2022-2023学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．经过，两点的直线的倾斜角是（    ）

A．-30° B．60° C．90° D．120°

【答案】C

【分析】由点的坐标即可知直线与轴垂直，从而确定倾斜角.

【详解】因为，，

所以经过,两点的直线与轴垂直，

所以其倾斜角为90°.

故选：C

2．若方程表示椭圆，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.

【详解】因为方程表示椭圆，

所以，

解得：且.

故k的取值范围为：.

故选：D.

3．已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由转化成，即可判定四点共面，反之则不能成立.

【详解】因为，

所以，

所以，

即，

所以四点共面，所以充分性成立；

但当四点共面时，

存在，可知必要性不成立.

故选：A.

4．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程，

将选项代入检验即可得正确选项.

【详解】设平面内的一点为(不与点重合)，则，

因为是平面的一个法向量，

所以，所以，

即，

对于A：，故选项A不正确；

对于B：，故选项B正确；

对于C：，故选项C不正确；

对于D：，故选项D不正确，

故选：B.

5．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．

【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，0，，，0，，，2，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，则，，所以平面的一个法向量．

点到平面的距离为．

故选：D．

6．已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．

设关于直线的对称点为，则解得，

则．

因为，分别在圆和圆上，所以，，

则．

因为，所以．

故选：B.

7．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果.

【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则，

设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①．

又，所以 ②，

由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．

故选：D．

8．若不等式的解集为区间，且，则（    ）

A． B． C．2 D．-2

【答案】B

【分析】根据直线和半圆的位置关系求得的值.

【详解】不等式可化为，

，表示圆心为原点，半径为的圆在轴上方的部分，

表示过点且斜率为的直线，

表示半圆在直线下方的部分，其解集为区间，且，

由图可知，，，则，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为3

B．直线的一个方向向量为

C．，，三点共线

D．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】结合直线截距的意义、直线方向向量的定义以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.

【详解】A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；

B：由题意，点在直线上，故直线的一个方向向量为

，故B正确；

C：由可得，

所以，A、B、C三点共线，故C正确；

D：斜率为，以及过原点的直线在在x、y轴截距都相等，故过点且在x、y轴截距相等的直线方程为或，故D错误.

故选：BC

10．已知，则下述正确的是（    ）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由，得，则圆心，半径，

所以A正确，

对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，

对于C，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆C相切，所以C正确，

对于D，圆的圆心为，半径，

因为，，

所以圆与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

11．如图，在正方体中，点是线段(含端点）上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使

B．异面直线与所成的角最小值为

C．无论点在线段的什么位置，都有

D．无论点在线段的什么位置，都有平面

【答案】ACD

【分析】当点与点重合时，由于，，根据平行线的性质可知，从而有，即可判断A选项；由，可知异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，再通过几何法求出线面角的余弦值，即可判断B选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，且，得出，再根据空间向量的坐标运算得出，即可判断C选项；由正方体的性质，可知平面平面，再根据面面平行的性质即可得出，从而可判断D选项.

【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，

∴，即，故A正确；

对于B，∵，则异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，

进而得出与所成角的最小值即为与平面所成角，

所以与所成角的最小值即为与平面所成角，设为，

设正方体的棱长为1，则，

在正三棱锥中，底面的外接圆半径为，

所以，则，故B不正确；

对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则，

设，且，则，

则，所以，故C正确；

对于D，易知平面平面，平面，所以，故D正确.

故选：ACD.

12．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长交x轴于点D，作交于点，则（    ）.

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．为定值

【答案】BCD

【分析】由余弦定理可知，从而可知不是定值；由椭圆定义可判断B，由切线长定理和椭圆的定义可判断C，由等面积法可判断D.

【详解】对于A，设，，，

由余弦定理可知：

即，解得

由于在上运动，所以的值也在随之变化，

从而不是定值，则A错误；

对于B，根据椭圆的定义，，是定值，B正确；

对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，

得，

且，则，

所以为定值，C正确；

对于D，连接,则，

由，

解得，由，

得为定值，则D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知，且与垂直，则____________．

【答案】

【分析】根据与垂直求得，由此求得.

【详解】由于与垂直，

所以，

所以，

所以

故答案为：

14．在圆：中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_________.

【答案】

【分析】数形结合确定弦和的位置，即可求得四边形的面积.

【详解】圆：的标准方程为，

圆心为，半径，如图所示：

易知：当弦经过圆心时，弦最长，

当弦与线段垂直时，弦最短，

，，

所以，

所以.

故答案为：.

15．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为________.

【答案】

【分析】结合椭圆的定义、圆的几何性质以及勾股定理列方程，化简求得椭圆的离心率.

