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2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（4月5月）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（4月5月）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后（ ）
A. B. C. D.
2. 同时使分式 有意义，又使分式 无意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x值为2，则代数式：的值为_____．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中阴影部分的面积为___________．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
19. 某校学生会决定从三明学生会干事中选拔一名干事当学生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名学生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同学只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选学生会？
20. 某商场准备进一批两种没有同型号衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
23. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果没有存在，请简要说明理由．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=
故选A
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义
2. 同时使分式 有意义，又使分式 无意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得： 且
或
且或
∴，
故选D．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数至多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵
故选B．
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
【正确答案】A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”先求出点P的坐标，再根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵P点关于x轴的对称点P1的坐标是（4，-8），
∴P（4，8），
∴点P点关于原点对称的点是：（-4，-8）．
故选A．
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵是20个由1，0，组成的数，
且满足下列两个等式：①
②
把②展开得：
只能是是20个由1或组成的数，
设其中有个1，个
解得：
∴﹣1的个数有8个，
则1的个数有12个．
故选C．
9. 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，则有：
又∵
∴
将代入得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故选B．
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵，一个三角形的直角边和斜边一定没有相等，∴AC没有垂直于BD，（1）错误；
利用边角边定理可证得≌，那么，（2）正确；
由≌可得 那么A，B，C，D四点共圆， （3）正确；
没有一定是等边三角形，那么（4）没有一定正确；
（2）（3）正确，
故选B．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
【正确答案】2018
【详解】解：根据题意得：或
则原式
故2018．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
【正确答案】0.25
【详解】试题解析：由题意得：
①−②得：a−b=−1
①−③得：a−c=−2
②−③得：b−c=−1
∴
故答案为0.25.
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
【正确答案】1：3
【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴
又∵M是的AB的中点，
则
∴上的高线与上的高线比为
∴
∴
S阴影面积
则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为．
故填空答案：．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
【正确答案】
【详解】试题解析：由树状图
可知共有4×4=16种可能，次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
故答案为．
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，延长BC到E，使CE=BC，连接DE.
∵BC=CD，
∴CD=BC=CE，
∴
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠DCA.
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠DCE=∠DCA，
∴在△ACD与△ECD中，
∴△DCE≌△DCA(SAS)，
∴AD=ED=6.
在Rt△BDE中，BE=2BC=8，则
根据勾股定理知
故答案是：
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中阴影部分的面积为___________．
【正确答案】32
【详解】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y=0时，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，
则A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），AB的长度为4，
从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点，
根据对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2，
如图所示，阴影部分转化为矩形，
根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8，
利用配方法可得y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
则顶点坐标为（-1，4），即阴影部分的高为4，
S阴=8×4=32，
故答案为32.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
【正确答案】（1）x=3；（2）x=﹣11；（3）x=．
【详解】试题分析：按照解一元方程的步骤解方程即可.
试题解析：（1）去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（2）去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（3）方程可化为
去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
点睛：解一元方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
【正确答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．
【详解】（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
19. 某校学生会决定从三明学生会干事中选拔一名干事当学生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名学生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同学只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选学生会？
【正确答案】（1）甲得分50分，乙得分80分，丙得分70分；（2）乙当选学生会．
【详解】试题分析：（1）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的评议得分；
（2）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的最终成绩，然后比较大小即可解答本题．
试题解析：(1)由题意可得，
甲评议的得分是：200×25%=50(分)，
乙评议的得分是：200×40%=80(分)，
丙评议的得分是：200×35%=70(分)；
(2)由题意可得，
甲的成绩是： (分)，
乙的成绩是： (分)，
丙的成绩是： (分)，
∵70.4<73.9<77，
∴乙当选学生会．
20. 某商场准备进一批两种没有同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利没有少于699元，且A型号衣服没有多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题主要考查二元方程组和一元没有等式组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
【正确答案】BC=8．
【详解】试题分析：通过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解．
试题解析：作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.
∵
∴
∴
点睛：直径所对的圆周角是直角.
