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2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题，拓展探索题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）
一、选一选：（每题3分，共30分）
1. ﹣2的值等于（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ±2
2. 下列计算正确是（ ）
A. a3+a2=a5 B. a3·a2=a6 C. (a2)3=a6 D.
3. 0.000345用科学记数法表示为（ ）
A. 0.345×10﹣3 B. 3.45×104 C. 3.45×10﹣4 D. 34.5×10﹣5
4. 在0，2，，－5这四个数中，的数是（ ）
A. 0 B. 2 C. D. －5
5. 如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
6. 下列图形中，是对称图形是（ ）
A. B. C. D.
7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个没有透明的布袋里装有7个只有颜色没有同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
二、填 空 题：（每题4分，共24分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___．
12. 因式分解：x3﹣2x2+x=_______．
13. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
14. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围为________．
15. 二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是_____．
16. 如图，在中，，⊙A与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分面积是________（保留）．
三、解 答 题：（每题6分，共18分）
17. 计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；
(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
四、解 答 题：（每题7分，共21分）
20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个没有透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.
21. 雅安牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款.天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
五、解 答 题：（每题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=，求DE的长；
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（没有与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若没有存在，请说明理由：
（3）①求证：；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）
一、选一选：（每题3分，共30分）
1. ﹣2的值等于（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ±2
【正确答案】A
【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以﹣2的值是2，
故选A．
2. 下列计算正确是（ ）
A. a3+a2=a5 B. a3·a2=a6 C. (a2)3=a6 D.
【正确答案】C
【详解】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可：
A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故此选项错误；
B、a3a2=a3+2=a5，故此选项错误；
C、（a2）3=a6，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选C．
3. 0.000345用科学记数法表示为（ ）
A. 0.345×10﹣3 B. 3.45×104 C. 3.45×10﹣4 D. 34.5×10﹣5
【正确答案】C
【分析】对于一个值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是正整数，n等于原数中个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：0.000345=3.45×10﹣4．
故选C．
本题考查了负整数指数科学记数法，根据负整数指数科学记数法要求求出a和n的值是解答本题的关键．
4. 在0，2，，－5这四个数中，的数是（ ）
A. 0 B. 2 C. D. －5
【正确答案】B
【分析】根据0次幂以及实数大小比较法则进行比较即可得．
【详解】=1，
则有-5<0<1<2，
即-5<0<<2，
即的数为2，
故选B．
本题考查了实数的大小比较，涉及了0指数幂，数的大小比较方法为：正数大于负数，0大于负数，0小于正数，两个正数比较大小，值大的数就大，两个负数比较大小，值大的数反而小．任何没有为零的数的零次幂为1．
5. 如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
【正确答案】A
【详解】根据数轴得到a<0，b>0，
∴b>a，
故选A
6. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是，故A正确．
故选：A．
本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减．
8. 一个没有透明的布袋里装有7个只有颜色没有同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为，故选B.
9. 如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】连接OC，由切线的性质可求出，再根据题意可知，即求出，根据三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】如图，连接OC，
由切线的性质可知，即．
∵OA=OC，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
10. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵直线与y轴的交点为（0，－1），故排除B、D．
又∵k2＞0，
∴双曲线在一、三象限．
故选∶A．
二、填 空 题：（每题4分，共24分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___．
【正确答案】
【详解】解：在实数范围内有意义，
则；解得
故答案为
12. 因式分解：x3﹣2x2+x=_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：先提公因式x，再用完全平方公式分解即可，所以．
考点：因式分解．
13. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
【正确答案】
【分析】由勾股定理可求得斜边AC，由正弦函数定义即可解决．
【详解】由勾股定理知，
∴
故答案为:
本题考查了求锐角的正弦函数值，勾股定理，掌握正弦函数的定义是关键．
14. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围为________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵方程有两个没有相等的实数根，a=1，b=−3，c=m
解得
故答案为
15. 二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是_____．
【正确答案】-4
【详解】分析：用配方法把二次函数y=x2+2x﹣3化成顶点式，根据二次函数的性质写出答案即可.
详解：∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2-4,
∴二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是-4.
故答案为-4.
点睛：利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图像与系数的关系，利用 求出顶点纵坐标.
16. 如图，在中，，⊙A与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是________（保留）．
【正确答案】
【详解】试题分析：连接AD，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，则AD⊥BC，BD=BC==，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，可求得∠B=30°，AD=BD·tan∠B=×=1，因此可求=．
考点：1．解直角三角形，2．扇形的面积公式
三、解 答 题：（每题6分，共18分）
17. 计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
【正确答案】4
【详解】分析：项根据一个负数的值等于它的相反数计算，第二项根据非零数的零次方等于1计算，第三项根据一个数的负整数指数幂等于这个数正整数次幂的倒数计算.