【详解】连接，由于线段是圆的直径，所以，

设，所以，，

在直角三角形中，，①，

在直角三角形中，，整理得，代入①得：

，.

故答案为：

16．已知实数，满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，再分别求出和，则，再根据条件求出范围即可.

【详解】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，作出如下示意图：

则到直线的距离，由图可知圆在直线的上方，

所以，即，所以，，

所以，所以只需求出取值范围即可，

设直线与圆相切，所以，解得，

所以两条切线方程为：和，设两切点分别为，，分别过作，

垂足为，过作，垂足为，所以，

因为直线的斜率为：，所以，

所以，，又因为，

所以，所以，，

所以

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化.

四、解答题

17．已知直线：与直线：的交点为.

(1)若直线过点且与直线垂直，求直线的方程

(2)若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）由点斜式即可求得直线的方程；

（2）分直线与直线平行和过的中点两种情况求解即可.

【详解】（1）由，得，即，

直线的斜率为2，

因为直线直线垂直，所以直线的斜率，

故直线的方程为，即.

（2）因为直线过点，且点和点到直线的距离相等，

因为，所以三点不共线，

所以直线与直线平行或过的中点，

当直线与直线平行时，直线的方程为，即，

和的中点为，

当直线过的中点时，直线的方程为，

故直线的方程为或.

18．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点.若，，.

(1)用，，表示；

(2)求对角线的长；

(3)求异面直线与夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据空间向量的运算求得.

（2）利用，，表示，然后利用平方的方法，结合向量运算求得的长.

（3）根据向量的夹角公式求得异面直线与夹角的余弦值.

【详解】（1）连接，，，如图所示，

∵，，.

在，根据向量减法法则可得：，

∵底面是平行四边形，∴，

∵且，∴，

又∵为线段中点，∴，

在中.

（2）∵顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是.

∴，，

由（1）可知，

∴平行四边形中，故：，

，

∴，故对角线的长为.

（3）∵，，

，

∴

.

所以异面直线与夹角的余弦值为.

19．在四棱锥中，平面平面，，，，.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）求出两个平面的法向量，利用数量积即可求得二面角.

【详解】（1）因为平面平面，且，

平面平面，故平面，

平面，所以.

取的中点，连接，，

因为且，，

可得四边形为矩形，故.

又，故，又，平面，

故平面，平面，所以.

因为平面，平面，，

所以平面.

（2）以为原点，，，所在方向分别为轴、轴、轴的正方向，

建立空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，，

设平面的法向量为，

则，则

取，则.

设平面的法向量为，

则，则

取，则，

则，

故平面与平面夹角的大小为.

20．已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意由求解；

（2）易知斜率存在，由，设，与曲线C方程联立，由结合韦达定理，求得k，再由当P为与平行的切线的切点时，面积最大求解.

【详解】（1）解：由题意得，

解得，

椭圆C的方程为．

（2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，，设，

代入C方程整理得，

，

，

解得，

显然时面积最大值相同，，

当P为与平行的切线的切点时，面积最大，

不妨设与平行的切线方程为，代入C方程整理得，

，

解得，

显然时取得最大值，，

．

21．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱平面，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.

(1)若N是棱PC中点，求证：平面AMN；

(2)若，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取得最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合三角形的重心、“对应边成比例，两直线平行”以及线面平行的判定定理证得平面AMN；

（2）建立空间直角坐标系，设，求得直线PA与平面AMN所成角的正弦值，结合二次函数的性质求得其最大值.

【详解】（1）设，连接PO交AN于点G，

连接DG并延长交PB于点H，连接，

在三角形中，分别是的中点，

所以是三角形的重心，所以，

在三角形中，是的中点，，

所以点为的重心，所以，且是的中点，

又∵，

∴即，又MG平面AMN，平面AMN，

所以平面AMN.

（2）∵四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，

∴AB、AD、AP两两垂直，

以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，

如图所示，则点，，，，

则，，，

设，则，

∴，

设平面的法向量为，

则有，

化简得：，取则，，

设直线PA与平面AMN所成角为，

则，

∴当时的值最大，

即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.

22．已知圆：.

(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

(2)当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)或

(2)存在圆：，使得.

【分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论即可；

（2）联立直线与圆的方程，根据斜率关系结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）圆的标准方程为：，

当直线的斜率不存在时，直线的方程，与圆相切，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

因为直线与圆相切，所以，解得，

故所求直线的方程或.

（2）令，得，即，

求得，或，所以，.

假设存在圆：，当直线与轴不垂直时，设直线方程，

联立得：，

设，，从而，.

因为、的斜率之和为，

因为，所以、的斜率互为相反数，

即，所以，即.

当直线与轴垂直时，仍然满足，即、的斜率互为相反数.

综上，存在圆：，使得.