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：
（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）没有等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点在第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，熟练运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
23. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果没有存在，请简要说明理由．
【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）当t=1或t=时，△AEF为等腰直角三角形；（3）存在，△ABP的面积的值为，此时点P的坐标为．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况：△AOB∽△AEF或△AOB∽△AFE即可求出t值；（3）确定出面积达到时，直线PC和抛物线相交于点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，可求出P点坐标.过点B作BD⊥PC于点D，则DBDC为等腰直角三角形，BC=，可求出BD，则面积可求出．
试题解析： （1）∵抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴ ，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若△AOB∽△AEF，∴=，∴，∴t=.②△AOB∽△AFE，∴=，
∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，当直线PC与y=﹣x2+2x+3有且只有一个交点时，DPAB面积.∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=.解方程组，得.∴P∴BC=﹣3=.过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，∴∠CBD=45°，∴BD=.∴BD=，∵AB=3，∴S=AB×BD=×3×=．即：存在面积，值是，此时点P．
考点：1二次函数；2函数；3相似三角形；4平面直角坐标系中，直线平行与垂直解析式关系.
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共45分)
1. 2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
2. 下列函数中是二次函数的为（ ）
A. y＝3x－1 B. y＝3x2－1
C. y＝(x＋1)2－x2 D. y＝x3＋2x－3
3. 如图，原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A 40° B. 30° C. 20° D. 15°
6. 二次函数y＝－x2＋x＋2图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的值是（ ）
A. 3.125 B. 4 C. 2 D. 0
7. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于二次函数,下列说确的是（ ）
A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点
9. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A. 5m B. 5m C. 10m D. m
10. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
11. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. (4－π)cm2 B. (8－π)cm2 C. (2π－4)cm2 D. (π－2)cm2
12. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，下列结论没有正确的是（ ）
A. EF∥CD B. △COB是等边三角形
C. CG＝DG D. 的长为
13. 如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A. 米 B. (3－)米 C. 9米 D. (2－3)米
14. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题(每小题5分，共25分)
16. 将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为_______.
17. 如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为_______cm．
18. 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
19. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.
20. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为_______.
三、解 答 题(共80分)
21. 计算：
(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；
(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC长．（结果保留根号）
23. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
25. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．
26. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里．
（1）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共45分)
1. 2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.
【详解】解： ．
故选C．
此题主要考查了角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.
2. 下列函数中是二次函数的为（ ）
A. y＝3x－1 B. y＝3x2－1
C. y＝(x＋1)2－x2 D. y＝x3＋2x－3
【正确答案】B
【详解】A． y=3x−1是函数，故A错误；
B． y=3x2−1二次函数，故B正确；
C． y=(x+1)2−x2没有含二次项，故C错误；
D． y=x3+2x−3是三次函数，故D错误；
故选B．
3. 如图，原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据圆周角定理的推论可得：∠ACB=∠AOB=90°，故选B.
考点：圆周角定理的推论
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】：∵∠C=90°，AB=6，AC=2，
∴BC=
∴,
故选C．
运用了锐角三角函数的定义，勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
【正确答案】C
【分析】先根据圆周角定理可得∠ADB，然后再根据同圆同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可．
【详解】解：如图：连接OC、BD
∵在⊙O中，∠AOB=40°
∴∠ADB=∠AOB=20°，
∵=，
∴∠AOC=∠ADB= 20°．
故选：C．
本题主要考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于所对圆周角的一半可．
6. 二次函数y＝－x2＋x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的值是（ ）
A. 3.125 B. 4 C. 2 D. 0
【正确答案】C
【详解】根据图象观察可得: 在－1≤x≤0时,该二次函数是当时,有值,值是2,因此正确选项是C.
7. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据勾股定理可求BC，由同弧所对的圆周角相等可得∠AED=∠ABD，所以sin∠AED=sin∠ABD=,进一步可得∠AED的正弦值.
【详解】因为∠AED和∠ABD是弧AD所对的圆周角，
所以，∠AED=∠ABD
所以，sin∠AED=sin∠ABD=,
又因为BC=，
所以，sin∠AED=sin∠ABD=.
故选C：
本题考核知识点：圆，解直角三角形. 解题关键点：由圆的性质求出角相等，再根据三角函数的定义求正弦值.
