2022-2023学年福建省泉州市永春第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省泉州市永春第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知点，，则直线的倾斜角为（    ）

A．30 B．60 C．120 D．150

【答案】B

【分析】求出直线的斜率即得解.

【详解】解：由题得直线的斜率，

设直线的倾斜角为，

所以.

故选：B

2．已知平面的法向量分别为且则（    ）

A． B． C．4 D．8

【答案】C

【解析】根据，则可得出答案.

【详解】因为平面的法向量分别为，且，

所以，即，则

故选：C

3．圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是（　　）

A．相离 B．内含 C．相切 D．相交

【答案】D

【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交．

【详解】由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，

而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）为圆心，半径等于的圆．

由于两个圆的圆心距为：，2，

故两个圆相交，

故选D．

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．

4．点关于直线的对称点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点关于直线的对称点的坐标为，利用垂直及中点在轴上这两个条件求出的值，可得结论．

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则由题意可得

故答案为：B．

5．双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（    ）

A．3 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的渐近线方程是：，则求解.

【详解】因为双曲线的渐近线方程是：，

所以，，

所以焦距为.

故选：B

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.

6．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.

【详解】因为，

所以，所以，所以 ，

解得，所以，

故选：B.

7．已知圆：，过直线：上一点Р作圆的切线，切点依次为A，B，若直线上有且只有一点Р使得，为坐标原点．则（    ）

A．-20 B．20或12 C．-20或-12 D．12

【答案】A

【分析】由题设易知且为到直线的距离，再根据圆心坐标及半径、即可确定m的值，进而可得，应用向量数量积的坐标运算求.

【详解】

∵这样的点是唯一的，则，即为到直线：的距离，而圆的半径为2且，

∴要使，则，又，即，

∴，故．

故选：A．

8．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（    ）

A．椭圆的离心率为

B．面积的最大值为

C．到的左焦点的距离的最小值为

D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则

【答案】B

【分析】对于A，取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；

对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；

对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；

对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答案.

【详解】依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，

所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；

因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以，

所以面积的最大值为，故B不正确；

设，的左焦点为，连接MF，

因为，所以，

又，所以，

则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；

由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，

设，，则，，，

又，所以，所以，所以，故D正确

故选：B.

二、多选题

9．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．已知直线与直线互相垂直，则

C．圆的圆心到直线的距离为2

D．两圆与的公共弦所在的直线方程为

【答案】AB

【分析】将直线转化为对恒成立，即可判断A是否正确；根据直线垂直的关系可知，解出的值，即可判断B是否正确；求出圆心坐标，再根据点到直线的距离公式即可判断C是否正确；将两圆方程联立作差，即可求解两个圆的公共弦方程，进而判断D是否正确；

【详解】直线，即对恒成立，所以直线恒过定点，所以A正确；

因为与直线互相垂直，所以，所以，所以B正确；

因为圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为，所以C错误；

将两圆与方程联立，作差可得，所以D错误.

故选：AB.

10．已知曲线的方程为，则（    ）

A．当时，曲线是半径为2的圆

B．存在实数，使得曲线的离心率为的双曲线

C．当时，曲线为双曲线，离心率为

D．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】根据圆，双曲线和椭圆的定义，依次判断每个选项，AD正确，B选项方程无解排除，求出双曲线离心率排除C选项得到答案.

【详解】当时，方程为，表示半径为的圆，A正确；

若曲线表示双曲线，则，故或，当时，，无解，当时，，无解，B错误；

当时，，曲线为双曲线，，C错误；

曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，故D正确.

故选：AD.

11．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）

A．5 B．4 C． D．

【答案】BC

【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.

【详解】由可得，，所以，

根据对称性只需考虑或，

当时，将代入可得，

如图：，，所以的面积为，

当时，由椭圆的定义可知：，

由勾股定理可得，

因为，

所以，解得：，

此时的面积为，

综上所述：的面积为或.

故选：BC.

