC.

11．下列说法不正确的有（    ）

A．函数是减函数

B．函数的值域为，则实数的取值范围是

C．幂函数在上为减函数，则的值为1

D．若函数是奇函数，则

【答案】AD

【分析】对于A，根据函数的解析式，结合其定义域，可判断其单调性，判断A;对于B,讨论a的取值，由函数的值域为求得a的取值范围，判断B;对于C，根据幂函数的定义以及性质，可求得的值，判断C;对于D，举反例可判断正误.

【详解】函数定义域为，当时，且单调递减，

当时，且单调递减，故在定义域内不是减函数，A错误；

若函数的值域为，当时，，

由于 可取遍所有的正数，故函数值域为，符合题意；

当时，需满足 ，解得 ，

综上可得实数的取值范围是，B正确；

函数为幂函数，则，

解得或 ，

当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，

所以幂函数在上为减函数，则的值为1，故C正确；

函数定义域为，满足 ，

即为奇函数，但是无意义，故D错误，

故选：.

12．已知函数，若（其中），则的可能取值有（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】BCD

【分析】根据题设条件可得，根据基本不等式可求最小值.

【详解】,

因为，故，

故，

而，故即，而，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

故的可能取值为（均验证）.

故选：BCD.

三、双空题

13．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.

【答案】     2    

【分析】设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解

【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为

故

扇形的面积

由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为

此时，

故答案为：2，

四、填空题

14．幂函数的图像过点,则的减区间为__________.

【答案】

【分析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.

【详解】设幂函数的解析式为

代入点，得，所以

所以幂函数为，定义域为，

所以，则需要

即其定义域为或，

而的对称轴为

所以其单调减区间为

所以的减区间为.

【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.

15．的值为__________．

【答案】1

【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出．

【详解】原式＝．

故答案为：1．

16．已知函数，若值域为，则实数c的范围是______.

【答案】

【分析】由分段函数的解析式进行分析，画出函数图像，由图像分析得出结论.

【详解】当x＝2时，，，

∵值域为，

∴当时，

由，得，此时，

由，得，解得x＝2或x＝－1，

作出图像：

有图像可得：要满足题意则：

综上，，即实数c的取值范围是.

故答案为：

五、解答题

17．已知函数是单调递增的指数函数.

(1)求的值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)３

(2)

【分析】（1）根据指数函数的定义列式计算即可；

（2）分离参数后用基本不等式求最值即可．

【详解】（1）解：由题意知，

解得或（舍去），

．

（2）解：由（1）知，

，

当时取等号，

．

18．已知函数.

(1)若的解集为，求不等式的解集；

(2)若，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）先判断出，，，把不等式化为，即可解得；

（2）构造基本不等式，求出的最小值.

【详解】（1）由题设知且的两根为，

所以，，可得：，

可化为：，解得：，

所以不等式的解集为

（2），且

所以

当且仅当即，取“=”

所以的最小值为6.

19．已知，其中为第二象限角.

(1)求cos﹣sin的值；

(2)求的值.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由已知条件可得，利用同角三角函数基本关系式可得，结合在第二象限，解得cos的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解.

（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan的值，进而即可求解.

【详解】（1）解：由已知条件可得，化简可得，代入sin2α＋cos2α＝1，得，

所以或，

又在第二象限，故cos＜0，所以，

所以，

所以.

（2）解：由（1）得，

所以.

所以.

20．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.

（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；

（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？

【答案】（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.

【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；

（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.

【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；

∴第年研发资金：且定义域为；

（2）由（1）知：，即，

∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.

21．已知函数为偶函数.

(1)求实数的值；

(2)解关于的不等式；

(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数建立等式可求解；

（2）先证明在上的单调性，再根据偶函数解不等式即可；

（3）将问题转化为有两个不相等的正实根，利用一元二次方程根的分布求解即可.

【详解】（1）由函数表达式可知定义域为，

函数为偶函数

即：  

，即.

（2），

任取，且，

则，，，

所以

所以，

所以在上递增，

又因为为上的偶函数，

，

，即，解得，

所求不等式的解集为

（3）

在上有两个不相等的实根

令，则

有两个不相等的正实根

解得.

22．已知函数，，其中.

(1)若的图象与直线没有公共点，求实数a的取值范围；

(2)当时，函数的最小值为，求实数m的值.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）问题化为即可，由二次函数的性质求出最值即可；

（2）由题意得，令，将问题转化为在上的最小值为，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值.

【详解】（1）由题意在上无解，即在上无解，

由，，而，所以，

所以实数a的取值范围为.

（2）当时，则，

所以，

令，又，故（仅当时等号成立）

所以在上的最小值为，

又的图象开口向上，对称轴为，

当，即时，在上单调递增，

所以，解得，不满足，故无解；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得，又，故，

综上所述，.