8. 对于二次函数,下列说确的是（ ）
A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点
【正确答案】B
【详解】二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，没有符合题意；
当x=2时，取得值，值为－3,选项B正确，符合题意；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误，没有符合题意；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，没有符合题意，
故答案选B
9. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A. 5m B. 5m C. 10m D. m
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
10. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片，根据切线长定理可得，的周长
故选A．
考点：切线长定理．
11. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. (4－π)cm2 B. (8－π)cm2 C. (2π－4)cm2 D. (π－2)cm2
【正确答案】A
【分析】根据阴影面积=正方形面积-扇形面积可得答案．
详解】S阴影=S正方形-S扇形=22-（cm2）．
故选：A．
本题考核知识点：求扇形面积，解题关键点：求出正方形和扇形面积．
12. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，下列结论没有正确的是（ ）
A. EF∥CD B. △COB是等边三角形
C. CG＝DG D. 的长为
【正确答案】D
【详解】：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴AB⊥EF，又AB⊥CD，
∴EF∥CD，A正确；
∵AB⊥弦CD，
∴，
∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，
∴△COB是等边三角形，B正确；
∵AB⊥弦CD，
∴CG=DG，C正确；
的长为：，D错误，
故选D．
13. 如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A. 米 B. (3－)米 C. 9米 D. (2－3)米
【正确答案】B
【详解】【分析】先推出AD=AB=，利用三角函数在直角三角形ACD中求AC，再得BC=AC-AB=3-（米）
【详解】因为，∠BAD=90°, ∠ADB=45°,
所以，AD=AB=
又因为，∠ADC=60°,
所以，AC=AD∙tan∠ADC=×=3,
所以，BC=AC-AB=3-（米）
故选B
本题考核知识点：解直角三角形. 解题关键点：熟记角的三角函数值.
14. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
【正确答案】C
【详解】试题分析：先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有值为9， 即当t=3时，△PBQ的面积为9cm2；
考点：（1）解直角三角形；（2）二次函数的最值．
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题(每小题5分，共25分)
16. 将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为_______.
【正确答案】y＝2(x＋2)2＋2
【详解】【分析】根据顶点式二次函数平移规律，向左加，向右减，可得：y＝2(x－1+3)2＋2.
【详解】将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，
那么得到的抛物线的表达式为y＝2(x－1+3)2＋2，
即y＝2(x+2)2＋2.
故答案y＝2(x+2)2＋2.
本题考核知识点：抛物线平移. 解题关键点：运用抛物线平移规律求解析式.
17. 如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为_______cm．
【正确答案】16．
【详解】试题分析：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为16．
考点：垂径定理．
18. 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
【正确答案】
【详解】当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
故答案是：．
19. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.
【正确答案】
【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
20. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为_______.
【正确答案】6cm2
【详解】【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm， 然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【详解】∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．
故答案为6cm2
本题考核知识点:切线长定理，正方形，勾股定理.解题关键点：运用切线长定理求出AF=AB，EF=EC.
三、解 答 题(共80分)
21. 计算：
(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；
(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
【正确答案】(1) 2；(2)－.
【详解】【分析】直接把角的三角函数值代入，再进行运算便可.
【详解】
解：(1)原式＝×＋×＝＋＝2；
(2)原式＝－12＋×－＝－1＋－＝－.
本题考核知识点：锐角三角函数. 解题关键点：熟记角的三角函数值.
22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
【正确答案】BC=2（+1）．
【详解】试题分析：由题意可得△BCD为等腰直角三角形，从而BD=BC，在Rt△ABC中，由∠A的正切值可求出BC的长．
试题解析：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=BC，
在Rt△ABC中，tanA=tan30°=，即，
解得：BC=2（+1）．
考点： 解直角三角形
23. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）π
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故，
答：的长为π．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等角对等边、弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
【正确答案】（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了，可列方程求解；
（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）
＝﹣20z2+300z+5 000
＝﹣20（z2﹣15z）+5000
＝＝﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z＝7.5时，y取得值，值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
25. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．
【正确答案】（1）M为（1，4）．
（2）P（1，2）．
【分析】（1）利用B、C两点坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的性质得出M点坐标；
（2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称得出AP=BP,那么△PAC的周长最小就是CPB在一条直线上，从而求出P点坐标．
【详解】（1）∵ 抛物线y = －x2+bx+c 过B（3，0）C（0，3）两点，
∴c=3, －9+3b+3=0，解得b=2 ．
∴ 抛物线的解析式为，
顶点M为（1，4）．
（2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P
设对称轴与x轴交于点H，
∵ PH∥y轴，
∴ △PHB∽△CBO．
∴．
由题意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴ PH=2．
∴ P（1，2）．
26. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣×OB2=2﹣．
本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里．
（1）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）
【正确答案】（1）AC=120海里 ，BC=120海里；（2）无触礁危险．
【分析】（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（ +）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．
【详解】解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
设CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=x，
∵AB=60（+）海里，
∴x+x=60（+），
解得：x=60，
则AC=x=120，
BC=x=120，
答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为120里；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
在△ADF中，
∵AD=120（-），∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=180-60 ≈106.8＞100，