12．已知正三棱柱中，为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（    ）

A．直线平面， B．和到平面的距离相等

C．存在点，使得平面 D．存在点，使得

【答案】AB

【分析】连接交于点，连接，证得，进而得到平面，可判定A正确；证得，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B正确；假设存在点，使得平面，得到，令，结合，可判定C、D错误.

【详解】对于A中，如图所示，连接交于点，连接，

因为为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以为的中点，

又因为是的中点，所以，

由平面，且平面，所以平面，所以A正确；

对于B中，因为交于点，，，所以，

因为与与平面成角相等，所以和到平面的距离相等，

所以B正确；

对于C中，假设存在点，使得平面，

因为平面，所以，

令，可得，

因为和所成角为锐角，和所成角为锐角，

所以，所以，

所以不成立，所以C错误；

对于D中，由C知，所以不存在点，使得，所以D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．已知，若三向量共面，则实数=_____.

【答案】

【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.

【详解】由题意可知，存在实数满足：，

据此可得方程组：，求解方程组可得：.

故答案为．

【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．已知点到直线的距离为1，则等于______．

【答案】

【分析】由点到直线的距离公式，即得解

【详解】由点到直线的距离公式，得，即，

又，所以．

故答案为：

15．已知方程表示圆，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】若表示圆，则，据此列式计算即可.

【详解】由题意，得，

化简得，解得，

即实数a的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

16．在平面直角坐标系中，已知，线段的中点M；

(1)求过M点和直线平行的直线方程；

(2)求边的高线所在直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求得点M的坐标，和直线直线的斜率，写出直线方程；

（2）根据，得到边的高线的斜率，写出直线方程；

【详解】（1）解：因为，

所以，，

所以过M点和直线平行的直线方程为，

即；

（2）因为，

所以边的高线的斜率为-3，

所以边的高线所在直线方程，

即

17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设

(1)用表示，并求；

(2)求AC1与BD所成角的大小.

【答案】(1)

(2)90°

【分析】（1）（2）问均用作为向量把其他向量表示出来，再代入对于公式计算即可.

【详解】（1），

．

（2）∵

∴，因此AC1与BD所成角的大小为90°

18．已知直线，半径为2的圆C与相切，圆心C在轴上且在直线右上方.

(1)求圆C的方程；

(2)问题：是否存在______的直线被圆C截得的弦长等于？若存在，则求直线的方程；若不存在，请说明理由.请从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

①过点；②在轴上的截距和在轴上的截距相等；③方程为.

【答案】(1)

(2)选①，存在，直线的方程为或；选②，存在，直线的方程为；选③，不存在直线，理由见解析

【分析】（1）设圆心坐标为，，由圆心到切线距离等于半径求得得圆方程；

（2）由弦长得圆心到直线的距离，

选①，检验斜率不存在的直线符合要求，斜率存在的直线设出直线方程后由点到直线距离公式求解；

选②，分类讨论，截距为0，直线过原点时检验可得，截距不为0时设出直线方程，由点到直线距离公式求解；

选③，直接由点到直线距离公式求解．

【详解】（1）直线与轴交点为，依题意设所求圆的圆心C的坐标为，则，解得或（舍去）.故所求圆C的方程为；

（2）由题意易得圆心C到直线的距离为

选①：直线过点.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知符合题意；

若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，即，则，

解得，此时直线的方程为.综上，存在符合题设的直线且其方程为或

选②：直线在x，y两坐标轴上的截距相等.若直线的截距都为0，则直线过原点O即圆心C，不合题意；若直线的截距都不为0，不妨设直线的方程为，即.

则有，解得.综上，存在符合题设的直线且其方程为.

选③：直线方程为.

由题意，得整理，得，（*）

因为，所以方程（*）无解，所以不存在符合题设的直线．

19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是，上的动点，且.

(1)求证：平面；

(2)若，且PC与底面ABCD所成角的正弦值为，求平面AEC与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）证明平面，再结合得到证明.

（2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，根据向量垂直得到平面的一个法向量为，平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）底面，平面，故，

又，且，平面，故平面，

，即平面.