详解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
=3﹣1﹣（﹣2）
=3﹣1+2
=4．
点睛：本题考考查了值、零指数幂、负整数指数幂的计算，熟练掌握值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键.
18. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，
【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简．
【详解】解：原式=
当时，原式=
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；
(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）8.
【分析】（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；
（2）利用三角形中位线性质求解．
【详解】（1）如图，DE为所作；
（2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，
∴△ABC中位线定理，
∴BC=2DE=8．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
四、解 答 题：（每题7分，共21分）
20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个没有透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.
【正确答案】见解析；
【详解】试题分析：根据题意补全树状图，根据树状图得出两数之积为奇数个数，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：（1） 如图，补全树状图；
（2） 从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，
∴P（积为奇数）=
考点：概率的计算.
21. 雅安牵动着全国人民心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款.天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【正确答案】（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.
【分析】（1）根据“天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可.
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.
【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
，
解得x1=0.1，x2=－1.9（没有合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%.
（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.
22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【正确答案】这棵树CD的高度为8.7米
【详解】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
考点：解直角三角形的应用
五、解 答 题：（每题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
【正确答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为；(3) .
【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=-x 2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
【详解】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标，
∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∵点P的坐标为，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（0，），
∴BC== ，
∴．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=，求DE的长；
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
【正确答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．
试题解析：（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°
∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DE•AH=ו=，∴DE=；
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF与△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF与△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（没有与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若没有存在，请说明理由：
（3）①求证：；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？
【正确答案】(1) ;（2）存在；满足条件的AD的值为2或2;(3) ①见解析，②，当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．
【分析】（1）求出AB、BC的长即可得出结果；
（2）先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，分两种情况：①当E在线段CO上时，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，即可得出结果；
②当E在OC的延长线上时，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，得出∠ABD＝∠ADB＝75°即可得出结果；
（3）①先表示出DN，BM，证出△BMD∽△DNE，即可得出结论；
②作DH⊥AB于H，用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题
【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴B（2 ，2）；
故答案为（2，2）；
（2）存在；理由如下：
∵OA＝2，OC＝2，
∵tan∠ACO＝
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，
分两种情况：
①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图像可知，只有ED＝EC，如图1所示：
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，
∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；
②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如图2所示：
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴AB＝AD＝2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2；
（3）①证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：
∵A（0，2）和C（2，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（a，﹣a+2），
∴DN＝﹣a+2，BM＝2 ﹣a，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴＝＝ ；
②作DH⊥AB于H，如图4所示：
在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DH＝AD＝x，
∴BH＝2﹣x，
在Rt△BDH中，BD＝
∴
∴矩形BDEF的面积为
∴
∵ ＞0，
∴x＝3时，y有最小值 ，
即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、分类讨论、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. -2的值是（ ）
A 2 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2017年是全面实施“十三五”脱贫攻坚的关键时期．岳池县通过发展产业带动6249贫困人口脱贫，这个数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 6.249×104 B. 6.249×103 C. 6.249×105 D. 0.6249×104
4. 若一组数据2，4，，5，7的平均数为5，则这组数据中的和中位数分别为（ ）
A. 5，7 B. 5，5 C. 7，5 D. 7，7
5. 如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=﹣3 B. x＞﹣3 C. x≠﹣3 D. x＜﹣3
6. 如图所示的几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
7. 若函数的函数值随的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等四边形一定是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 对角线相等的四边形一定是正方形
9. 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则si的值是
A. B. C. D.
10. 如图，关于二次函数的结论正确的是( )
①；
②当时，；
③若，在函数图象上，当时，；
④.
A ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为__________．
12. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置 ，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______．
13. 没有等式组的整数解分别是____________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．
15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是____________．
三、解 答 题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证:AC=AD．
20. 如图，直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在象限交于点A，连接OA，且．
（1）求ΔBOC的面积．
（2）求点A的坐标和反比例函数的解析式．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21、22、23题各8分，第24题6分，共30分）
21. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
22. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻没有容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理某种空气净化器，其进价时元/台。市场后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台的任务。
（1）求出月量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月这种空气净化器所获得的利润（单位：元）？利润是多少？
23. 高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）
24. 现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
分别在图①、图②、图③中，平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
（2）裁成两部分在拼成几何图形时要互没有重叠且没有留空隙．
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
五、推理论证题（本题9分）
25. 如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．
六、拓展探索题（本题10分）
26. 如图，关于x二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. -2的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的值是2，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据同底数幂的乘法，积的乘方, 去值符号及合并同类项法则,对各选项分析判断即可得出答案.
