2023届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三上学期期中联考数学试题含解析

2023届福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高三上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若复数，则其共轭复数所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求得，即可得其共轭复数所在象限.

【详解】解：，则，所以

共轭复数所在象限为第三象限.

故选：C.

2．若，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合、，再根据集合的交集运算可得答案.

【详解】若，，

则.

故选：B.

3．已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（    ）

A．70 B．－70 C．56 D．－56

【答案】A

【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n的值.然后根据二项式定理展开式解题.

【详解】，由已知可得，，

即，所以.

设展开式中的第k+1项含有，，

则可知，，所以二项式展开式中的系数为.

故选：A.

4．“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件求得之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.

【详解】若表示焦点在轴上的椭圆，则需，即，所以，

所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是，

故选：C.

【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.

5．已知a、b、c分别是内角A、B、C的对边，，，则面积的最大值是（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】由，利用余弦定理代入化简解得，再根据，利用正弦定理得到，即，得到点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解.

【详解】∵，

∴，

∴，

∵

∴，

即，

∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长，

以AB为x轴，以线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，

其方程为，如图所示：

则问题转化为点C在椭圆上运动求焦点三角形的面积问题．

当点C在短轴端点时，的面积取得最大值，最大值为．

故选：B．

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

6．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分组，平均分为两组，共有20个基本事件，分情况讨论，满足题意的有9种，故概率为.

【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：甲指挥交通，乙和丙在另一组；或者丙乙指挥交通，甲在另一组；或者甲乙指挥交通，丙在另一组，共有个，所以所求概率为．

故选C

【点睛】这个题目考查了古典概型的概率公式的应用，考查了基本事件个数的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

7．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用方程联立分别求点的坐标，利用向量关系，转化为坐标运算，转化为关于的齐次等式，再求离心率.

【详解】设过右焦点的直线与垂直，则直线为，

联立，得，即，

联立，得，即，

因为，则，，

整理为，两边同时除以，

得，（舍）或，

所以双曲线的离心率.

故选：A

8．已知函数，若且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数和绝对值的性质，结合一次函数的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】当时，单调递减，

当时，单调递增，且，

当时，函数单调递减，

所以函数的图象如下图所示：

因为设，

所以方程有三个互不相等的实数根，

由图象可知：，

因此有，

即，因此，

因为，

所以，满足，即，

因此

故选：B

【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，运用数形结合思想进行求解是解题的关键.

二、多选题

9．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2022年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图（图中上面的那条折线为同比），下列说法正确的是（    ）

A．2022年全国居民每月消费价格与2021年同期相比有涨有跌

B．2022年1月至2022年12月全国居民消费价格环比有涨有跌

C．2022年我国居民消费价格中3月消费价格最低

D．2022年1月全国居民消费价格同比涨幅最大

【答案】ABD

【分析】逐项参照折线图分析即可.

【详解】由图知，11月份同比下跌，其他月份同比上涨，A正确；

由图知，3、4、5、6、10、11月份环比下跌，其他月份环比上涨，B正确；

由图可知，4月份较3月份环比下跌，C错误；

由图知，2022年1月全国居民消费价格同比涨幅，高于其他月份.

故选：ABD.

10．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称

C．函数在区间上单调递增

D．函数在区间上有67个零点

【答案】ACD

【分析】由对称轴为，且求出函数解析式，再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.

【详解】由函数的图象的一条对称轴为，

得，因为，

所以，则，所以周期，A项正确；

将函数的图象向左平移，

得，

显然的图象不关于原点对称，B项错误；

由，取，得，

即，是函数的一个单调递增区间，又，

所以函数在区间上单调递增，C项正确；

由，得，解得，由，得，因为，所以，所以函数在区间上有67个零点，D项正确.

故选：ACD.

11．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点、、作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（    ）

A．三棱柱外接球的表面积为

B．

C．若交于，则

D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为

【答案】AD

【分析】将该三棱柱视为正方体的一部分，求出三棱柱外接球的半径，由此能求出其表积，判断A；延长与交于点，连接，交于，连接，则平面即为截面，判断B；由，，在△中，求出，判断C；延长，交于，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为，判断D．

【详解】解：如图所示，将该三棱柱视为正方体的一部分，

则三棱柱外接球的半径，，

三棱柱外接球的表面积为，故A正确；

延长与交于点，连接，交于，连接，

则平面即为截面，

，是的中点，是的中点，

，，，

是的中点，与相交，故B错误；

，，在△中，，故C错误；

延长，交于，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为：

，

剩余部分的体积为，

将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为，故D正确．

故选：AD．

12．数列满足，数列的前n项和记为，则下列说法正确的是（    ）

A．任意 B．任意

C．任意 D．任意

【答案】BCD

【分析】B：由题设得且，，讨论大小关系，结合给定条件即可判断；A：根据B的结论及，易知随n变化的趋势，并构造求得，即可判断；C：由A分析结果及即可判断；结合C可判断D.

【详解】由，且，又，故，，

则，

当时，则，即，显然与矛盾；

当时，则，即，显然与矛盾；

所以且，即递增，B正确；

由，根据B结论知：随n的增大，无限趋近于0，则无限接近于1，

又，令且递增，则 ，即，

综上，，A错误；

由，根据A的结论有，

又，可得，所以，即，

综上，，C正确；

由C结论知：

所以成立，D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：利用已知条件，将各项结论作转化，并应用分类讨论、极限、函数思想判断数列不等式是否恒成立.

