【新教材精创】第1章 空间向量与立体几何（复习小结）-人教A版高中数学选择性必修第一册 试卷

第一章 空间向量与立体几何--复习小结

一、选择题

1．（2020·江西省高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，

所以，

即.故选：B.

2. （2020·南昌市八一中学高二期末（理））设，向量且，则（ ）

A． B． C．3 D．4

【答案】D

【解析】,

,,故选C.

3．（2020·延安市第一中学高二月考（理））在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），

＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），

设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），

∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ，选D．

4．（2020·浙江省杭州第二中学高二）空间线段，，且，设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为空间线段，，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以点为原点构建空间直角坐标系：

因为，所以可设，，，则，，，，，，，

故与所成的角的余弦值，

因为根据矩形的性质易知平面平面，平面，所以二面角的平面角为，，，所以即与面所成的角，

故，因为，所以，故选：A.

5．（多选题）（2019·山东省青岛二中高二期末）在四面体中，以上说法正确的有（    ）

A．若，则可知

B．若Q为的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则

【答案】ABC

【解析】对于，，， ，，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，，即，故正确；对于，若，，则，，

，

，

，故正确；

对于，

，

，，故错误.故选：

6.（多选题）（2020·江苏省高二期中）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）

A．与平面所成的最大角为

B．存在某个位置，使得

C．当二面角的大小为时，

D．存在某个位置，使得到平面的距离为

【答案】BC

【解析】如图所示：

对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，所以，故B正确；对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；故选：BC.

二、填空题

7．（2019·浙江省高二月考）在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是__________，若，则__________．

【答案】； 1   

【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又，，点在棱上移动

则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），

设E（1，m，0），0≤m≤2，则=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），

∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．

∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，

∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．

8．（2019·湖北省高二期中（理））已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为______.

【答案】

【解析】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，，则根据三角形面积得，代入解得.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，令，得.

，所以直线与平面所成的角的余弦值为.

9．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））在正方体中，E，F分别为线段，AB的中点，O为四棱锥的外接球的球心，点M，N分别是直线，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为，则当最小时，__________.

【答案】

【解析】如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，因为三棱柱为直三棱柱，所以其外接球球心O为上、下底面三角形外心和连线的中点，由题意，是平面内的一条动直线，所以最小是直线OC与平面所成角，即问题转化为求直线OC与平面所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为，，,因为为等腰三角形，所以外接圆的直径为

,则，从而，

如图，以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向

建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，设平面的一个法向量为，

则，令，则，因为，

所以

10．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））如图，四棱锥中，是矩形，平面，，，四棱锥外接球的球心为，点是棱上的一个动点.给出如下命题：①直线与直线所成的角中最小的角为；②与一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）

【答案】①③④

【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，

，当时等号成立，

此时，故直线与直线所成的角中最小的角为，①正确；

，当时，，②错误；

将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，

，③正确；

如图所示：将平面以为轴旋转到平面内形成平面，

则，当共线时等号成立，④正确.

故答案为：①③④.

三、解答题

11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

（1）证明：直线；

（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（3）求点B到平面OCD的距离.

【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)  

设平面OCD的法向量为,则

即 取,解得   

(2)设与所成的角为,

  , 与所成角的大小为 

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

12.（2020·江苏省高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

【解析】

（1）连

以为轴建立空间直角坐标系，则

从而直线与所成角的余弦值为

（2）设平面一个法向量为

令

设平面一个法向量为

令

，因此.