详解：A项，根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加，，故A项错误；
B项，，故B项错误；
C项，2a-3a=-a≠-1,故C项错误．
D项，由值的定义可知，,故选D.
点睛：本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方,合并同类项,去值符号，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
3. 2017年是全面实施“十三五”脱贫攻坚的关键时期．岳池县通过发展产业带动6249贫困人口脱贫，这个数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 6.249×104 B. 6.249×103 C. 6.249×105 D. 0.6249×104
【正确答案】B
【详解】分析：用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,n为整数,据此判断即可.
详解：6249这个数用科学记数法表示为.故选B.
点睛：科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数值>1时,n是正数;当原数的值<1时,n是负数.
4. 若一组数据2，4，，5，7的平均数为5，则这组数据中的和中位数分别为（ ）
A. 5，7 B. 5，5 C. 7，5 D. 7，7
【正确答案】C
【详解】分析：先根据平均数的定义求出x的值,再把这组数据从小到大排列,求出最中间两个数的平均数即可.
详解：∵2，4，，5，7的平均数为5，
∴(2+4+x+5+7) ÷5=5,
解得:x=7,
把这组数据从小到大排列为2,4,5,7,7,
∴这组数据的中位数5,故选C..
点睛：此题考查了中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.
5. 如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=﹣3 B. x＞﹣3 C. x≠﹣3 D. x＜﹣3
【正确答案】C
【分析】根据分母没有等于零时分式有意义，可得答案．
【详解】由题意，得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故选C．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母没有等于零是解答此题的关键．
6. 如图所示的几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】从上往下看，易得一个正六边形和圆．
故选D．
7. 若函数的函数值随的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】直接根据函数的性质可得m-3>0，解没有等式即可确定答案．
【详解】解：∵函数y=(m−3)x+5中，y随着x的增大而增大，
∴m−3>0，
解得：m>3.
故选C.
本题考查了函数的性质，熟知函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大是解答本题的关键.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等的四边形一定是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 对角线相等的四边形一定是正方形
【正确答案】A
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．
考点： 命题与定理．
9. 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则si的值是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，连接DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵⊙O的半径为，
∴AD=3，
∴sin∠ADC=，
又∵∠B=∠ADC，
∴si=.
故选D.
10. 如图，关于二次函数的结论正确的是( )
①；
②当时，；
③若，在函数图象上，当时，；
④.
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
【正确答案】B
【详解】分析：根据抛物线对称轴可判断①;根据图象知当-1≤x≤3时图象位于x轴下方或在x轴上,可判断②;根据函数对称轴即可判断增减性,可判断③;由图象过(3,0)可判断④.
详解：由图象可知,当x=-1时,y=0;当x=3时,y=0;
∴抛物线解析式为x=1,即=1,得:2a+b=0,故①正确;
当-1≤x≤3时,y≤0,故②错误;
当 时, ,故③错误;
∵当x=1时，y=0, ∴a-b+c=0, ∵b=-2a, ∴3a+c=0,故④正确;
故选B..
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中.
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为__________．
【正确答案】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标没有变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标没有变，纵坐标互为相反数可知，点关于轴的对称点的坐标为．
故．
本题考查了关于轴的对称点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置 ，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______．
【正确答案】22°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线m∥n，
∴∠1=∠2-∠ABC=52°-30°=22°．
故答案为22°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13. 没有等式组的整数解分别是____________．
【正确答案】-1,0,1,2
【详解】分析：首先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再根据大小小大中间找，确定没有等式组的解集即可．
详解：
由①得：x＞-2；
由②得：x≤2．
故没有等式组的解集为：-2
14. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．
【正确答案】18．
【分析】利用菱形的性质勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【详解】∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，
∴BC＝AB＝，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．
本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理，求出菱形的边长，是解题的关键.
15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________．
【正确答案】-11
【详解】分析：根据正比例函数图象和反比例函数图象性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-1，-2），然后观察函数图象，当-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有＞．
详解：∵正比例函数y 1=k 1x与反比例函数y 2= 的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-1，-2），
当-1＜x＜0或x＞1时，y 1＞y 2．
故答案为-1＜x＜0或x＞1．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是____________．
【正确答案】3028.5π
【分析】首先求得每转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动顶点A的路线长是：=2π，
转动第二次顶点A的路线长是：，
转动第三次顶点A的路线长是：，
转动第四次顶点A的路线长是0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次的路线长为：，
∵2018÷4=504…2，
∴顶点A转动在整个旋转过程中所的路程之和为：6π×504+2π+ =3028.5π，
故答案为3028.5π．
本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
三、解 答 题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17. 计算：
【正确答案】4
【详解】分析：分析：根据负指数幂、立方根、零指数幂、角的三角函数值的性质化简,然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果,
详解：原式
点睛：本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键.
18. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】；
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,然后把x代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
=
当时，原式=．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证:AC=AD．
【正确答案】见解析
【分析】要证AC=AD，只需要证明△ABC≌△AED，在这两个三角形中，已知AB＝AE、∠C＝∠D，只需要通过∠1＝∠2来证明∠BAC=∠DAE即可.
【详解】∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC
∴∠BAC=∠EAD
在ΔABC和ΔAED中
∴ΔABC≌ΔAED（AAS)
∴AC=AD
点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
20. 如图，直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在象限交于点A，连接OA，且．
（1）求ΔBOC的面积．
（2）求点A的坐标和反比例函数的解析式．
【正确答案】（1）2；（2）
【详解】分析：(1) 根据题意求出点B、点C的坐标,然后利用三角形的面积公式求出△BOC的面积; (2) 根据三角形的面积公式求出点A的纵坐标,得到点A的横坐标,代入反比例函数解析式计算即可.
详解:（1）∵直线y=x-2与轴交于点C，与轴交于点B，
∴将代入y=x-2，得y=-2，则C(0,-2)，
将y=0代入 y=x-2，得x=2，则B(2,0)，
∴OC=2,0B=2
∴
（2）∵，
∴
设A(x,y)，则，y=1
∴将y=1代入y=x-2中，得x=3，即A(3,1)
∴将代入中，K=3×1=3
∴该反比例函数的解析式为
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，反比例函数与函数上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，求出点A的坐标是解答本题的关键.
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21、22、23题各8分，第24题6分，共30分）
21. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
22. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻没有容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理某种空气净化器，其进价时元/台。市场后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台的任务。
（1）求出月量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月这种空气净化器所获得的利润（单位：元）？利润是多少？
【正确答案】（1）y=-10x+4200，；（2）310,121000
【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出y与x的关系式．
（2）根据题意列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出W的值．
【详解】解：（1）根据题中条件价每降低5元，月量就可多售出50台，
当售价为x时，降了（400-x），所以月多了10（400-x）台，
则月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=10（400-x）+200=-10x+4200
∵空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台
∴解得
（2）由题意有：w=
=
=
=
∴当售价定为310元时，w有值，为121000
本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系．
23. 高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）
【正确答案】没有需要改道行驶
【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF于点H，由图可知，
∵∠ACH=75°－15°=60°，
∴．
∵AH＞100米，
∴消防车没有需要改道行驶．
过点A作AH⊥CF交CF于点H，应用三角函数求出AH的长，大于100米，没有需要改道行驶，没有大于100米，需要改道行驶．
24. 现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
分别在图①、图②、图③中，平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互没有重叠且没有留空隙．
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）剪出一个非正方形的矩形，过平行四边形的一个定点作垂线即可；
（2）连接平行四边形的对角线即可得出答案；
（3）找到一边的中点，然后连接其中一个顶点和对边的中点即可．
详解】如图所示．
五、推理论证题（本题9分）
25. 如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．
【正确答案】（1）位置关系：CE是⊙O的切线；（2）30°.
【详解】分析：（1）连接OC，利用思路：连半径，通过角的变换，证明出CO与CE的垂直关系，即可得出结论．（2）用m表示出DC、AC，根据△ACB∽△BCD，得出一组等量关系，从而求出BC，再求出∠A的正切值，即可得出∠A=30．
详解：（1）位置关系：CE是⊙O的切线.
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°.
∵点E是BD的中点，
∴BE=CE.
∴∠EBC=∠ECB.
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC
∴∠OCE=∠OBE.
∵BD⊥AB
∴∠OCE=∠OBE=90°
∴CE是⊙O的切线.
（2）∵∠ACB=∠BCD，∠A=∠DBC
∴ΔACB∽ΔBCD.
∴
∴
∵AC=3CD
∴,即
∴在RtΔACB中,tan∠A=
∴∠A=30°.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键.