三、填空题

13．抛物线的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______.

【答案】

【分析】焦点，根据椭圆定义得到，设椭圆和抛物线的交点为，根据抛物线性质得到，得到离心率的最大值.

【详解】抛物线的焦点，根据题意，.

设椭圆和抛物线的交点为，到抛物线准线的距离为，

离心率最大，即最小，，

当与准线垂直时等号成立，此时.

故答案为：

14．已知，则______.

【答案】4042

【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..

【详解】由，令可得，，

且，

则，

所以，函数关于点对称，即

由已知，，

又

两式相加可得，

所以，.

故答案为：4042.

15．若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】设出，，得到，平方后得到的最大值和最小值，从而求出答案.

【详解】不妨设，，

则，，

故

，

则，

因为，

当时，取得最大值，，故的最大值为，

当时，取得最小值，，故的最小值为，

故的取值范围为.

故答案为：.

16．已知函数与函数有公共点，则的最小值为______.

【答案】##

【分析】将问题转化为方程有解，即有解，设，则，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方的最小值，即为原点到直线的距离的平方，进而求解即可.

【详解】令，故，即

故方程有解

设，则

将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方的最小值，即为原点到直线的距离的平方

故

当且仅当时等号成立

时能取得最小值，此时

故的最小值为

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列为正项等比数列，；数列满足.

(1)求；

(2)设的前项和，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.

（2）首先根据已知求出，再利用裂项求和即可得到，根据数列的函数性质证明.

【详解】（1）令，得，所以，

令，得，

所以，又，所以，

设数列的公比为，

则，所以；

（2）当时，①

又，②

②–①，

因为，所以，时也成立，所以.

，

所以

.

易知单调递增，且，.

18．如图，三棱维中，平面平面，，，是棱的中点，点在棱上点是的重心．

（1）若是的中点，证明面；

（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）存在点，使二面角的大小为，此时.

【解析】（1）延长交于点，连接，证明平面平面，得到证明.

（2）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.

【详解】（1）延长交于点，连接，因为点是的重心，故为的中点，

因为，分别是棱，的中点，所以，，          

又因为，所以平面平面，又平面，

所以平面．    

（2）连接，因为，所以，又是的中点，

所以，

因为平面平面，而平面平面，平面，

所以平面，

如图，以为原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴建空间直角坐标系，          

设，则，，

所以，，，，，

假设存在点，设，，

则，

所以，又，

设平面的法向量为，则，

令，解得，

又平面，平面的法向量，          

而二面角的大小为，所以，

即，解得，

所以存在点，使二面角的大小为，此时．

【点睛】本题考查了线面平行，根据二面角角求线段长度关系，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.

(1)若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；

(2)若某天仅进行了6次训练，五个项目均有训练，且第1次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为6次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）分两种情况第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”和第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”，分别求概率即可.

（2）的不同取值为1、2，写出分布列，即可求出答案.

【详解】（1）第一次训练选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，

第一次训练未选择“弧线”，且第三次训练的是“弧线”的概率为，

所以第三次训练的是“弧线”的概率为；

（2）由题意知“旋转”项最多训练2次，所以的不同取值为1、2，

（后五次训练次序列表）

①后五次训练中未练“旋转”：另四项中有一项训练了2次，四项中选一项练2次，可放，

共有种；

②“旋转”项练了2次：“旋转项”可在3，4，5，6位置，故有种.所以，.

所以分布列如下表所示：

所以，；

20．在中，.

(1)求A；

(2)若的内切圆半径，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.

（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦

定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.

【详解】（1）在中,，

整理得，即

，于是

所以，

因为，所以，即

，

所以，又因为，所以，

所以，解得.

所以.

（2）令，（1）知.

由，得

，即，

由余弦定理及（1）知，得

，

所以，

即，

于是

当且仅当时取等号

所以，

或

又的内切圆半径，， ，

，的最小值为.

21．已知椭圆：（）的右顶点与抛物线：（）的焦点重合.的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线过定点.

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】（1）由题意可得，由于椭圆的离心率可得a，c的关系，进而可得p，c的关系，再由过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为可得c的值，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；

（2）设直线的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.

【详解】（1）由的离心率为，可得，所以，

因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以，，

所以可得，

过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为，k令代入抛物线的方程：可得，所以，

即，解得，所以，

由可得，

所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；

（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，由题意可得，

直线与椭圆联立：，

整理可得：，，

可得，，，

直线的方程为：，

整理可得：

所以当时，，即过定点，

所以可证直线过定点.

【点睛】本小题主要考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线过定点问题，考查运算求解能力，属于难题.

22．已知函数存在唯一的极值点.

(1)求实数的取值范围；

(2)若，证明：

（提示：若则.）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，分，及讨论即可求得实数的取值范围；

（2）由（1）可知，，，即，两式相加化简变形即可得证．

【详解】（1）解：函数的定义域为，，令，

①若，则，在上递增，不合题意；

②若，，令，得，

在上递减，在上递增，，

∵时，；时，

故时，无变号零点；时，有两个变号零点，

故时不符合题意；

③当时，，则在上递减，且，

存在唯一的，使得，

当时，，，当，时，，，

是唯一极值点，符合题意．

综上，实数的取值范围为；

（2）证明：由（1）可知，，

，，

，，，

由（1）可知，函数在，上递减，

，，

即，

，即，

．