2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】解：因为全集，集合，

所以.

故选：D

2．设命题，则命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依据特称命题的否定写出命题的否定即可解决.

【详解】命题的否定是

故选：A

3．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.

【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；

反过来，因为，所以当时，有，即.

综上可知，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由解析式结合函数图象直接判断即可.

【详解】对A，为奇函数，排除；

对B，为偶函数，在单减，排除；

对C，为偶函数，在单增，符合题意；

对D，为偶函数，由对勾函数图象特点可知，函数不单调，排除.

故选：C

5．设，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.

【详解】对A项，当时，，故A错误；

对B项，取，时，，不满足，故B错误；

对C项，取，时，满足，但不成立，故C错误；

对D项，函数在R上单调递增，，则，故D正确;

故选：D

6．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．

【详解】的定义域是，关于原点对称，

，是偶函数，排除BC；

又时，，是增函数，排除A．

故选：D．

【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．

确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．

7．下列比较大小正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可.

【详解】解：因为，

又在上单调递减，，所以，

所以.

故选：C

8．已知函数，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由图象法易判断函数单调递增，结合定义域代入对应解析式解不等式即可求出取值范围.

【详解】如图所示，在上单调递增，不等式有意义则,解得,

当，，

解得，又因为所以.

故选：B

二、多选题

9．已知集合，则下列说法正确的是（    ）

A．集合A的子集个数为16个 B．集合

C． D．

【答案】AC

【分析】求得集合A的子集个数判断选项A；化简集合B判断选项B；求得集合的关系判断选项C；求得判断选项D.

【详解】选项A：集合的子集个数为（个）.判断正确；

选项B：由，可得，即

则集合.判断错误；

选项C：由，可得.判断正确；

选项D：由，可得.判断错误.

故选：AC

10．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．函数

C．函数为奇函数 D．函数的图像关于点中心对称

【答案】ABD

【分析】求得的值判断选项A；求得函数的解析式判断选项B；求得函数的奇偶性判断选项C；求得函数的对称中心判断选项D.

【详解】由，可得，则选项B判断正确；

则，则选项A断正确；

由定义域不关于原点对称，

可知函数不为奇函数，则选项C断错误；

由的图像关于原点中心对称，可得函数的图像

关于点中心对称，则选项D断正确.

故选：ABD

11．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由可验证选项A，由代换，可验证BC选项，由可验证D选项.

【详解】因为，且，

所以由可得，A选项正确；

，，因为，所以，，即，故B选项错误；

，当时取到最小值，故C选项正确；

因为，即，故D选项正确.

故选：ACD

12．已知函数的定义域为，且，则当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数又为上的增函数

B．函数，则

C．若函数且，则

D．若函数，则

【答案】BC

【分析】令可证，令可证为奇函数，结合定义可证函数为单减函数，由可匹配正比例函数模型，通过函数关系式代换可依次验证B、C、D的正确性.

【详解】令可得，令可得，

即，故为奇函数，

令，则，因为当时，，

所以，即，故当时，单减，由奇函数对称性和可知，在上单减，故A项错误；

因为，符合该函数模型的只能是正比例函数，不放设成，

对B，，等价代换可得

，显然左边=右边恒成立，故B项正确；

对C，且，即，，故，当时，，故C正确；

对D，，，，只有当时才符合，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．计算：_________.

【答案】

【分析】根据指数幂的运算法则计算可得.

【详解】解：

.

故答案为：

14．已知命题“”是真命题，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】分为和两种情况，结合二次函数解不等式即可求解.

【详解】当时，恒成立；当时，要使，则有，解得；

故.

故答案为：

15．设，则当__________时，取得最小值.

【答案】##0.75

【分析】需使原式出现基本不等式形式，可变形为，将替换分子，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，显然要使取最小值，必须满足，

此时，当且仅当时取到等号.故取得最小值为.

故答案为：

四、解答题

16．设的解集为，的解集为.

(1)求集合和集合；

(2)设实数集为，求.

【答案】(1)或，

(2)

【分析】(1)解出一元二次不等式和分式不等式的解集即为集合和集合；

(2)由(1)结论求出，进而求出即可.

【详解】（1）解:由题知的解集为或，

或，

，

即，

不等式的解集为，

，

综上: 或，；

（2）由(1)知或，，

，

.

17．已知幂函数，且在区间上单调递减.

(1)求的解析式及定义域；

(2)设函数，利用单调性定义证明：在上单调递减.

【答案】(1)；

(2)证明见详解

【分析】（1）易得，代入值验证符合在区间上单调递减的值即可；

（2），再利用定义证明即可.

【详解】（1）由幂函数性质可得，解得或，又在区间上单调递减，

当时，，不满足题意，舍去；

当时，，满足题意，所以，定义域为；

（2），设，，

，

因为，所以，

所以，，在上单调递减.

18．已知集合,.

(1)若,求实数的取值范围；

(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)化简集合,根据并集定义,利用数轴得出的取值范围,

(2)由(1)得出集合,根据是的充分不必要条件,说明,利用数轴得出的取值范围即可.

【详解】（1）解:由题知,

或,

,

,

综上:;

（2）由(1)知

或

是的充分不必要条件,

或,

或.

19．2022年8月9日，美国签署《2022年芯片与科学法案》，对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多有多少人？

(2)为了激励研发人员的工作热情，企业决定：研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求满足条件的的最大值，并说明理由.

【答案】(1)300；

(2)7，理由见解析.

【分析】（1）根据题意可得，解不等式可得结果；

（2）由题意得，化简得在时恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）根据题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则

，

解得，

因为且，

所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的技术人员最多300人；

（2）由条件可知研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得

，

两边同除以，得

，

整理得，

即在时恒成立，

因为，

当且仅当，即时取等号，

所以，

所以满足条件的的最大值为7.

20．已知________,且整数.

①函数在定义域为上为偶函数;

②函数在区间上的值域为.

在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.

(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;

(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)奇函数,证明见解析;

(2)

【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,

选②时,根据单调性,代入函数值可求出,

根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;

(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.

【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,

所以,所以,

且为偶函数,所以

故

所以,;

当选②时:因为单调递增,

在区间上的值域为,

所以

即 ,

解得,

综上:.

因为,

所以,

所以,

故,

所以是奇函数;

（2）解:由(1)知,,

当时,,当且仅当时成立,

所以,

即时,,

当,,

因为是奇函数,

所以即时,,

综上:,

记值域为集合,

,

,

记值域为集合,,

,,使得成立,

,

,

.

21．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.

(1)当时，求函数的不动点；

(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

(3)在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据不动点定义，，求解即可；

（2）由题意，，对任意实数，恒有两个根，利用判别式，分析即得解；

（3）由题意，因为，可得，结合均值不等式，即得解

【详解】（1），因为为不动点，

因此，所以，

所以为的不动点.

（2）因为恒有两个不动点，，，由题设恒成立，

即对于任意恒成立，

令，则由对于任意恒成立可得，

所以，所以.

故a的取值范围是.

（3）因为，

所以，

则

，当且仅当等号成立，

可得

五、双空题

22．已知函数，则________；若当时，，则的最大值是_________.

【答案】         

【分析】先算内层，再求；画出大致图象，确定变化范围，可求的最大值.

【详解】，则；

由分段函数画出大致图象，如图：

若当时，，则可令解得，则，令，解得或（舍去，）则，，则，则的最大值是

故答案为：；