六、拓展探索题（本题10分）
26. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）
一、选一选：（每题3分，共30分）
1. ﹣2的值等于（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ±2
2. 下列计算正确是（ ）
A. a3+a2=a5 B. a3·a2=a6 C. (a2)3=a6 D.
3. 0.000345用科学记数法表示为（ ）
A. 0.345×10﹣3 B. 3.45×104 C. 3.45×10﹣4 D. 34.5×10﹣5
4. 在0，2，，－5这四个数中，的数是（ ）
A. 0 B. 2 C. D. －5
5. 如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
6. 下列图形中，是对称图形是（ ）
A. B. C. D.
7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个没有透明的布袋里装有7个只有颜色没有同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
二、填 空 题：（每题4分，共24分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___．
12. 因式分解：x3﹣2x2+x=_______．
13. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
14. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围为________．
15. 二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是_____．
16. 如图，在中，，⊙A与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分面积是________（保留）．
三、解 答 题：（每题6分，共18分）
17. 计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；
(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
四、解 答 题：（每题7分，共21分）
20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个没有透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.
21. 雅安牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款.天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
五、解 答 题：（每题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=，求DE的长；
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（没有与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若没有存在，请说明理由：
（3）①求证：；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月）
一、选一选：（每题3分，共30分）
1. ﹣2的值等于（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ±2
【正确答案】A
【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以﹣2的值是2，
故选A．
2. 下列计算正确是（ ）
A. a3+a2=a5 B. a3·a2=a6 C. (a2)3=a6 D.
【正确答案】C
【详解】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可：
A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故此选项错误；
B、a3a2=a3+2=a5，故此选项错误；
C、（a2）3=a6，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选C．
3. 0.000345用科学记数法表示为（ ）
A. 0.345×10﹣3 B. 3.45×104 C. 3.45×10﹣4 D. 34.5×10﹣5
【正确答案】C
【分析】对于一个值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是正整数，n等于原数中个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：0.000345=3.45×10﹣4．
故选C．
本题考查了负整数指数科学记数法，根据负整数指数科学记数法要求求出a和n的值是解答本题的关键．
4. 在0，2，，－5这四个数中，的数是（ ）
A. 0 B. 2 C. D. －5
【正确答案】B
【分析】根据0次幂以及实数大小比较法则进行比较即可得．
【详解】=1，
则有-5<0<1<2，
即-5<0<<2，
即的数为2，
故选B．
本题考查了实数的大小比较，涉及了0指数幂，数的大小比较方法为：正数大于负数，0大于负数，0小于正数，两个正数比较大小，值大的数就大，两个负数比较大小，值大的数反而小．任何没有为零的数的零次幂为1．
5. 如图所示，a与b的大小关系是（ ）
A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
【正确答案】A
【详解】根据数轴得到a<0，b>0，
∴b>a，
故选A
6. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是，故A正确．
故选：A．
本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减．
8. 一个没有透明的布袋里装有7个只有颜色没有同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为，故选B.
9. 如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】连接OC，由切线的性质可求出，再根据题意可知，即求出，根据三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】如图，连接OC，
由切线的性质可知，即．
∵OA=OC，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
10. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：∵直线与y轴的交点为（0，－1），故排除B、D．
又∵k2＞0，
∴双曲线在一、三象限．
故选∶A．
二、填 空 题：（每题4分，共24分）
11. 函数的自变量x的取值范围是___．
【正确答案】
【详解】解：在实数范围内有意义，
则；解得
故答案为
12. 因式分解：x3﹣2x2+x=_______．
【正确答案】
【详解】试题分析：先提公因式x，再用完全平方公式分解即可，所以．
考点：因式分解．
13. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
【正确答案】
【分析】由勾股定理可求得斜边AC，由正弦函数定义即可解决．
【详解】由勾股定理知，
∴
故答案为:
本题考查了求锐角的正弦函数值，勾股定理，掌握正弦函数的定义是关键．
14. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围为________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵方程有两个没有相等的实数根，a=1，b=−3，c=m
解得
故答案为
15. 二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是_____．
【正确答案】-4
【详解】分析：用配方法把二次函数y=x2+2x﹣3化成顶点式，根据二次函数的性质写出答案即可.
详解：∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2-4,
∴二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是-4.
故答案为-4.
点睛：利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图像与系数的关系，利用 求出顶点纵坐标.
16. 如图，在中，，⊙A与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是________（保留）．
【正确答案】
【详解】试题分析：连接AD，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，则AD⊥BC，BD=BC==，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，可求得∠B=30°，AD=BD·tan∠B=×=1，因此可求=．
考点：1．解直角三角形，2．扇形的面积公式
三、解 答 题：（每题6分，共18分）
17. 计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
【正确答案】4
【详解】分析：项根据一个负数的值等于它的相反数计算，第二项根据非零数的零次方等于1计算，第三项根据一个数的负整数指数幂等于这个数正整数次幂的倒数计算.