故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后（ ）
A. B. C. D.
2. 同时使分式 有意义，又使分式 无意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x值为2，则代数式：的值为_____．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中阴影部分的面积为___________．
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
19. 某校学生会决定从三明学生会干事中选拔一名干事当学生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名学生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同学只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选学生会？
20. 某商场准备进一批两种没有同型号衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
23. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果没有存在，请简要说明理由．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】有意义，则y>0，
∵xy<0，
∴x<0，
∴原式=
故选A
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义
2. 同时使分式 有意义，又使分式 无意义的x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣4，且x≠﹣2 B. x=﹣4，或x=2 C. x=﹣4 D. x=2
【正确答案】D
【详解】试题解析：由题意得： 且
或
且或
∴，
故选D．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数至多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 若（x﹣2）（x+9）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A. p=7 q=18 B. p=7 q=﹣18 C. p=﹣7 q=18 D. p=﹣7 q=﹣18
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵
故选B．
6. 点P关于x轴的对称点的坐标是（4，－8），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. （－4，－8） B. （4，8） C. （－4，8） D. （4，－8）
【正确答案】A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”先求出点P的坐标，再根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答即可．
【详解】解：∵P点关于x轴的对称点P1的坐标是（4，-8），
∴P（4，8），
∴点P点关于原点对称的点是：（-4，-8）．
故选A．
7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
8. x1、x2、x3、…x20是20个由1，0，﹣1组成的数，且满足下列两个等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x20﹣1）2=32，则这列数中1的个数为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵是20个由1，0，组成的数，
且满足下列两个等式：①
②
把②展开得：
只能是是20个由1或组成的数，
设其中有个1，个
解得：
∴﹣1的个数有8个，
则1的个数有12个．
故选C．
9. 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，则有：
又∵
∴
将代入得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故选B．
10. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4）
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵，一个三角形的直角边和斜边一定没有相等，∴AC没有垂直于BD，（1）错误；
利用边角边定理可证得≌，那么，（2）正确；
由≌可得 那么A，B，C，D四点共圆， （3）正确；
没有一定是等边三角形，那么（4）没有一定正确；
（2）（3）正确，
故选B．
二、填 空 题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的值为2，则代数式：的值为_____．
【正确答案】2018
【详解】解：根据题意得：或
则原式
故2018．
12. 已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 =_____．
【正确答案】0.25
【详解】试题解析：由题意得：
①−②得：a−b=−1
①−③得：a−c=−2
②−③得：b−c=−1
∴
故答案为0.25.
13. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
【正确答案】1：3
【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴
又∵M是的AB的中点，
则
∴上的高线与上的高线比为
∴
∴
S阴影面积
则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为．
故填空答案：．
14. 质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
【正确答案】
【详解】试题解析：由树状图
可知共有4×4=16种可能，次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
故答案为．
15. 如图，四边形ABDC中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，AD＝6，则BD＝_____．
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，延长BC到E，使CE=BC，连接DE.
∵BC=CD，
∴CD=BC=CE，
∴
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE，∠BAC=∠DCA.
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠DCE=∠DCA，
∴在△ACD与△ECD中，
∴△DCE≌△DCA(SAS)，
∴AD=ED=6.