（2）由底面，得与底面所成角即为，

，，则，，，

以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，.

设平面的一个法向量为，

则，，令，则，.

又平面，而，

平面的一个法向量，，

由图可知平面与平面夹角为锐二面角，

则平面AEC与平面AED夹角的余弦值为.

20．已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．

【答案】(1)；

(2)定点坐标为，详见解析.

【分析】（1）由题可得双曲线的渐近线为，然后直线方程与双曲线方程联立，结合弦长可得方程，进而即得；

（2）当直线的斜率不为0时，可设，联立双曲线方程，利用韦达定理法可得以为直径的圆的方程，然后令，结合条件可得定点，当直线的斜率为0时，易得以为直径的圆过此定点，即得.

【详解】（1）由双曲线，可得其渐近线为，

∴双曲线：的渐近线为，

∴，即，

∴双曲线：，

由，可得，

解得，

∴直线被双曲线所截得的弦长为，

解得，

所以双曲线的方程为；

（2）当直线的斜率不为0时，可设，

由，可得，

设，则，，

∴，

，

设以为直径的圆上任意一点，则，

∴以为直径的圆的方程为，

令，可得，

∴，

∴，

由，可得，即以为直径的圆恒过定点，

当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，

综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，此定点坐标为.

21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e =，经过点P（2，3）．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B运动时，满足于∠APQ =∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

【答案】(1)

(2)① ；②斜率为定值；理由见解析

【分析】（1）设出椭圆方程，根据离心率可得出，将点P坐标代入椭圆方程，从而可得出答案.

（2）①设，直线AB的方程为与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据四边形APBQ面积为整理化简，将韦达定理代入，可得答案.

②由题意则PA，PB的斜率互为相反数，设PA的直线方程为y－3 = k（x－2）与椭圆方程联立得出，同理得出，代入AB的斜率公式中可得答案.

【详解】（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

则，且，

解得a2 = 16，b2 = 12，∴ 椭圆C的方程为．

（2）① ∵ 点Q与点P（2，3）关于x轴对称，∴ Q（2，－3）．

设，直线AB的方程为，代入中，

消去y，整理，得 x2－tx + t2－12 = 0．

由，解得 －4＜t＜4；由韦达定理，得 x1 + x2 = t，x1x2 = t2－12．

注意到线段PQ⊥x轴，︱PQ︱= 6，

∴ 四边形APBQ的面积

=，

∴ 当t = 0，Smax =．                                    

② 当∠APQ =∠BPQ，则PA，PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k．

由PA的直线方程为y－3 = k（x－2），与椭圆C的方程联立，组成方程组，消去y整理，

得（3 + 4k2）x2 + 8k（3－2k）x + 4（3－2k）2－48 = 0，所以 ．

同理，PB的直线方程为y－3 =－k（x－2），

有（3 + 4k2）x2－8k（3 + 2k）x + 4（3 + 2k）2－48 = 0，所以 ．

于是 ，，

因此，

将x1 + x2，x1－x2代入，可得kAB =．

所以，AB的斜率为定值．

【点睛】关键点睛：本题考查根据椭圆离心率和点在椭圆上求椭圆方程，求四边形面积的最值以及定点问题，解答本题的关键是将四边形的面积表示为=，从而得出面积的最值，利用直线PA的方程与椭圆方程联立得出点的坐标，同理得出的坐标,属于难题.

五、双空题

22．把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________.

【答案】         

【分析】由椭圆的焦点坐标以及，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点的直线与曲圆可得，，在直线转动的过程中由，的位置可得三角形的周长的取值范围．

【详解】解：由，令，可得以及，

再由椭圆的方程及题意可得，，，

由，可得，

由可得，

所以，

所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，

所以，

可得相当于椭圆的左焦点，

的周长为，

当从（不包括向运动时，，

当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，

当从向运动时，在第四象限，则，，

这时三角形的周长小于8，

当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，

由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，

综上所述，的周长的取值范围为，．

故答案为：；．