人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步达标检测题

人教A版（2019）选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、单选题

1．某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（       ）

A．30种 B．15种 C．20种 D．25种

2．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（       ）

A．6 B．5 C．3 D．2

3．有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有

（       ）

A．12种 B．9种 C．8种 D．6种

4．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（       ）

A．3种 B．6种 C．7种 D．9种

5．某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（       ）

A． B． C． D．

6．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（       ）

A．12 B．64 C．81 D．24

7．已知，则可表示不同的值的个数为（       ）

A．10 B．6

C．8 D．9

8．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（       ）

A．15 B．30 C．6 D．9

9．某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（       ）

A．6种 B．12种 C．24种 D．32种

10．由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（       ）

A．144 B．216 C．288 D．432

11．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（       ）

A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B．第二名的总分可能超过18分

C．第三名的总分共有3种情形

D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

12．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（       ）

A．18 B．30 C．36 D．54

二、填空题

13．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有_________种．（用数字作答）

14．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成______种不同的信号．

15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．

16．某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有___________种派遣方法.

17．高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.

三、解答题

18．（1）如果，那么在平面直角坐标系内，集合中有多少个不同的点？

（2）如果，，那么在平面直角坐标系内，方程所表示的不同的直线共有多少条？

19．甲､乙､丙三位教师指导五名学生参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.

(1)若每位教师至多指导其中一名学生，求共有多少种分配方案；

(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.

20．如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？

21．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？

参考答案：

1．B

根据题意只需再从除甲、乙两位专家外的6人中选2人即可.

【详解】

解：由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人，

则有种不同的组成方式.

故选：B．

2．B

利用分类加法原理求解即可.

【详解】

选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法.

故选：B.

本题考查分类加法原理，是基础题.

3．C

根据分步计数原理可求.

【详解】

每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有（种）．

故选：C．

4．C

根据分类加法计数原理即可求解.

【详解】

分3类，买1本书，买2本书，买3本书，

各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).

故选：C

5．D

不相邻问题用插空法，先排好小吃类店铺，然后将饮料类店铺进行插空即可.

【详解】

先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为．

故选：D

6．C

根据分步乘法计数原理，即可求解.

【详解】

先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，

同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，

依次类推，

因此，根据分步乘法计数原理共有种分配方法.

故选：C

本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.

7．D

采用分步乘法计数原理进行分析，第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.

【详解】

解析：因为从集合中任取一个值共有个不同的值，从集合中任取一个值共有个不同的值，

故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，

所以可表示不同的值有个．

故选：D.

8．D

根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，

则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，

则恰好选出1药1方的方法种数为；

故选：．

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．

9．D

先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.

【详解】

因为学生只能从东门或西门进入校园，

所以3名学生进入校园的方式共种.

因为教师只可以从南门或北门进入校园，

所以2名教师进入校园的方式共有种.

所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有种情况.

故选：D

10．C

先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，其中根据这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在首位，也不在最后一个位置，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解.

【详解】

先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置．

（1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为；

（2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为；

（3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为；

（4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为；

（5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为；

（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为；

根据分类加法计数原理可知，排法总数为．

故选：C．

方法点睛：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．

11．C

根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.

【详解】

依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5和10，10，3，

显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，

甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；

甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11分，13分，

甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11分，13分，15分，

选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.

故选：C

12．C

根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.

【详解】

解：如图，分以下几类：

棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；

棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；

底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；

底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；

侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；

所以共有对.

故选：C.

本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题.

13．128

根据分步乘法计数原理即可求出．

【详解】

∵学生只能从东门或西门进入校园，∴4名学生进入校园的方式共=16种．

∵教师只可以从南门或北门进入校园，∴3名教师进入校园的方式共有种．

∴3名教师和4名学生要进入校园的方式共有种情况．

故答案为：128．

14．39

根据给定条件分成每次升1面、升2面、升3面旗3类，求出各类表示的信号数，再将各类信号数相加即得.

【详解】

每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号，

根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号．

故答案为：39

15．180

分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.

【详解】

分配的方案有两类，

第一类：一组3人，另一组5人，有种；

第二类：两组均为4人，有种，

所以共有种不同的分配方案．

故填：180

本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.

16．114

根据医生的情况，分从只会外科的人中选1人和从只会外科的人中选0人两类求解.

【详解】

由题知，有2名医生既会外科，也会内科，只会外科的1名，5名会内科，

以选出只会外科的人数进行分类：

从只会外科的人中选1人：，

从只会外科的人中选0人：，

所以共114种.

故答案为：114

17．.

根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有种安排方法，

若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；

第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有种，第三行的每个位置的人员安排有种，

则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率；

故答案为：.

本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

18．（1）36；（2）16

（1）利用分步相乘计数原理即可得解；

（2）利用分步相乘计数原理即可得解.

【详解】

（1）根据题意，确定集合中的点，需分两步完成：

第1步，确定有6种方法；第2步，确定有6种方法；

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.

所以集合中共有36个不同的点.

（2）根据题意，确定方程所表示的直线，需分两步完成：

第1步，确定斜率有4种方法；第2步，确定截距有4种方法；

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.

所以方程所表示的不同的直线共有16条.

19．(1)

(2)

（1）甲､乙､丙三位教师各指导了一名学生，进而根据排列求解即可；

（2）先分一名学生给甲老师，剩余学生按要求分两组并分给另两名老师.

(1)

解：因为每位教师至少指导一名学生，且每位教师至多指导其中一名学生，

所以甲､乙､丙三位教师各指导了一名学生，

所以甲､乙､丙三位教师各有5种选择，故有种.

所以，满足条件的分配方案有种.

(2)

解：从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有种，

乙､丙两位教师各有种选择，

所以，根据分步乘法原理，分配方案共有种.

所以，满足条件的分配方案有种.

20．108（种）

分三步：首先看图形中的1，5，9，有3种可能；再看2，3，6；最后看4，8及7，运用分步计数原理可得答案.

【详解】

把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．

第二部分2，3，6，分以下两种情况：

①若标号为2，6的小正方形同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种）；

②若标号为2，6的小正方形不同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种），

所以标号为2，3，6的小正方形的不同涂法共有（种）．

同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6种．

所以符合条件的涂法共有（种）．

21．20

由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．再分两种情况（甲入选和甲不入选）讨论得解.

【详解】

解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．

把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类．

第1类，甲入选，另1人只需从其他8人中任选1人，故这类选法共8种；

第2类，甲不入选，则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出，有6种不同的选法，会小号的也只能从只会小号的2人中选出，有2种不同的选法，

所以这类选法共有6×2=12(种)．

因此共有8+12=20(种)不同的选法．

方法点睛：排列组合问题常见的解法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.