高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步训练题

【精挑】6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理作业练习

一．单项选择（）

1．一组密码由0至9中的六个互不相同的数字组成，包含四个偶数和两个奇数，且0不能放在首位，这样的密码个数为（    ）

A．28900 B．31200 C．46800 D．52700

2．算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入上面的三个格子中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）

A．46 B．44 C．42 D．40

3．从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村去C村，则不同的路线有几条？（    ）

A．5 B．6 C．8 D．9

4．如图的六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有3种不同颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案.

A．48 B．64 C．96 D．108

5．四色定理（Four color theorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（    ）

A．18种 B．36种 C．48种 D．72种

6．某单位在一次团建时，组织了一次寻宝活动，参加活动的人从点出发，到点停止，途中要在，，三个藏宝地点找到宝物.已知各点之间的路线距离（单位：百米）见下表.若每个藏宝地点只经过一次，那么寻宝路线的最短距离是（    ）

A．23 B．22 C．21 D．20.6

7．三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（    ）

A．729 B．18 C．216 D．81

8．将4封不同的信投入3个不同的信箱，且4封信全部投完，则不同的投法有（    ）

A．81种 B．64种 C．24种 D．4种

9．某日，从赣州到南昌的火车共有10个车次，飞机共有2个航班，长途汽车共有12个班次，若该日甲只选择这3种交通工具中的一种，则甲从赣州到南昌共有（    ）

A．12种选法 B．24种选法

C．22种选法 D．14种选法

10．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（    ）

A．6种 B．8种 C．10种 D．16种

11．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（    ）

A． B． C． D．

12．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

13．4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）

A．12种 B．64种 C．81种 D．24种

14．现有甲．乙．丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一．五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（    ）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

15．将封不同的信分别投入到个信箱中，则不同的投送方式的种数为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：根据题意，对密码数字中有没有0进行分类讨论，最后分类加法计数原理计算即可.

详解：因为0至9中有5个奇数为：1，3，5，7，9；5个偶数为：0，2，4，6，8；

密码包含四个偶数和两个奇数，

当密码数字中没有0时：共有个不同的密码；

当密码数字中有0时：共有个不同的密码；

根据分类加法计数原理可得共有31200个不同的密码；

故选：B.

2．【答案】B

【解析】分析：先按每一位数上算筹的根数分布，再由每一位数上算筹的根数能组成的数字情况即可作答.

详解：按每一位数上算筹的根数分类，一共有15种情况：

(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)，

由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分别为

2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，

故5根算筹能表示的三位数的个数为.

故选：B

3．【答案】B

【解析】分析：根据题意，由分步乘法原理即可得出答案.

详解：解：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，

根据分步乘法原理可得从A村经B村去C村，则不同的路线有条.

故选：B.

4．【答案】C

【解析】分析：区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，根据图形特点，先考虑涂中间的部分，再考虑三角形的部分即可.

详解：先染中间有3种方法，再染5个三角形有，

则总方法数为：96.

故选：C

5．【答案】D

【解析】分析：涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，再利用分步乘法原理计算各类的方法数，并结合分类加法原理求出总的方法数.

详解：涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，只使用3种颜色的涂色方案有种，使用4种颜色的涂色方案种，所以不同的染色方案有种．故选D．

6．【答案】C

【解析】分析：先根据表格中数据画出关系图，然后利用排列的知识逐一列举各种不同的走法，并计算路程，最后进行比较即得.

详解：

A-B-C-D-E:5+7+9+5=26;

A-B-D-C-E:5+6+9+8.6=28.6;

A-C-B-D-E:4+7+6+5=22;

A-C-D-B-E:4+9+6+2=21;

A-D-B-C-E:5+6+7+8.6=26.6;

A-D-C-B-E:5+9+7+2=23.

∴最短路径为A-C-D-B-E，距离最小值为21.

故选：C.

7．【答案】C

【解析】分析：每个班个风景点中选择一处游览，每个班都有6种选法，根据分步乘法计数原理，即可得解.

详解：第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法；

第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法；

第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法．

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是

故选：C.

8．【答案】A

【解析】分析：利用分步乘法计数原理进行分析，即可求得信的投法总数.

详解：由题意可知，每封信都有种投法，

根据分步乘法计数原理可知，不同的投法有：种，

故选：A.

9．【答案】B

【解析】分析：根据计数原理的加法法则可得选项.

详解：由计数原理的加法法则可得，甲从赣州到南昌共有10+2+12=24种选法.

故选：B.

10．【答案】C

【解析】分析：列出树状图，由分类加法计数原理即可求解.

详解：根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：

经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，

故选：C.

11．【答案】D

【解析】分析：每个班都有5种选法，由分步计数原理可得结果.

详解：解：由题意可知，每个班都有5种选法，则由分步计数原理可得共有种方法.

故选：D

12．【答案】B

【解析】分析：先找出包含的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.

详解：如图，

若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；

若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；

若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去.

综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.

故选：B.

13．【答案】C

【解析】分析：根据分步乘法计算原理，由题中条件，可直接求出结果.

详解：4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（种）.

故选：C．

14．【答案】C

【解析】分析：由题意知，只有中间三个坑需要选择树苗，然后结合分类计数原理和分步计数原理分析即可求出结果.

详解：因为同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，所以只有中间三个坑需要选择树苗，

（1）当中间一个种甲时，第二个和第四个坑都有两种选法，共有4种选法，

（2）当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，

①当中间这个种乙时，第二个和第四个位置树苗种丙，

②当中间这个种丙时，第二个和第四个位置树苗种乙，

故一共有6种种法.

故选：C.

15．【答案】A

【解析】分析：由分步乘法计数原理可得答案.

详解：将封不同的信分别投入到个信箱中，每封信都有4个信箱可选，

共有，

则不同的投送方式的种数为.

故选：A.