详解：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
=3﹣1﹣（﹣2）
=3﹣1+2
=4．
点睛：本题考考查了值、零指数幂、负整数指数幂的计算，熟练掌握值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键.
18. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，
【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简．
【详解】解：原式=
当时，原式=
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；
(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）8.
【分析】（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；
（2）利用三角形中位线性质求解．
【详解】（1）如图，DE为所作；
（2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，
∴△ABC中位线定理，
∴BC=2DE=8．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
四、解 答 题：（每题7分，共21分）
20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个没有透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.
【正确答案】见解析；
【详解】试题分析：根据题意补全树状图，根据树状图得出两数之积为奇数个数，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：（1） 如图，补全树状图；
（2） 从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，
∴P（积为奇数）=
考点：概率的计算.
21. 雅安牵动着全国人民心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款.天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【正确答案】（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.
【分析】（1）根据“天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可.
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.
【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
，
解得x1=0.1，x2=－1.9（没有合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%.
（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.
22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【正确答案】这棵树CD的高度为8.7米
【详解】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
考点：解直角三角形的应用
五、解 答 题：（每题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
【正确答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为；(3) .
【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=-x 2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
【详解】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标，
∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∵点P的坐标为，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（0，），
∴BC== ，
∴．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
（1）求证：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=，求DE的长；
（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．
【正确答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．
试题解析：（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°
∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DE•AH=ו=，∴DE=；
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF与△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF与△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（没有与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若没有存在，请说明理由：
（3）①求证：；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？
【正确答案】(1) ;（2）存在；满足条件的AD的值为2或2;(3) ①见解析，②，当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．
【分析】（1）求出AB、BC的长即可得出结果；
（2）先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，分两种情况：①当E在线段CO上时，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，即可得出结果；
②当E在OC的延长线上时，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，得出∠ABD＝∠ADB＝75°即可得出结果；
（3）①先表示出DN，BM，证出△BMD∽△DNE，即可得出结论；
②作DH⊥AB于H，用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题
【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴B（2 ，2）；
故答案为（2，2）；
（2）存在；理由如下：
∵OA＝2，OC＝2，
∵tan∠ACO＝
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，
分两种情况：
①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图像可知，只有ED＝EC，如图1所示：
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，
∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；
②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如图2所示：
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴AB＝AD＝2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2；
（3）①证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：
∵A（0，2）和C（2，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（a，﹣a+2），
∴DN＝﹣a+2，BM＝2 ﹣a，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴＝＝ ；
②作DH⊥AB于H，如图4所示：
在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DH＝AD＝x，
∴BH＝2﹣x，
在Rt△BDH中，BD＝
∴
∴矩形BDEF的面积为
∴
∵ ＞0，
∴x＝3时，y有最小值 ，
即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、分类讨论、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. -2的值是（ ）
A 2 B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2017年是全面实施“十三五”脱贫攻坚的关键时期．岳池县通过发展产业带动6249贫困人口脱贫，这个数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 6.249×104 B. 6.249×103 C. 6.249×105 D. 0.6249×104
4. 若一组数据2，4，，5，7的平均数为5，则这组数据中的和中位数分别为（ ）
A. 5，7 B. 5，5 C. 7，5 D. 7，7
5. 如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=﹣3 B. x＞﹣3 C. x≠﹣3 D. x＜﹣3
6. 如图所示的几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
7. 若函数的函数值随的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等四边形一定是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 对角线相等的四边形一定是正方形
9. 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则si的值是
A. B. C. D.
10. 如图，关于二次函数的结论正确的是( )
①；
②当时，；
③若，在函数图象上，当时，；
④.
A ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为__________．
12. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置 ，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______．
13. 没有等式组的整数解分别是____________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．
15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是____________．
三、解 答 题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证:AC=AD．
20. 如图，直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在象限交于点A，连接OA，且．
（1）求ΔBOC的面积．
（2）求点A的坐标和反比例函数的解析式．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21、22、23题各8分，第24题6分，共30分）
21. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
22. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻没有容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理某种空气净化器，其进价时元/台。市场后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台的任务。
（1）求出月量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月这种空气净化器所获得的利润（单位：元）？利润是多少？
23. 高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）
24. 现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
分别在图①、图②、图③中，平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
（2）裁成两部分在拼成几何图形时要互没有重叠且没有留空隙．
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
五、推理论证题（本题9分）
25. 如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．
六、拓展探索题（本题10分）
26. 如图，关于x二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. -2的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的值是2，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据同底数幂的乘法，积的乘方, 去值符号及合并同类项法则,对各选项分析判断即可得出答案.