在Rt△BDE中，BE=2BC=8，则
根据勾股定理知
故答案是：
16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将关于点B的对称得，与x轴交于另一个点C，将关于点C的对称得，连接与的顶点，则图中阴影部分的面积为___________．
【正确答案】32
【详解】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y=0时，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，
则A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），AB的长度为4，
从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点，
根据对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2，
如图所示，阴影部分转化为矩形，
根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8，
利用配方法可得y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
则顶点坐标为（-1，4），即阴影部分的高为4，
S阴=8×4=32，
故答案为32.
三、解 答 题（共8题，共72分）
17. 解方程：（1）2（3x﹣1）=16；（2）；（3） ．
【正确答案】（1）x=3；（2）x=﹣11；（3）x=．
【详解】试题分析：按照解一元方程的步骤解方程即可.
试题解析：（1）去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（2）去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
（3）方程可化为
去分母得，
去括号得，
移项、合并得，
系数化为1得，
点睛：解一元方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
18. 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．
（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
【正确答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.
【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．
【详解】（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BF=AC；
（2）NE=AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，
∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，
即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=AC．
19. 某校学生会决定从三明学生会干事中选拔一名干事当学生会，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序，学校组织200名学生采用投票的方式，对三人进行测评，三人得票率如扇形统计图所示（没有弃权，每位同学只能1人），每得1票记1分．
（1）分别计算三人评议的得分；
（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、评议三项得分按3：3：4的比例确定个人成绩，三人中谁会当选学生会？
【正确答案】（1）甲得分50分，乙得分80分，丙得分70分；（2）乙当选学生会．
【详解】试题分析：（1）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的评议得分；
（2）根据题意可以分别求得甲乙丙三人的最终成绩，然后比较大小即可解答本题．
试题解析：(1)由题意可得，
甲评议的得分是：200×25%=50(分)，
乙评议的得分是：200×40%=80(分)，
丙评议的得分是：200×35%=70(分)；
(2)由题意可得，
甲的成绩是： (分)，
乙的成绩是： (分)，
丙的成绩是： (分)，
∵70.4<73.9<77，
∴乙当选学生会．
20. 某商场准备进一批两种没有同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利没有少于780元，且A型号衣服没有多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利没有少于699元，且A型号衣服没有多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题主要考查二元方程组和一元没有等式组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
21. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，sinA=，求BC的长．
【正确答案】BC=8．
【详解】试题分析：通过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解．
试题解析：作⊙O的直径CD，连接BD，则CD=2×6=12.
∵
∴
∴
点睛：直径所对的圆周角是直角.
22. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．
（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：
（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）没有等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点在第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，熟练运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
23. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．
【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．
点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积的三角形？如果存在，求出面积，并指出此时点P的坐标；如果没有存在，请简要说明理由．
【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）当t=1或t=时，△AEF为等腰直角三角形；（3）存在，△ABP的面积的值为，此时点P的坐标为．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况：△AOB∽△AEF或△AOB∽△AFE即可求出t值；（3）确定出面积达到时，直线PC和抛物线相交于点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，可求出P点坐标.过点B作BD⊥PC于点D，则DBDC为等腰直角三角形，BC=，可求出BD，则面积可求出．
试题解析： （1）∵抛物线y=﹣x2+bx+cA（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴ ，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若△AOB∽△AEF，∴=，∴，∴t=.②△AOB∽△AFE，∴=，
∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，当直线PC与y=﹣x2+2x+3有且只有一个交点时，DPAB面积.∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=.解方程组，得.∴P∴BC=﹣3=.过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，∴∠CBD=45°，∴BD=.∴BD=，∵AB=3，∴S=AB×BD=×3×=．即：存在面积，值是，此时点P．
考点：1二次函数；2函数；3相似三角形；4平面直角坐标系中，直线平行与垂直解析式关系.
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共45分)
1. 2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
2. 下列函数中是二次函数的为（ ）
A. y＝3x－1 B. y＝3x2－1
C. y＝(x＋1)2－x2 D. y＝x3＋2x－3
3. 如图，原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A 40° B. 30° C. 20° D. 15°
6. 二次函数y＝－x2＋x＋2图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的值是（ ）
A. 3.125 B. 4 C. 2 D. 0
7. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于二次函数,下列说确的是（ ）
A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点
9. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A. 5m B. 5m C. 10m D. m
10. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
11. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. (4－π)cm2 B. (8－π)cm2 C. (2π－4)cm2 D. (π－2)cm2
12. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，下列结论没有正确的是（ ）
A. EF∥CD B. △COB是等边三角形
C. CG＝DG D. 的长为
13. 如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A. 米 B. (3－)米 C. 9米 D. (2－3)米
14. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题(每小题5分，共25分)
16. 将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为_______.
