福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三下学期适应性联考数学试卷

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学

 2023年高三适应性联考

考试科目：数学      满分：150分     考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，则（    ）．

A． B． C． D．

2．若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（    ）．

A． B． C． D．

3．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ）．

A． B． C． D．

4．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：,,,,,,,,,,,，

即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（    ）．

A.            B.            C.             D.

5．某公园有如图所示至共个座位，现有个男孩个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ）．

A．               B． 

C． D．

6．已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，

则该球的体积为（    ）．

A．            B．          C．         D．

7．已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ）．

A.          B．          C.             D.

8．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）．

A．         B．         C．         D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列命题中正确的是（    ）．

A．已知随机变量，则

B．已知随机变量，且，则

C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8

10. 已知圆，直线，下列结论正确的是（    ）．

A．直线恒过点                            

B．若直线平分圆，则

C．圆心到直线的距离的取值范围为

D．若直线与圆交于点,，则面积的最大值为

11. 圆为锐角的外接圆，,则的值可能为（    ）．

A.              B.            C.            D.

12. 如图，在棱长为的正四面体中，，分别在棱，上，且，若，，，，则下列命题正确的是（    ）．

A．

B．时，与面所成的角为，则

C．若，则的轨迹为不含端点的线段

D．时，平面与平面的夹角为，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.       

13．如图，点是单位圆上的一个动点，它从初始位置（单位圆与轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于_________．

14．已知是等差数列{}的前n项和，当且仅当时取到最小值，且，则满足

的的最小值为__________．

15．定义在上的函数满足,当时, ，则函数在上的零点个数是__________．

16．已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于、、、四个点，且满足，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知等差数列和等比数列满足

（1）求和的通项公式；

（2）数列和中的所有项分别构成集合､，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.

18．在锐角中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若边，边的中点为，求中线长的取值范围.

19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．

（1）证明：；

（2）当平面与平面所成的锐二面角为时，

求平面与侧面的交线长．

20．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）

（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.

21．已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．

（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；

（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，

使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

22．已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）若方程的两个解分别为，求证：.