人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式当堂检测题

2.3.1 两直线的交点坐标   -B提高练

一、选择题

1．（2020全国高二课时练）过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)

A．x－3y＋7＝0       B．x－3y＋13＝0    C．x－3y＋6＝0     D．x－3y＋5＝0

【答案】B

【解析】由可得直线与的交点为，

与直线垂直的直线斜率为，由点斜式，得直线方程为，

即，故选B.

2．（2020安徽师大附中高二期中）已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把坐标代入两条直线和,得

,,,

过点,的直线的方程是：,

,则,

,,所求直线方程为：．

3．（2020·全国高一课时练习）已知，直线与线段交于点，且，则实数的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】设，则..

∵，∴∴，故选：A

4．（2020福建三明一中高二期末）若曲线及能围成三角形，则的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线.

因为方程的解，故射线与直线有一个交点；

若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解，故，因此，选C.

5．（多选题）（2020安徽铜陵二中高二月考）已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是(　　)

A．(1，－3)          B．(3，-4)          C．(－3,1)           D．(－4,3)

【答案】AB

【解析】由得,由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0,即m＋2n＋5＝0，结合选项可知AB项正确．

6.（多选题）（2020江苏张家港高二期中）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（    ）

A．1 B． C．﹣2 D．﹣1

【答案】BCD

【解析】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，故选：BCD

二、填空题

7.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点　　　　　. 

【答案】 (6,-8)

【解析】由3a-4b=1,得b=,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令解得

8．（2020江西宜春高二期中）已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；则m+n＝_______

(2)l1∥l2.则_________________

【答案】8；.   

【解析】（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n=0 和 2m﹣m﹣1=0，

解得 m=1，n=7．m+n=8．（2）由 l1∥l2 得：m2﹣8×2=0，m=±4，

又两直线不能重合，所以有 8×（﹣1）﹣mn≠0，对应得 n≠2m，

所以当 m=4，n≠﹣2 或 m=﹣4，n≠2 时，l1∥l2．

9．（2020福建莆田一中高二月考）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.

【答案】或

【解析】由题意可设所求直线方程为，

即，令，得；令，得

∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等，∴，即或

∴所求直线方程为或

10．（2020银川一中高二月考）已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为________.

【答案】x＋y－(1＋)＝0

【解析】如图，设入射光线与交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，

由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－ ，

又入射光线过点P(0,1＋)，

∴入射光线所在的直线方程为，即x＋y－(1＋)＝0．

解方程组 得,所以点Q的坐标为(1,1)．

过点Q作垂直于的直线l′，显然l′的方程为y＝x．

由反射原理知，点P(0,1＋)关于l′的对称点P′(＋1,0)必在反射光线所在的直线上．

所以反射光线所在直线的方程为，即x＋y－(1＋)＝0．

三、解答题

11.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),

则直线CF的方程为x=0.

由直线的截距式方程可得直线AC的方程为=1,即cx+ay-ac=0.

同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.

由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a).

同理,得直线BE的方程为y=(x-b).

设直线CF和直线AD交于点O,

由得点O的坐标为0,-.

又O点坐标也满足直线BE的方程,

所以直线BE也过点O.所以AD,BE,CF三线共点.

12．（2020湖南师大附中高二月考）直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．

【解析】解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴⇒∴kAP＝，

故所求直线l的方程为y＝x＋1，即x＋4y－4＝0.

解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，

由方程组，

由方程组，

∵A、B的中点为P(0,1)，∴，∴k＝.

故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.

解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有⇒代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程组解得由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.

解法四：同解法一，设A(x0，y0)，两式相减得x0＋4y0－4＝0，

(1)考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.