17. 如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为_______cm．
18. 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
19. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.
20. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为_______.
三、解 答 题(共80分)
21. 计算：
(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；
(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC长．（结果保留根号）
23. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
25. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．
26. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里．
（1）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共45分)
1. 2cos45°的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.
【详解】解： ．
故选C．
此题主要考查了角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.
2. 下列函数中是二次函数的为（ ）
A. y＝3x－1 B. y＝3x2－1
C. y＝(x＋1)2－x2 D. y＝x3＋2x－3
【正确答案】B
【详解】A． y=3x−1是函数，故A错误；
B． y=3x2−1二次函数，故B正确；
C． y=(x+1)2−x2没有含二次项，故C错误；
D． y=x3+2x−3是三次函数，故D错误；
故选B．
3. 如图，原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据圆周角定理的推论可得：∠ACB=∠AOB=90°，故选B.
考点：圆周角定理的推论
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】：∵∠C=90°，AB=6，AC=2，
∴BC=
∴,
故选C．
运用了锐角三角函数的定义，勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
【正确答案】C
【分析】先根据圆周角定理可得∠ADB，然后再根据同圆同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可．
【详解】解：如图：连接OC、BD
∵在⊙O中，∠AOB=40°
∴∠ADB=∠AOB=20°，
∵=，
∴∠AOC=∠ADB= 20°．
故选：C．
本题主要考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于所对圆周角的一半可．
6. 二次函数y＝－x2＋x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的值是（ ）
A. 3.125 B. 4 C. 2 D. 0
【正确答案】C
【详解】根据图象观察可得: 在－1≤x≤0时,该二次函数是当时,有值,值是2,因此正确选项是C.
7. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据勾股定理可求BC，由同弧所对的圆周角相等可得∠AED=∠ABD，所以sin∠AED=sin∠ABD=,进一步可得∠AED的正弦值.
【详解】因为∠AED和∠ABD是弧AD所对的圆周角，
所以，∠AED=∠ABD
所以，sin∠AED=sin∠ABD=,
又因为BC=，
所以，sin∠AED=sin∠ABD=.
故选C：
本题考核知识点：圆，解直角三角形. 解题关键点：由圆的性质求出角相等，再根据三角函数的定义求正弦值.
8. 对于二次函数,下列说确的是（ ）
A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点
【正确答案】B
【详解】二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，没有符合题意；
当x=2时，取得值，值为－3,选项B正确，符合题意；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误，没有符合题意；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，没有符合题意，
故答案选B
9. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A. 5m B. 5m C. 10m D. m
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
10. 如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片，根据切线长定理可得，的周长
故选A．
考点：切线长定理．
11. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. (4－π)cm2 B. (8－π)cm2 C. (2π－4)cm2 D. (π－2)cm2
【正确答案】A
【分析】根据阴影面积=正方形面积-扇形面积可得答案．
详解】S阴影=S正方形-S扇形=22-（cm2）．
故选：A．
本题考核知识点：求扇形面积，解题关键点：求出正方形和扇形面积．
12. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，下列结论没有正确的是（ ）
A. EF∥CD B. △COB是等边三角形
C. CG＝DG D. 的长为
【正确答案】D
【详解】：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴AB⊥EF，又AB⊥CD，
∴EF∥CD，A正确；
∵AB⊥弦CD，
∴，
∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，
∴△COB是等边三角形，B正确；
∵AB⊥弦CD，
∴CG=DG，C正确；
的长为：，D错误，
故选D．
13. 如图，是交警部门为缓解市区内交通拥挤在学府路某处设立的路况显示牌．立杆AB的高度是米，从D点测得显示牌顶端C和底端B的仰角分别是60°和45°，则显示牌BC的高度为（ ）
A. 米 B. (3－)米 C. 9米 D. (2－3)米
【正确答案】B
【详解】【分析】先推出AD=AB=，利用三角函数在直角三角形ACD中求AC，再得BC=AC-AB=3-（米）
【详解】因为，∠BAD=90°, ∠ADB=45°,
所以，AD=AB=
又因为，∠ADC=60°,
所以，AC=AD∙tan∠ADC=×=3,
所以，BC=AC-AB=3-（米）
故选B
本题考核知识点：解直角三角形. 解题关键点：熟记角的三角函数值.
