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拓展三 含参函数单调性的分类讨论(精练)-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册(人教A版)
展开拓展三 含参函数单调性的分类讨论
【题组一 导函数为一根】
1.(2020·南宁市银海三美学校期末)设函数.讨论函数的单调性;
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增;(2).
【解析】
当时,,∴在上单调递减;
当时,令,则,
∴当时,;当时,,
∴在上单调递减,在上单调递增;
2.(2020·重庆高二月考)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有极小值,求该极小值的取值范围.
【答案】(Ⅰ):当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)函数的定义域为,,
①当时,,函数在内单调递增,
②当时,令得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
综上所述:当时,函数的单调递增区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)①当时,,函数在内单调递增,没有极值;
②当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
所以,
记,则,由得,
所以,
所以函数的极小值的取值范围是
3.(2020·四川乐山·高二期中(理))已知函数.讨论的单调性;
【答案】分类讨论,详见解析
【解析】定义域为,
因为,
若,则,所以在单调递增,
若,则当时,,当时,,
所以在单调递减,在单调递增.
4.(2020·四川达州·高二期末(理))已知,函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)记函数,求在上的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.
【解析】(1),则.
当时,当时,,函数单调递增;
当时,当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为;
当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2),,
.
①当时,对任意的,,函数单调递增,
所以,函数在上的最小值为;
②若,对任意的,,函数单调递减,
所以,函数在上的最小值为;
③若时,当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
又因为,,
.
(i)当时,即当时,,
此时,函数在区间上的最小值为;
(ii)当时,即当时,.
此时,函数在区间上的最小值为.
综上所述,.
5.(2020·四川省绵阳江油中学高二期中(文))设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.讨论f(x)的单调性;
【答案】当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;
【解析】
<0,在内单调递减.
由=0有.
当时,<0,单调递减;
当时,>0,单调递增.
【题组二 导函数为两根】
1.(2020·黄梅国际育才高级中学高二月考(文))已知函数.讨论的单调性;
【答案】见解析
【解析】f(x)的定义域为(0,+),.
若a≥0,则当x∈(0,+)时,,故f(x)在(0,+)单调递增.
若a<0,则当x∈时,;当x∈时,.故f(x)在单调递增,在单调递减.
2.(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))已知函数,实数.
讨论函数在区间上的单调性;
【答案】见解析;
【解析】由题知的定义域为,
.
∵,,∴由可得.
(i)当时,
,当时,单递减;
(ii)当时,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
综上所述,时,在区间上单调递减;
当时,在区间上单调递减,
在区间上单调递增.
3.设函数,讨论的单调性;
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得,
当时,当;当时,;
在单调递减,在单调递增,
当时,令得,
当时,;当时,;
当时,;
所以在单调递增,在单调递减;
②当时,,所以在单调递增,
③当时,;
当时,;当时,;
∴在单调递增,在单调递减;
4.已知函数,求函数的单调区间
【答案】见解析
【解析】函数的定义域为..
若,.所以函数的单调递增区间为;
若,令,解得,.
当时,,的变化情况如下表
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
函数的单调递增区间是,单调递减区间是;
当时,,的变化情况如下表
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
综上所述:,的单调递增区间为;,单调递增区间是,
单调递减区间是;,单调递增区间是,单调递减区间是
【题组三 不能因式分解】
1.已知函数,讨论的单调性;
【答案】见解析
【解析】的定义域为,
,
对于,,
当时,,则在上是增函数.
当时,对于,有,则在上是增函数.
当时,
令,得或,
令,得,
所以在,上是增函数,
在上是减函数.
综上,当时,在上是增函数;
当时,在,上是增函数,
在上是减函数.
2.已知函数,讨论的单调性;
【答案】见解析
【解析】,
.
令..
若,即,则,即,
∴在上单调递减;
若,即.
由,
解得,.
∴当时, ,即,
在上单调递减;
当时, ,即,
在上单调递增;
3.已知函数,,讨论函数的单调性;
【答案】见解析
【解析】,,
令,,
若,即,则,
当时,,单调递增,
若,即,则,仅当时,等号成立,
当时,,单调递增.
若,即,则有两个零点,,
由,得,
当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增.
综上所述,
当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,
在上单调递减.
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