安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三4月月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三4月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，，且为纯虚数，则（    ）
A． B．2 C． D．
3．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A，B两点，则（    ）
A．4 B． C．8 D．
4．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（    ）（单位：平方厘米）

A． B． C． D．
5．函数的图像是（    ）
A． B．
C． D．
6．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ）
A．圆的方程为 B．轨迹圆的面积为
C．在上存在使得 D．当，，三点不共线时，射线是的平分线
7．已知，，（e为自然对数的底数），则（    ）
A． B． C． D．
8．某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A、B、C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为（    ）
A．14 B．20 C．24 D．36

二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值
B．当向运动时，二面角逐渐变小
C．在平面内的射影长为
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
10．已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．是等比数列
C．是单调递增数列 D．
11．已知函数与，则下列结论正确的是（    ）
A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象与的图象相邻的两个交点间的距离为
C．图象的一条对称轴为
D．在区间上单调递增
12．已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，

三、填空题
13．已知，，与的夹角为θ，且，则θ＝ ．
14．的展开式中的常数项为 用数字作答
15．已知正四棱台内接于半径为1的球，且球心是四边形的中心，若该棱台的侧棱与底面所成的角是60°，则该棱台的体积为 .
16．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．

四、解答题
17．已知数列的前项和，数列满足 ，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．的内角的对边分别为，，且______．
(1)求的面积；
(2)若，求．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取100人，把他们的治愈记录进行比较，结果如下表所示：

治愈
未治愈
合计
使用新药
60


未使用新药

50

合计



(1)请完成列联表，是否有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？
(2)把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取3人，其中被治愈的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
(3)该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由.
（参考数据：，，，，，，）
附：，

0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．

(1)证明：平面；
(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
21．分别是椭圆的左、右焦点，，M是E上一点，直线MF2与x轴垂直，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B，C，D是椭圆E上的四点，AC与BD相交于点F2，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.
22．已知函数在处取得极值．
(1)求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】解不等式求得集合A，可得其补集，根据集合的运算即可判断每个选项，可得答案.
【详解】因为或,故，
又，
所以，，，，
则A正确，B，C，D错误，
故选：A．
2．C
【分析】利用共轭复数及复数乘法运算求出a值，再求出复数模作答.
【详解】复数，，则，
依题意，，解得，即，
所以.
故选：C
3．D
【分析】根据题意可得抛物线的方程，从而可得坐标，从而得到.
【详解】因为抛物线的焦点为，则，所以抛物线方程为，
设，不妨令，
则可得，即，
所以.
故选:D
4．C
【分析】根据圆台的侧面积公式求出对应的值，代入公式计算即可求解.
【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为R，r，
若当，时，则圆台的母线长，
所以其侧面积为，
若当，时，则圆台的母线长，
所以其侧面积为，所以其侧面积S满足．
故选：C．
5．B
【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像.
【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C.
故选：B.
6．D
【分析】设点P的坐标，根据题意把几何关系转化为代数方程可判断A、B，同样求出点K的轨迹方程，与P点的轨迹方程联立判断C，由角平分线的性质可判断D.
【详解】选项A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简可得，故A错误；
选项B，又圆：的半径，则圆的面积为，故B错误；
选项C，若存在点，使得，可设，即有，化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误；
选项D，当A，B，P三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确.

故选：D.
7．A
【分析】对两边取对数，构造函数利用其在上的单调性可得．法一令，求导利用在上的单调性可得可得答案；法二利用不等式放缩可比较的大小，对两边取对数得出再做差可得答案.
【详解】对两边取对数，，
而在上单调递增，∴．
令，，
∴在单调递减，∴，即，∴；
；
又，
∴，∴．
故选：A．
8．B
【分析】先确定特殊情况，再分组分配，根据乘法与加法计数原理计算即可.
【详解】解：由于乙不能去A社区，则乙可以去B或C社区，共2种，
剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，
①分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有种，
②分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有种，
所以不同的安排方法数为种，
故选：B.
9．AC
【分析】对选项分别作图，研究计算可得.
【详解】
选项A:连接,由正方体性质知是矩形，

连接交于点
由正方体性质知平面,
所以，是点到平面的距离，即

是定值.
选项B:

连接与交于点，连接，
由正方体性质知,是中点，
,又,
的大小即为与所成的角，
在直角三角形中，为定值.
选项C:

如图，作
在直角三角形中，
选项D:

当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,
异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,
在三角形中，,
由余弦定理得
故选：AC
【点睛】本题考查空间几何体性质问题.
求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．　
求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
10．AC
【分析】由已知得出，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由得，故，A正确；
对于B选项，将，两式相减得，
即，又令，得，
，所以从第二项开始成等比数列，公比为，
故时，，即，所以，，
故B选项错误；
对于C选项，因为.当时，，
当时，.
所以，，令，
则时，，
即，而，所以数列单调递增，C选项正确；
对于D选项，当时，，
显然成立，故恒成立，D选项错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】化简各选项中的函数解析式，利用正弦型函数的基本性质结合三角函数的图象变换可判断各选项的正误.
【详解】对于选项A，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到，所以选项A错误；
对于选项B，令，即，
可得，则，解得，
因此，的图象与的图象相邻的两个交点间的距离为，所以选项B正确；
对于选项C，，
当时，，
则直线为函数图象的一条对称轴，所以选项C正确；
对于选项D，，
当时，，故函数在区间上单调递增，所以选项D正确.
故选：BCD．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
12．BC
【分析】利用赋值法及函数奇偶性的定义可判断A；根据函数单调性的定义结合条件可判断B；由题可得，然后利用等比数列的定义可判断C；根据正弦函数的性质结合条件可判断D.
【详解】对于A，令得，即得，
在定义域范围内令得，即是奇函数，故A错误；
对于B，令，且，所以，
又，且，所以，
所以，所以是单调增函数，故B正确；
对于C，由，可得，即，即，所以是等比数列，
又，所以，故C正确；
对于D，因为是钝角的两个锐角，则，
所以，故D错误.
故选：BC.
13．/
【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知模长及数量积定义求夹角即可.
【详解】由，即，
所以，又，则.
故答案为：
14．
【分析】求出二项式的展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求出多项式的展开式中的常数项.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，当时，无整数解，
所以多项式的展开式中的常数项为.
故答案为：.
15．/
【分析】根据正四棱台的几何特征应用线面角分别求出上下底面边长及高，再应用棱台的体积公式计算即可.
【详解】由题意球心是四边形的中心可知,侧棱与底面所成的角是60°,则,

所以是等边三角形，则棱台的侧棱长为1，
棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，
所以该棱台的体积是.

故答案为: .
16．
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，
，，
，
，
设，则，
解得，即，
又，且，
，
故的取值范围是．
故答案为：
17．(1)，
(2)

【分析】（1）对于 ，通过 与 的关系解决，对于 ，转换为等比数列解决；
（2）运用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，；
当时，，
， ，
由题可得 ，得 ，
是首项为，公比为2的等比数列，
；
（2），①，②，
①-②得：，
.
18．(1)
(2)

【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得 ，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；
（2）由正弦定理得即可求得的值.
【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，
又，则，，则；
若选②，则，又，则，
又 ，得，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，．
19．(1)列联表见解析，没有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果.
(2)分布列见解析，
(3)有理由怀疑该药厂的宣传,理由见解析.

【分析】（1）利用独立性检验求解；
（2）利用二项分布列出分布列求数学期望；
（3）利用超几何分布的概率运算判断并说明理由.
【详解】（1）由题，可完成列联表如下，

治愈
未治愈
合计
使用新药
60
40
100
未使用新药
50
50
100
合计
110
90
200
所以，
所以没有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果.
（2）使用新药物治愈该病毒感染的概率为，
服从二项分布，即，且可能的取值为0,1,2,3，


分布列如下，

0
1
2
3





则数学期望.
（3）根据题意，使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，即，
设治愈人数为，则可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，
，
，
，
因为，
所以为小概率事件，但发生了，
所以有理由怀疑该药厂的宣传.
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，过点作的垂线，垂足为，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由菱形的性质得到，即可得到平面，即可得到，最后结合，即可得证；
（2）连接，由（1）知为与平面所成的角，即可得到点为的中点时与平面所成的角的正弦值最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，过点作的垂线，垂足为，
∵平面平面，且交线为，
∴平面，
又∵平面，∴，
又∵四边形为菱形，∴，又∵，平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，，平面，
∴平面．
（2）连接，由（1）知为与平面所成的角，
∴，因为为定值，且，所以当点为的中点时取得最小值，此时取最大值，
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，

易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量，
则，即，令得，即，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以当与平面所成的角的正弦值最大时，
平面与平面夹角的余弦值为．
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，求得四边形的面积，结合基本不等式求得四边形的面积的最小值.
【详解】（1）依题意，
由于轴，且，
则，
结合得，
所以椭圆的方程为.
（2）设四边形的面积为.
当直线的斜率不存在时，，
.
当直线的斜率为时，同理可求得.
当直线的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
所以
，
直线的方程为，
同理可求得.
所以
，
当且仅当时等号成立，且.
综上所述，四边形的面积的最小值为.
【点睛】求解椭圆中四边形面积的最值问题，关键步骤有两个，第一个是求得面积的表达式，这一步求弦长时需要很强的运算能力.第二个是求面积的最值，可考虑利用基本不等式、二次函数的性质、三角换元法来进行求解.
22．(1)单调递减区间是，单调递增区间是；
(2)．

【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；
（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.
【详解】（1）∵，，又在处取得极值，
∴，∴，
检验：当时，，，，
令，得，
当x变化时，，的变化情况如表所示．
x




-
0
+

单调递减

单调递增
在处取得极小值成立；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由（1）知在单调递减，单调递增，
又，，
则，．
若在上恒成立，则．
即，解得或，
所以实数c的取值范围是．