14. 如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8 AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的面积是（ ）
A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2
【正确答案】C
【详解】试题分析：先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．
∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有值为9， 即当t=3时，△PBQ的面积为9cm2；
考点：（1）解直角三角形；（2）二次函数的最值．
15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题(每小题5分，共25分)
16. 将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为_______.
【正确答案】y＝2(x＋2)2＋2
【详解】【分析】根据顶点式二次函数平移规律，向左加，向右减，可得：y＝2(x－1+3)2＋2.
【详解】将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，
那么得到的抛物线的表达式为y＝2(x－1+3)2＋2，
即y＝2(x+2)2＋2.
故答案y＝2(x+2)2＋2.
本题考核知识点：抛物线平移. 解题关键点：运用抛物线平移规律求解析式.
17. 如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为_______cm．
【正确答案】16．
【详解】试题分析：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为16．
考点：垂径定理．
18. 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
【正确答案】
【详解】当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流没有落在水池外．
故答案是：．
19. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.
【正确答案】
【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
20. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为_______.
【正确答案】6cm2
【详解】【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm， 然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【详解】∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．
故答案为6cm2
本题考核知识点:切线长定理，正方形，勾股定理.解题关键点：运用切线长定理求出AF=AB，EF=EC.
三、解 答 题(共80分)
21. 计算：
(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；
(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
【正确答案】(1) 2；(2)－.
【详解】【分析】直接把角的三角函数值代入，再进行运算便可.
【详解】
解：(1)原式＝×＋×＝＋＝2；
(2)原式＝－12＋×－＝－1＋－＝－.
本题考核知识点：锐角三角函数. 解题关键点：熟记角的三角函数值.
22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）
【正确答案】BC=2（+1）．
【详解】试题分析：由题意可得△BCD为等腰直角三角形，从而BD=BC，在Rt△ABC中，由∠A的正切值可求出BC的长．
试题解析：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=BC，
在Rt△ABC中，tanA=tan30°=，即，
解得：BC=2（+1）．
考点： 解直角三角形
23. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）π
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故，
答：的长为π．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等角对等边、弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
24. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场发现，在进货价没有变的情况下，若每千克涨价1元，日量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利至多？
【正确答案】（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
【分析】（1）设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了，可列方程求解；
（2）利用总利润y＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）＝6 000
解得x＝5或x＝10，
为了使顾客得到，所以x＝5．
（2）设涨价z元时总利润y，
则y＝（10+z）（500﹣20z）
＝﹣20z2+300z+5 000
＝﹣20（z2﹣15z）+5000
＝＝﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z＝7.5时，y取得值，值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利至多．
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
25. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．
【正确答案】（1）M为（1，4）．
（2）P（1，2）．
【分析】（1）利用B、C两点坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的性质得出M点坐标；
（2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称得出AP=BP,那么△PAC的周长最小就是CPB在一条直线上，从而求出P点坐标．
【详解】（1）∵ 抛物线y = －x2+bx+c 过B（3，0）C（0，3）两点，
∴c=3, －9+3b+3=0，解得b=2 ．
∴ 抛物线的解析式为，
顶点M为（1，4）．
（2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P
设对称轴与x轴交于点H，
∵ PH∥y轴，
∴ △PHB∽△CBO．
∴．
由题意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴ PH=2．
∴ P（1，2）．
26. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣×OB2=2﹣．
本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘没有明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里．
（1）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）
【正确答案】（1）AC=120海里 ，BC=120海里；（2）无触礁危险．
【分析】（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（ +）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．
【详解】解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
设CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=x，
∵AB=60（+）海里，
∴x+x=60（+），
解得：x=60，
则AC=x=120，
BC=x=120，
答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为120里；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
在△ADF中，
∵AD=120（-），∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=180-60 ≈106.8＞100，
故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．
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