详解：A项，根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加，，故A项错误；
B项，，故B项错误；
C项，2a-3a=-a≠-1,故C项错误．
D项，由值的定义可知，,故选D.
点睛：本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方,合并同类项,去值符号，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
3. 2017年是全面实施“十三五”脱贫攻坚的关键时期．岳池县通过发展产业带动6249贫困人口脱贫，这个数据用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. 6.249×104 B. 6.249×103 C. 6.249×105 D. 0.6249×104
【正确答案】B
【详解】分析：用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,n为整数,据此判断即可.
详解：6249这个数用科学记数法表示为.故选B.
点睛：科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数值>1时,n是正数;当原数的值<1时,n是负数.
4. 若一组数据2，4，，5，7的平均数为5，则这组数据中的和中位数分别为（ ）
A. 5，7 B. 5，5 C. 7，5 D. 7，7
【正确答案】C
【详解】分析：先根据平均数的定义求出x的值,再把这组数据从小到大排列,求出最中间两个数的平均数即可.
详解：∵2，4，，5，7的平均数为5，
∴(2+4+x+5+7) ÷5=5,
解得:x=7,
把这组数据从小到大排列为2,4,5,7,7,
∴这组数据的中位数5,故选C..
点睛：此题考查了中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.
5. 如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x=﹣3 B. x＞﹣3 C. x≠﹣3 D. x＜﹣3
【正确答案】C
【分析】根据分母没有等于零时分式有意义，可得答案．
【详解】由题意，得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故选C．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母没有等于零是解答此题的关键．
6. 如图所示的几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】从上往下看，易得一个正六边形和圆．
故选D．
7. 若函数的函数值随的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】直接根据函数的性质可得m-3>0，解没有等式即可确定答案．
【详解】解：∵函数y=(m−3)x+5中，y随着x的增大而增大，
∴m−3>0，
解得：m>3.
故选C.
本题考查了函数的性质，熟知函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大是解答本题的关键.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等的四边形一定是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 对角线相等的四边形一定是正方形
【正确答案】A
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．
考点： 命题与定理．
9. 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则si的值是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，连接DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵⊙O的半径为，
∴AD=3，
∴sin∠ADC=，
又∵∠B=∠ADC，
∴si=.
故选D.
10. 如图，关于二次函数的结论正确的是( )
①；
②当时，；
③若，在函数图象上，当时，；
④.
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ③④
【正确答案】B
【详解】分析：根据抛物线对称轴可判断①;根据图象知当-1≤x≤3时图象位于x轴下方或在x轴上,可判断②;根据函数对称轴即可判断增减性,可判断③;由图象过(3,0)可判断④.
详解：由图象可知,当x=-1时,y=0;当x=3时,y=0;
∴抛物线解析式为x=1,即=1,得:2a+b=0,故①正确;
当-1≤x≤3时,y≤0,故②错误;
当 时, ,故③错误;
∵当x=1时，y=0, ∴a-b+c=0, ∵b=-2a, ∴3a+c=0,故④正确;
故选B..
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中.
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为__________．
【正确答案】
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标没有变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标没有变，纵坐标互为相反数可知，点关于轴的对称点的坐标为．
故．
本题考查了关于轴的对称点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置 ，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______．
【正确答案】22°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线m∥n，
∴∠1=∠2-∠ABC=52°-30°=22°．
故答案为22°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13. 没有等式组的整数解分别是____________．
【正确答案】-1,0,1,2
【详解】分析：首先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再根据大小小大中间找，确定没有等式组的解集即可．
详解：
由①得：x＞-2；
由②得：x≤2．
故没有等式组的解集为：-2
14. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．
【正确答案】18．
【分析】利用菱形的性质勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【详解】∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，
∴BC＝AB＝，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．
本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理，求出菱形的边长，是解题的关键.
15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当时，的取值范围是____________．
【正确答案】-1
【详解】分析：根据正比例函数图象和反比例函数图象性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-1，-2），然后观察函数图象，当-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有＞．
详解：∵正比例函数y 1=k 1x与反比例函数y 2= 的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-1，-2），
当-1＜x＜0或x＞1时，y 1＞y 2．
故答案为-1＜x＜0或x＞1．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
16. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2018次后，顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是____________．
【正确答案】3028.5π
【分析】首先求得每转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动顶点A的路线长是：=2π，
转动第二次顶点A的路线长是：，
转动第三次顶点A的路线长是：，
转动第四次顶点A的路线长是0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次的路线长为：，
∵2018÷4=504…2，
∴顶点A转动在整个旋转过程中所的路程之和为：6π×504+2π+ =3028.5π，
故答案为3028.5π．
本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
三、解 答 题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17. 计算：
【正确答案】4
【详解】分析：分析：根据负指数幂、立方根、零指数幂、角的三角函数值的性质化简,然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果,
详解：原式
点睛：本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键.
18. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】；
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,然后把x代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
=
当时，原式=．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证:AC=AD．
【正确答案】见解析
【分析】要证AC=AD，只需要证明△ABC≌△AED，在这两个三角形中，已知AB＝AE、∠C＝∠D，只需要通过∠1＝∠2来证明∠BAC=∠DAE即可.
【详解】∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC
∴∠BAC=∠EAD
在ΔABC和ΔAED中
∴ΔABC≌ΔAED（AAS)
∴AC=AD
点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
20. 如图，直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在象限交于点A，连接OA，且．
（1）求ΔBOC的面积．
（2）求点A的坐标和反比例函数的解析式．
【正确答案】（1）2；（2）
【详解】分析：(1) 根据题意求出点B、点C的坐标,然后利用三角形的面积公式求出△BOC的面积; (2) 根据三角形的面积公式求出点A的纵坐标,得到点A的横坐标,代入反比例函数解析式计算即可.
详解:（1）∵直线y=x-2与轴交于点C，与轴交于点B，
∴将代入y=x-2，得y=-2，则C(0,-2)，
将y=0代入 y=x-2，得x=2，则B(2,0)，
∴OC=2,0B=2
∴
（2）∵，
∴
设A(x,y)，则，y=1
∴将y=1代入y=x-2中，得x=3，即A(3,1)
∴将代入中，K=3×1=3
∴该反比例函数的解析式为
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，反比例函数与函数上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，求出点A的坐标是解答本题的关键.
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21、22、23题各8分，第24题6分，共30分）
21. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
22. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻没有容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理某种空气净化器，其进价时元/台。市场后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台的任务。
（1）求出月量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月这种空气净化器所获得的利润（单位：元）？利润是多少？
【正确答案】（1）y=-10x+4200，；（2）310,121000
【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出y与x的关系式．
（2）根据题意列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质即可求出W的值．
【详解】解：（1）根据题中条件价每降低5元，月量就可多售出50台，
当售价为x时，降了（400-x），所以月多了10（400-x）台，
则月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=10（400-x）+200=-10x+4200
∵空气净化器售价没有能低于元/台，代理商每月要完成没有低于台
∴解得
（2）由题意有：w=
=
=
=
∴当售价定为310元时，w有值，为121000
本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系．
23. 高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）
【正确答案】没有需要改道行驶
【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF于点H，由图可知，
∵∠ACH=75°－15°=60°，
∴．
∵AH＞100米，
∴消防车没有需要改道行驶．
过点A作AH⊥CF交CF于点H，应用三角函数求出AH的长，大于100米，没有需要改道行驶，没有大于100米，需要改道行驶．
24. 现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．
分别在图①、图②、图③中，平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互没有重叠且没有留空隙．
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）剪出一个非正方形的矩形，过平行四边形的一个定点作垂线即可；
（2）连接平行四边形的对角线即可得出答案；
（3）找到一边的中点，然后连接其中一个顶点和对边的中点即可．
详解】如图所示．
五、推理论证题（本题9分）
25. 如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．
（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．
（2）若AC=3CD，求∠A的大小．
【正确答案】（1）位置关系：CE是⊙O的切线；（2）30°.
【详解】分析：（1）连接OC，利用思路：连半径，通过角的变换，证明出CO与CE的垂直关系，即可得出结论．（2）用m表示出DC、AC，根据△ACB∽△BCD，得出一组等量关系，从而求出BC，再求出∠A的正切值，即可得出∠A=30．
详解：（1）位置关系：CE是⊙O的切线.
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°.
∵点E是BD的中点，
∴BE=CE.
∴∠EBC=∠ECB.
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC
∴∠OCE=∠OBE.
∵BD⊥AB
∴∠OCE=∠OBE=90°
∴CE是⊙O的切线.
（2）∵∠ACB=∠BCD，∠A=∠DBC
∴ΔACB∽ΔBCD.
∴
∴
∵AC=3CD
∴,即
∴在RtΔACB中,tan∠A=
∴∠A=30°.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键.
六、拓展探索题（本题10分）
26. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
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