2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期期中校际联考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．已知点，则与同向的单位向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，然后直接除以模长即可.

【详解】，，故与与同向的单位向量为：.

故选：A

2．已知，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.

【详解】因为，

所以，

所以，，

所以，

所以

，

所以，解得，

故选：D

3．在中，分别是内角所对的边，若，则边（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求.

【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意.

当时，则，由正弦定理，得，解得；

当时，则，此时为等腰三角形满足.

综上，或.

故选：D

4．已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得，分子分母同时除以，代入即可得出答案.

【详解】

故选：C.

5．已知，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由可得，

则，即得，故，

则，

故，

由于，故，

故选：C.

6．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形

C．等边三角形 D．以上结论均不正确

【答案】C

【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.

【详解】由于，所以为锐角，

由余弦定理得，则为锐角.

由以及余弦定理得，

，由于，所以，即，

所以，所以三角形是等边三角形.

故选：C

7．函数的最大值与最小值的和为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.

【详解】

因为，所以，

所以，即，

所以当，即时，，

当，即时，，

所以.

故选：B

8．如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.

【详解】

取中点，

连接，连接，

根据圆的对称性知，

设，，

则有，，

由余弦定理得

同理

所以

同理

电热丝辐射的总热量为，

令，

所以，

即，

令，

则是关于的二次函数，

当电热丝辐射的总热量最大时，，

即，

此时.

故选：B.

二、多选题

9．下列等式成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，

，D错误.

故选：AC

10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点是边的三等分

C．若，则点是边的重心

D．若，且，则的面积是面积的

【答案】AC

【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.

【详解】对于A，由，得，即，

因此点M是边BC的中点，故A正确；

对于B，，，

则点在边的延长线上，所以B不正确；

对于C，设中点，则,，

由重心性质可知C正确；

对于D，且’

设，所以，可知三点共线，

所以的面积是面积的，故D不正确.

故选：AC.

11．下列说法正确的有（    ）

A．，，使 B．，，有

C．，，使 D．，，有

【答案】ABC

【分析】根据取特值法，易知A， C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．

【详解】取，易知A正确D错误；取，，C正确；

因为

，故B正确，

故选：ABC．

【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．

12．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（    ）

A．若是高，则 B．若是中线，则

C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点

【答案】BC

【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.

【详解】由题，，所以，

若CD是高，，得，故A错误；

若CD是中线，，所以，

所以，故B正确；

若CD是角平分线，则，

即，得，故C正确；

若D为线段AB的三等分点，或，

，或，

所以或，故D错误.

故选：BC.

【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.

三、填空题

13．已知，，则_________.

【答案】

【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.

【详解】解：已知，，

则，，

所以，

故答案为：.

14．设中，分别是内角所对的边，且，则_______.

【答案】

【分析】根据正弦定理，余弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】由正弦定理得，

又，

所以，

所以，

结合得，

由余弦定理以及得，

所以，

整理得，，

所以.

故答案为：.

15．已知，在直角三角形中，，，则实数的值是________.

【答案】或

【分析】先求出.然后分为为直角，为直角，为直角，三种情况，分别根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出的值，舍去不满足的值，即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

若为直角，则有，解得，舍去；

若为直角，则有，解得；

若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.

综上所述，或.

故答案为：或.

四、双空题

16．已知，且是方程的两根，则的值是___________；的值是________.

【答案】     /     /

【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.

【详解】由题意，，

，

又，故，

故，.

由，

，

两式联立可得，，，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知都是锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；

（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．

【详解】（1）解：因为与都是锐角，

所以，，

又，

所以，，

所以，，

所以；

（2）因为，，，

所以，解得：(负值舍去).

18．从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.

(1)求角的大小；

(2)若，且 ，求的值及的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由已知条件结合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ；

(2) 若选①, 则可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果.

【详解】（1）因为 ,

由正弦定理得 ,

即 ,

得 ,

又 ,

所以 .

（2）选择①时: ,

故,

根据正弦定理 ,

故 ,

故 .

若选②:

由 及正弦定理 ,

得 ,

解得 ,

所以 .

根据正弦定理 , 得 ,

故 .

19．如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.

(1)若是线段的中点，，求的值；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由已知, 用 表示 , 然后利用向量的基本定理可求,即可;

(2)根据题意, 由数量积的计算公式可得 , 变形可得 , 进而计算可得的值, 进而由向量数量积的计算公式可得, 结合基本不等式的性质分析可得答案.

【详解】（1）若是线段的中点，

则有，

故.

（2），

又因为是矩形，所以，

所以，

又，，

所以，

解得，

所以，

进而得，

因为 ,

所以 ,

故 ,

因此 ,

则.

当且仅当 为 中点时取等号,

即 的最小值为6 .

20．已知向量，，.

(1)求的值；

(2)若，，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出，求出，结合已知即可得出答案；

（2）先求出，然后根据正余弦关系求得，，进而根据两角的正余弦公式，求得以及的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算，即可得出答案.

【详解】（1）因为，

所以.

因为，所以，

所以.

（2）因为，，所以.

因为，，

所以，，

所以，

，

所以.

21．在中，分别是内角所对的边，若.

(1)求；

(2)若，且的面积，求的值；

(3)若，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；

（2）由面积公式及余弦定理化简，解得，由数量积公式计算即可得解；

（3）根据三角恒等变换求出，再由两角差的余弦公式求出，再由余弦定理求即可得解.

【详解】（1）

，

，

.

（2）由，可得，

，

，

，

，解得，

，，

.

（3），，

，

，

由知，,

，即，

由余弦定理，，解得，

，

即的周长为.

22．如图，四边形中，，三角形为正三角形.

(1)当时，设，求的值；

(2)设，则当为多少时.

①四边形的面积最大，最大值是多少？

②线段的长最大，最大值是多少？

【答案】(1)

(2)①；② 3

【分析】（1）过点作交于点,在中，，，，可求出的值；

（2）在中，由余弦定理可得，①表示出面积即可求得四边形的面积最大，②利用正弦定理、余弦定理，三角恒等变换求最值.

【详解】（1）在中，，

，，，，

过点作交于点,在中，，

，

，

.

（2）在中，由余弦定理可得，

，，

，因为，

，此时.

②由正弦定理得，即，

所以，所以 ，

，

由余弦定理得

，

因为，所以当时，取得最大值3.